自由曲面仿真實驗的教學方法研討

江 萍， 楊華軍， 鄔劭軼， 胡力中

（電子科技大學物理學院，成都 611731）

0 引 言

光學實驗是理工類高校學生專業核心課程的重要組成部分，傳統教學缺乏理論建模、編程實踐和科研促教環節，導致學生編程仿真能力和挑戰性創新探索能力不足［1-4］。本文將可視化仿真實驗與挑戰性考研訓練用于“光通信前沿實驗”本科生挑戰課程和“光學系統設計”研究生小班研討課中，將自由曲面仿真實驗進行編程實踐教學，將抽象、復雜的理論模型和繁瑣的計算過程通過案例的形式，生動、形象地表現出來。

1 仿真實驗設計思路

自由曲面光學系統因其自由度高、結構簡單、傳輸效率高、可同時實現波前和輻照度控制等諸多優點，具有廣泛的應用價值，是當前光學設計、光通信、數控技術等領域的科技前沿和重要研究對象［5-8］。自由曲面理論抽象、結構復雜、編程設計過程煩瑣，學生理解困難。自由曲面由于加工困難，在科學研究中通常采用仿真實驗的形式開展，在“光通信前沿實驗”和“光學系統設計”等課程中，將自由曲面仿真實驗作為科研促教的重要案例進行了編程實踐教學，仿真實驗設計思路如圖1 所示，仿真實驗內容由簡單到復雜，難度由低到高，系統由旋轉對稱的二維結構到非旋轉對稱的三維結構，既包括折射式自由曲面又包括反射式自由曲面系統仿真實驗。其中案例1、2 為基礎仿真實驗，用于本科生的課堂仿真訓練；案例3、4 為創新探索環節，以課程論文的形式進行考核，用于研究生的課堂仿真訓練和編程能力較強的本科生挑戰性創新實踐。自由曲面仿真設計流程圖如圖2 所示，入射光線矢量A1和出射光線矢量A2滿足矢量折反射定律［9］。

圖1 自由曲面仿真實驗設計思路

圖2 自由曲面仿真設計流程圖

式中：n1和n2分別為入射光線和出射光線所在空間折射率；對于折射系統Γ ＝n2N·A2-n1N·A1，反射系統Γ ＝-2n1（N·A1）；N為曲面法線單位矢量。

以二維系統為例，基于能量守恒定律，根據等光通量映射關系確定入射面S0和目標面Sm內的網絡節點坐標，選取每個自由曲面上的中心點或邊緣點P1作為起點，根據矢量折反射定律計算第n個曲面Sn上第i個取樣點的法向量Nn，i，再計算第i＋1 根光線與切線Tn，i的交點坐標，采樣點數目N足夠大，迭代得到的點陣構成自由曲線，再繞光軸旋轉360°得到所求的自由曲面。

2 仿真實驗案例解析

2.1 旋轉對稱折射式自由曲面

案例1 對旋轉對稱自由曲面折射面進行仿真，實現將點光源發出的發散光束準直為平行光束。

由于是旋轉對稱系統，自由曲面可以通過將xOy平面內求得的二維曲線S1繞光軸y軸旋轉360°得到，如圖3（a）所示。對于單折射面，第i條入射光線A1，i與S1交點Pi的坐標為（x1，i，y1，i），折射光線與光軸平行，即A2，i＝［0，1］，與目標平面S2交點Mi的坐標為（x2，i，y2，i），假設S1與S2邊緣點P1和M1的縱坐標分別為y1，1＝h和y2，1＝L，以P1和M1為起點利用矢量折射定律（式（1））求出Pi處的法向量N1，i，再求出光線A1，i＋1與切線N1，i的交點坐標，近似為Pi＋1點，迭代后得到S1面上各采樣點的坐標。

圖3 旋轉對稱折射式自由曲面迭代原理和仿真結果

根據二次曲面的等光程原理，當折射率n1＜n2時，折射面應為雙曲面，當折射率n1＞n2時，折射面應為橢圓面，分別編程繪制兩種情況下的二次曲面，與自由曲面進行對比，仿真結果分別如圖3（b）和（c）所示，兩種情況下的S1面與二次曲面均重合，該方法用于驗證自由曲面編程的正確性。

案例2 設計一個自由曲面透鏡，實現將點光源發出的圓對稱高斯光束準直整形為均勻分布的圓光斑。

仿真設計思路為：自由曲面透鏡的第2 個折射面S2上過Qi的切線與第i＋1 條折射光線A2，i＋1的交點可近似為Qi＋1點，出射光束為準直光線A3，i＝［0，1］，如圖4（a）所示。假設入射面S0上光強為高斯分布，目標平面S3上為圓形均勻光斑，將入射面S0和目標面S3按等光通量進行網格劃分，由于是旋轉對稱系統，沿x軸方向將光斑半徑劃分為N份，在極坐標系下構成的N個圓環中每個圓環面積內光通量相等，得到S0和S3面上網絡坐標。以邊緣點P1和Q1為起點基于矢量折射定律求得S1上采樣點Pi和Pi＋1，以及S2上Qi和Qi＋1之間的迭代關系，將S1和S2曲線繞y軸旋轉360°構成自由曲面，三維仿真結果如圖4（b）。該透鏡將入射高斯光束準直整形為均勻圓光斑［見圖4（c）］。

圖4 旋轉對稱自由曲面透鏡設計原理和仿真結果

2.2 旋轉對稱反射式自由曲面

望遠鏡系統是“光通信前沿實驗”和“光學系統設計”課程的重點，光學天線通常采用反射式望遠鏡結構。

案例1 對旋轉對稱自由曲面反射面進行仿真，實現將點光源發出的發散光束準直為平行光束。

如圖5（a）所示，光線由坐標原點發出，經S1面反射的光線平行于x軸，即A2，i＝［-1，0］，以S1在x軸上的中心點P1點為起點，編程計算得到S1面上各采樣點的坐標，二維仿真結果如圖5（b）所示。根據二次曲面的等光程原理，位于拋物面焦點處點光源發出的光線經拋物面反射后為平行光，繪制出該拋物面，與自由曲面S1重合，以驗證編程的正確性。

圖5 反射式自由曲面的迭代原理和仿真結果

案例2 傳統卡塞格倫光學天線由于次鏡中心反射造成能量損失，設計一個同軸反射式自由曲面光學天線［10］，主次鏡半徑分別為75 和15 mm，將入射高斯光束準直整形為半徑為45 mm的空心高斯光束，避免能量損失以提高天線發射效率。

仿真設計思路為：光學天線的主次鏡采用同軸結構，均為旋轉對稱自由曲面，可簡化為二維結構，如圖6（a）所示，以次鏡S1在光軸上的中心點P1為起點，其反射光線反射至主鏡S2的內邊緣Q1點以避免能量損失。最后的出射光束平行于x軸，則A3，i＝［1，0］入射面S0上為高斯分布，目標面S3上為空心高斯分布，根據等光通量映射法得到S0和S3面上的網絡坐標，基于矢量反射定律求得S1和S2面上采樣點坐標，二維仿真結果如圖6（b）所示。將S1和S2繞x軸旋轉360°分別構成發射天線的次鏡和主鏡，三維仿真結果見圖6（c）。該系統將入射高斯光束［見圖6（d）］準直整形為半徑為45 mm的空心高斯光束［見圖6（e）］。

圖6 同軸反射式自由曲面光學天線設計原理和仿真結果

2.3 非旋轉對稱折射式自由曲面

非旋轉對稱的光場調控必須通過非旋轉對稱的光學系統來實現。非旋轉對稱自由曲面系統仿真實驗涉及復雜的三維空間點線面的計算，是光學系統設計等課程仿真教學的難點。

案例 馬路照明系統通常采用LED光源，在路面的投影光斑通常為圓形非均勻分布，如圖7（a）所示，設計一個產生均勻輻照度矩形光斑［見圖7（b）］的自由曲面透鏡，以提高LED照明系統的光利用率。

圖7 馬路照明系統光斑示意圖

仿真設計思路：假設出射光線為準直光束A3，i＝［0，0，1］，以中心光線為起點基于矢量折射定律計算透鏡上下表面采樣點Pi點和Qi點的法向量，假設下表面S1上采樣點Pi（x1，i，y1，i，z1，i）處的法向量Ni，j＝［Nx，Ny，Nz］，其切平面方程為

求出相鄰入射光線與切平面的交點，其中離Pi點最近的交點作為下一個采樣點Pi＋1，結合表面S2迭代得到自由曲面透鏡上下表面各采樣點的坐標，三維仿真結果如圖8（a）所示，其中光源入射面S0按空間立體角內等光通量進行網絡劃分［見圖8（b）］，目標平面S3按等面積網絡劃分以實現矩形均勻輻照度分布［見圖8（c）］。通過透鏡上下表面S1和S2的面型來控制光源上各立體角內的光通量入射到目標平面上對應區域的網格內，實現將入射面上圓對稱郎伯光源光強分布［見圖8（d）］整形為目標面上的均勻矩形光強分布［見圖8（e）］。

圖8 產生均勻輻照度矩形光斑的非旋轉對稱自由曲面透鏡仿真結果

2.4 非旋轉對稱反射式自由曲面

案例 與共軸反射式光學系統相比，離軸反射式光學系統具有無中心遮擋、視場角大、體積小等優點。二次曲面或柱面離軸光學系統的整形結果通常成梨形光斑分布［11］，設計一個離軸反射式自由曲面光學天線，實現將半導體激光器出射的橢圓高斯光束準直整形為圓對稱高斯光束。

仿真設計思路為：首先確定入射面內橢圓高斯分布和目標面內圓對稱高斯分布的等光通量網格映射關系，然后設定各反射鏡中心點坐標，以中心點為起點進行迭代得到各自由曲面。本案例中以兩反射鏡和三反射鏡兩種離軸自由曲面光學天線系統為參考，仿真結果如圖9（a）和（b）所示。兩種天線的入射面和目標平面的極坐標系下網格劃分如圖9（c）和（d）所示，入射面內橢圓高斯光強分布和目標平面上圓對稱高斯光強分布仿真結果如圖9（e）和（f）所示。

圖9 離軸反射式自由曲面光學天線仿真結果

指導學生對4 類自由曲面系統進一步展開研究，對自由曲面進行多項式擬合、誤差計算、像差分析等，完成課程設計論文的撰寫。自由曲面仿真實驗在“光通信前沿實驗”和“光學系統設計”課程中取得顯著的教學效果。本科生設計的雙反射鏡離軸發射光學天線，輸出光束的束腰比從2.999 8 降低到1.000 3，最大發散角壓縮到3.98 μrad，并以論文形式正式發表［11］。研究生設計的同軸發射光學天線，將入射高斯光束準直整形為空心高斯光束，有效提高光通信系統的傳輸效率，其論文在SCI收錄期刊上發表［10］。

3 課程考核方法與改革成效

將理論考試（60%）、實驗報告（25%）、課程論文（15%）作為成績評定要素，構建多元化的綜合評價體系。教學團隊經過10 余年教學實踐，獲得四川省教學成果二等獎一項，出版四川省“十二五”規劃教材一部［12］，校級教學成果一等獎三項，指導大學生發表SCI論文20 余篇［11，13-15］。

4 結 語

通過自由曲面仿真實驗教學實踐，豐富了課程內容，增加了課程挑戰度和趣味性，加強了學生的編程仿真能力訓練和創新思維啟發，取得了顯著的教學效果，對同類高校專業核心課程教學改革具有一定的參考意義。