自建紋影成像技術測量超聲波波長

瞿嘉宇， 李沐旭， 黃河清， 辛 程， 劉升光

（1.大連理工大學基礎物理國家級實驗教學示范中心，遼寧大連 116024；2.青島理工大學理學院，山東青島 266520）

0 引 言

超聲波是一種頻率大于20 kHz，可在氣態、液態和固態物質中傳播，并含有聲壓、聲阻抗、聲功率和聲波波長等聲學量的機械波。聲學量的定量測量是超聲無損檢測、超聲定位、超聲懸浮和超聲成像等科研實驗和工業技術的基礎。并且，聲學量的定量測量在科學研究、醫療健康和工程制作等方面也有普遍應用。其中，聲波波長作為重要的聲學量之一，在火箭材料塑化程度檢測、溶液濃度測量和太赫茲技術應用等領域具有重要意義［1-3］。目前為止，已有多種常用的定量測量超聲波波長的方法，鄔佳璐等［3］敘述了基于邁克爾遜干涉原理測量太赫茲輻射波長的實驗方法，但是邁克爾遜干涉法的光路搭建復雜且實驗儀器精度要求高，同時平臺位移量的不穩定性所引入的誤差會導致需要對測量結果進行多次修正。彭國華等［4］研究了通過單縫衍射來測量超聲波波長，測量結果雖然可通過讀取接收裝置轉動角度進一步計算得出，但波形峰值極小值點選取的主觀性和單縫衍射圖像的模糊程度都會對超聲波波長的測量結果造成較大誤差。

紋影成像技術作為一種非接觸式、高精度的流場觀測方法，可以有效彌補上述超聲波波長測量方法的缺點。目前，紋影成像技術已被廣泛應用于氣體的噴流速度、微型航空發動機尾噴溫度場、對流換熱系數和爆炸沖擊波圖像的研究。張津碩等［5］利用紋影圖像研究了氣體噴流的動態演化規律，于之靖等［6］采用紋影法觀測實驗室微型渦噴發動機尾噴區域溫度場分布，彭力等［7］提出基于密度梯度和溫度梯度的可視化紋影圖像來測量水平圓管自然對流換熱系數，鄭星等［8］基于反射式紋影成像原理獲取爆炸沖擊波的速度信息。可見，紋影成像技術在流場可視化觀察和物理量測量方面具有諸多優勢，能在非接觸條件下獲取流場空間分布的紋影圖像，并相較于其他觀測方法具有更精密的觀測結果，可以更好地展現被測流場空間分布隨時間演化的諸多細節。

本文提出通過聲懸浮裝置產生穩定的駐波聲場，并結合COMSOL有限元軟件數值計算出駐波圖像分布均勻、波腹數量多、便于超聲波波長的測量的聲波頻率，并探究該頻率下聲場對于裝置所處的空氣域的影響，進而利用自建紋影成像系統獲取該頻率下的實驗駐波圖像，對超聲波波長進行定量測量研究，分析實驗駐波圖像和計算駐波圖像差異以及測量誤差的產生因素。

1 實驗原理及裝置

1.1 自建紋影成像實驗裝置

圖1 所示為基于紋影成像技術的實驗平臺，紋影成像技術的基本原理為光在經過折射率不均勻的介質時會發生偏折，偏折部分的圖像亮度將會下降，形成陰影［9］。

圖1 基于紋影成像技術的實驗平臺

圖2 所示為自建紋影成像光路系統示意圖，點光源發出的光束經準直凹面鏡反射后會聚成像斑，在相機中形成紋影圖像。準直凹面鏡前方的區域為待測的非均勻流場。由于流場中折射率具有不均勻性，當光線經過非均勻流場時，會產生偏折。而光線的偏折將進一步導致紋影圖像的變化，從而產生具有明暗相間特點的紋影圖像［10］。

圖2 自建紋影成像光路系統示意圖

1.2 聲懸浮裝置

聲懸浮的基本原理是借助2 列同幅同頻、反向傳播的超聲波疊加形成駐波，形成聲輻射壓力，進而改變空氣中氣體粒子的空間分布。當聲輻射壓力與重力平衡時，可實現懸浮。

假設駐波聲場初始入射波為正弦形式，則有：

則疊加后所產生的駐波聲場為，

聲懸浮裝置通常采用一定數量的超聲波聲源，這些聲源產生的超聲波能夠在空間中特定位置疊加形成強度一定的駐波，在物體表面產生與聲波傳播方向相同的壓力，即聲輻射壓力［11］。聲輻射壓力具有簡諧運動中回復力的物理特性，當物體偏離平衡位置時，會產生回到平衡位置的運動趨勢。空間中物體表面所受的聲輻射壓力可用微分形式表示：

式中：F為聲輻射壓力；p為聲壓；ρa為聲場中介質密度；u為超聲波在介質中的聲速；v為聲場中介質粒子的運動速率。可以得出，聲輻射壓力和介質密度成正相關關系。

本實驗設計的聲懸浮裝置為雙凹球面。圖3 所示為利用COMSOL軟件建立的聲懸浮裝置模型圖，聲懸浮聚焦點為中心位置，壓電陶瓷探頭分別放置在上下2 個凹球面上，并呈環狀對稱分布［12］。

圖3 雙凹球面的聲懸浮裝置建模示意圖

根據相控聚焦原理［13］，建立聲源間的相對相位關系，使得裝置產生固定的聲懸浮聚焦點。其表達式為

式中：t為任意兩聲源信號相對時延大小；ΔL為兩聲源信號到聲懸浮聚焦點的距離差；u為空氣域中聲速。若t超過了超聲波的最小周期T，由于聲源信號提前t與延遲T-t的控制效果一致，可約定t使其始終在超聲波的最小周期T之內，故有：

式中，n為自然數。通過控制每個聲源信號的時延t，可以實現聲源信號傳播到聲懸浮聚焦點時處于同一相位，從而聲場可在聲懸浮聚焦點附近實現疊加。

1.3 聲場數值模擬

由COMSOL有限元軟件數值計算模擬聲懸浮裝置在不同頻率下產生的聲場，得出聲場的理論駐波圖像，從而對聲場的特性進行分析。基于實驗所用的聲懸浮裝置具有關于裝置主軸對稱的特點，可將三維聲懸浮裝置簡化為二維包含主軸的截面進行處理，以達到簡化模型計算的目的。

由裝置截面所建立的二維模型如圖4 所示，模型主體由2 個半徑100 mm、扇形角為70°的凹球面組成，其中各個獨立的壓電陶瓷探頭以x-y坐標軸原點中心對稱分布。

圖4 二維模型圖

在數值計算模擬中，選用壓力聲學模塊頻域接口和流體流動顆粒追蹤接口進行模擬。在接口中，設置平面波輻射邊界條件來模擬聲懸浮裝置的開放邊界，設置網格單元大小為極細化得到精密的聲場聲學量理論圖像和空氣域中粒子運動軌跡圖像，添加聲泳輻射力、重力和曳力模擬粒子在聲場中的受力情況，并選擇空氣作為聲波的傳播介質。

對于超聲波聲源，利用壓力聲學模塊頻域接口對壓電陶瓷探頭附件的壓力進行建模，從而求解聲場的Helmholtz方程并進行數值計算。由頻域接口方程，可得壓電陶瓷探頭的總域源

式中：?為哈密頓算子，pt為聲場總聲壓；ρa為傳播介質的密度；qr為偶極域源極矩為超聲波的等效波矢，ω ＝2πf為聲波的角頻率，f為聲波頻率；u為聲速；kz為空間直角坐標系z軸方向的波矢。由于壓電陶瓷探頭的域源可視為單極域源，因此偶極域源項qr為0；并且二維模型位于x-y平面，z軸方向的波矢kz也為0。可將式（6）化簡為

對于空間坐標系中任意一個壓電陶瓷探頭的域源Qm可用Dirac函數［14］表示為

式中：rm為任意一個壓電陶瓷探頭在空間坐標系中的位置，r為空間中任意一點的位置坐標，σm為任意一個壓電陶瓷探頭域源流出的聲場強度。利用Green 函數G（r）求解Helmholtz方程可得：

而模型凹球面在空間中任意一點產生的總聲壓等于各壓電陶瓷探頭域源Qm輻射聲壓之和，即：

通過ρaG和∑Qm的卷積可解出在空間內任意一點產生的總聲壓

由此，可選擇單極點源模擬理想情況下的壓電陶瓷探頭域源的輻射聲壓產生情況。

根據裝置所處的實驗環境溫度，設置聲速u＝343 m／s，選取位于上凹球面裝置主軸處的單極點源作為基準信號，通過設定各單極點源間的相對相位關系，以使裝置聲懸浮聚焦點位于x-y坐標軸原點處，并在空氣域中加入固體粒子用以模擬聲場中氣體粒子的運動軌跡變化規律。最后，通過改變聲波頻率來研究不同頻率下裝置中聲場的物理特征。

2 實驗結果與分析

使用COMSOL有限元軟件數值計算模擬聲懸浮裝置在不同聲波頻率下產生的聲場，得到聲場的總聲壓圖像，即計算駐波圖像，部分圖像如圖5 所示。

圖5 不同頻率下有限元計算駐波圖（表面總聲壓：Pa）

通過有限元數值計算模擬分析不同聲波頻率下聲場內聲壓分布，由圖5 可知，當f＜40 kHz 時，聲場內理論駐波圖像在裝置主軸附近區域的波腹數量較少，不利于后續對紋影圖像中測量位置的選取，會導致實驗數據測量點數量減少，增大波長測量結果的誤差；當f＞40 kHz時，聲場內駐波分布更加密集，聲懸浮聚焦點附件的聲壓強度更高，但其余區域聲壓強度較弱，并且波腹的有效測量區域寬度更為緊窄，邊界范圍的漲落產生的影響更大，不利于裝置駐波紋影圖像的觀察和測量；而f＝40 kHz 時，駐波圖像分布均勻、波腹數量多，并且波腹的有效測量區域寬度較寬，便于超聲波波長的測量。因此，選擇f＝40 kHz 時的紋影圖像進行觀測。

圖6 所示為f＝40 kHz 時，聲場中粒子的運動軌跡隨時間τ 演化的圖像。從圖6 可見，τ ＝0 時，粒子均勻分布；當聲源開始工作后，粒子受聲泳輻射力、重力和曳力的作用開始運動；比較τ ＝0.1 和0.3 s時聲場中粒子分布區域，可以發現粒子分布范圍明顯向聲場中波腹位置收攏；在τ ＝1.5 s 時，粒子分布和駐波圖像基本一直，已處于動態平衡狀態。

圖6 40 kHz頻率下粒子運動軌跡

借助固體粒子對聲場中氣體粒子的模擬，探究聲場對于裝置所處的空氣域的影響。由于空氣中u遠大于v［15］，則超聲波聲源產生駐波聲場所需時間遠小于氣體粒子處于動態平衡狀態所需時間，可認為當氣體粒子均勻分布情況未改變時，駐波聲場已經形成并穩定。本文研究表明，氣體粒子在聲泳輻射力、重力和曳力的共同作用下，不再在全空氣域內均勻分布，而是逐漸向聲場中波腹位置移動，并且聲場中聲壓值高的區域粒子分布更為密集；在聲源輻射聲壓產生1 s后，粒子基本在駐波波腹區域處于動態平衡狀態，從而使空氣域中介質按照聲場駐波模式非均勻分布。這種非均勻介質分布模式使得經過0.6 mm光闌處理的LED光源的光線通過空氣域后，受空氣域內折射率梯度的影響，能產生可視化聲場駐波的紋影圖像。

圖7 所示為利用自建紋影成像系統獲得的f＝40 kHz的實驗駐波圖像和數值計算出的計算駐波圖像。相比計算駐波圖像，可以發現在裝置主軸附近區域圖像紋影強烈、細節明顯，而邊緣區域則紋影較弱。在計算駐波圖像中輻射聲壓高的區域，紋影明顯且波腹紋影有效寬度和計算寬度接近；在輻射聲壓低的區域，紋影偏弱甚至沒有。導致這一關系結果的主要因素為空氣域中介質按照聲場駐波模式非均勻分布。氣體粒子由于受聲泳輻射力、重力和曳力共同作用，在空氣域中的分布情況和聲場的輻射聲壓成正相關關系，并且空氣域中局部的有效折射率和該局域內的氣體粒子數密度也為正相關關系，又由于光線傳播總著向折射率梯度為正的方向彎折，因此紋影產生區域和聲場的計算聲壓數值相對應。

圖7 40 kHz頻率下駐波圖像

圖8 所示為經Photoshop 軟件處理并經“標尺”的實驗駐波圖像。首先在實驗駐波圖像中選取9 個測量點（見圖中x1～x9），再借助軟件標定測量點的間距長度，通過最小二乘法獲得擬合曲線，其中擬合曲線斜率k為紋影圖像中波長長度的1／2，最后根據聲懸浮裝置上下凹球面間距H和圖片中上下凹球面間距L的比例關系，即

圖8 不同位置下實驗測得駐波經軟件處理后的圖像

可測得超聲波波長λ。圖9 所示為不同測量位置對應的超聲波波長測量結果。當測量位置為波腹上邊界時，波長λa＝0.844 7 cm；當測量位置為波腹下邊界時，波長λb＝0.849 9 cm。同在u＝343 m／s 和f＝40 kHz 環境下的數值計算值λ′＝0.857 5 cm 相比，波腹上邊界的誤差ξa＝；波腹下邊界的誤差ξb＝。測量結果之所以會產生漲落，是因為氣體粒子在聲場聲壓極大值處的擴散運動會對測量邊界位置帶來浮動，使得有效測量范圍發生變化，從而導致實驗駐波圖像中級數相同的波腹同主軸的交點到懸浮聚焦點的距離并不相同。

圖9 不同測量位置的波節數與超聲波波長關系曲線

3 結 語

本文設計并搭建了一套基于紋影成像技術的實驗平臺，由紋影成像系統和可產生穩定駐波的聲懸浮裝置構成。通過COMSOL 軟件的數值計算模擬與實驗測量，結果表明：波腹上邊界的誤差＝1.492 7%；波腹下邊界的誤差＝0.886 3%，測量結果誤差較小。該研究成果可對超聲波可視化成像，為聲學量測量提供圖像觀測，對超聲波的應用有著重要的參考價值。