三類天線陣列布局的流星雷達到達角估計性能分析

王思遠 尹文杰 馮健 劉祎 唐瓊 周晨 趙正予*

（1.哈爾濱工業大學空間科學與應用技術研究院, 深圳 518055；2.武漢大學電子信息學院空間物理系, 武漢 430072；3.中國電波傳播研究所, 青島 266107）

0 引 言

70～110 km 高度上流星與大氣劇烈摩擦會使中性大氣電離[1].流星運動的路徑上，大氣電離度與周圍背景顯著不同，形成流星尾跡，且隨背景中性大氣一起運動[2].流星雷達是一種專用于流星觀測的無線電遙感探測系統[3]，通過測量流星尾跡散射回波在不同接收天線通道之間的相位差和流星尾跡回波到達接收天線的延遲時間來確定回波的空間位置[4]，通過測量回波的多普勒頻移來推導流星尾跡的徑向移動速度，獲得背景大氣風場參量信息，對研究中層和低熱層區域的動力過程(如潮汐、行星波、大氣環流等)具有重要意義[5].

流星雷達的接收天線由五元天線陣列構成，其排列方式主要有三種：Jones 提出的十字陣型[6]，應用于科羅拉多州COBRA 流星雷達的T 型結構[7]和L 型結構[8].這些排列方式主要考慮減小緊密間隔天線由于互耦引起的到達角(direction of arrival，DOA)估計誤差的同時，解決較大間隔天線引起的方向模糊，但在參數估計的精確度和誤差分析方面還缺少對陣列之間性能差異的研究[5].三種陣型結構的排列方式對DOA 估計精度有著重要的影響，而DOA 估計精度又會影響大氣風場等參量的反演結果從而影響空間事件的判斷[9]，因此對三種陣型DOA 估計性能的分析至關重要.

本文以陣列信號的空間譜和克拉美-羅界(Cramer-Rao bound，CRB)作為評估指標，對比分析三種陣型的DOA 估計性能及天線間距對DOA 估計性能的影響.通過仿真和理論分析，判斷三種陣型中的理論最優陣型，以及實際應用中更合適的天線間距.

1 性能評估指標概述

1.1 空間譜

空間譜是陣列信號處理中的一個重要概念，表示信號在空間各個方向上的能量分布可以通過控制加權的相位來實現[7]，其可以表征陣列輸出的絕對值與來波方向之間的關系.

1.2 CRB

CRB 是一個未知參數的Fisher 信息導數，即Fisher 信息矩陣逆矩陣的對角元素，規定了任何無偏估計量的理論最小方差[8].CRB 是評價估計器的一個常用優化指標[9]，也廣泛應用于陣列信號處理的性能評估[10].2008 年Kang 推導出了平面陣列中方位角和俯仰角的CRB[5].

然而，CRB 只考慮了主瓣的統計變化，沒有考慮較大的估計誤差或低信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)下由高旁瓣引起的偏差[11].因此在估計結果幾乎全部落在主瓣范圍內時，CRB 可以較好地反映陣列DOA 估計性能；但在旁瓣效應較明顯時，還需要結合空間譜分析[12].

2 三種陣型的性能分析

2.1 三種陣型的空間譜分析

流星雷達接收天線由五元天線陣列組成，其中第m個天線元處測得的時空信號可表示為：

式中：k0是編號為0 的天線元的傳播信號的波數矢量；sm是第m個天線元距編號為0 的天線元之間的距離矢量；dm0是 第m個天線元到編號為0 的天線元的距離； γm0是第m個天線元到編號為0 的天線元之間的連線與x軸的夾角；α 和β 分別是到達角的仰角和方位角.

本文中三種陣型的天線元編號如圖1 所示.

圖1 三種陣型的布局及傳感器編號Fig.1 Sensor numbers for the three formations

將式(1)進行傅里葉變換：

在無噪聲的情況下式(3)為

空間譜的形狀由W(k)決定，它是DOA 和傳感器位置的函數：

代入三種陣型的傳感器位置參數，并選擇來波方向為到達仰角30°、到達方向角0°，得到無噪聲情況下三種陣型的空間譜對比，如圖2 所示.其中(30°,0°)位置的波峰為主瓣，其他位置的波峰為旁瓣.主瓣寬度和旁瓣電平是衡量空間譜性能的主要參數[13]：主瓣寬度用于衡量陣列的分辨能力，主瓣寬度越小，陣列的分辨力越強；旁瓣電平主要衡量參數估計的偏差概率，當旁瓣電平過高時，DOA 估計算法產生誤判概率增大，將在陣列處理結果中造成重大誤差[14].

圖2 三種陣型的空間譜對比Fig.2 Spatial spectral comparison of the three formations

圖2(a)中，十字陣型的兩個主要旁瓣出現在(14°, 27°)和(14°, -27°) 附近，且僅比主瓣低0.25 dB，導致低SNR 回波時出現異常值；而圖2(c)中L 陣型兩個主要旁瓣電平比主瓣低0.75 dB，稍微優于十字陣型；圖2(b)中T 型陣在旁瓣電平上明顯優于其他兩種陣型，其他陣型出現兩個主要旁瓣的地方幾乎已無旁瓣，且其他最大的旁瓣電平比主瓣低3 dB.

上述分析只能說明在低SNR 的情況下T 陣型相比其他兩種陣型出現重大誤差的概率更低.但是，由于三種陣型的主瓣寬度相差甚小，不能作為充分的判別依據，還需要結合CRB 對三種陣型的分辨力進行更加深入的分析.

2.2 三種陣型的CRB 分析

根據Kang 的工作[5]，給定具有任意傳感器且所有傳感器的靈敏度相同時平面陣列的方位角和仰角的CRB 可以表示為：

式中： ρ=A2/δ2是SNR；N是樣本總數；σN是回波衰減率.因此CRB 是SNR、σN、α 和β 的函數.

令m=5，對ρ 和σN賦值并代入三種陣型的傳感器位置數據，得到不同陣型在不同SNR 和衰減率σN下的CRB，如圖3 所示.CRB(α)和CRB(β)分別表示到達仰角α 和到達方位角β 的CRB 計算結果，四個分圖則表示它們隨α 和β 變化的函數關系.

圖3 不同SNR 和衰減率下三種陣型的CRB 對比Fig.3 Comparison of CRB of 3 formations at different SNR and attenuation rates

可以看出，提高SNR 或降低回波衰減率都會使CRB 降低，從而提高陣列的性能.在SNR 和回波衰減率不變的情況下，所有陣型的CRB(α)隨α 的增加而單調減少，而CRB(β)隨α 的增加而單調增加，在到達仰角等于45°時，CRB(α)和CRB(β)的值相等.CRB(α)和CRB(β)隨β 的變化則相對復雜，首先，由于十字陣型的高度對稱性，CRB(α)和CRB(β)幾乎不隨β 的變化而變化；T 陣型的CRB(α)和CRB(β)隨β 的變化而周期性變化，但整體上幾乎一直小于十字陣型；而L 陣型的CRB(α)和CRB(β)隨β 的變化方式和T 陣型相似，但整體上幾乎一直大于十字陣型和T 陣型.

綜上所述，T 陣型的CRB 小于十字陣型和T 陣型，這就意味著T 陣型在DOA 估計性能和分辨力方面是三種陣型中最優的.

3 陣列天線間距對性能的影響

改進的流星雷達系統干涉儀布局于1998 年被提出之后，已廣泛應用于干涉式流星雷達系統[15-16].布局方式如圖1 所示，傳感器之間的間距有2λ 和2.5λ 兩種，依據減小緊密天線間隔引起的互耦[17]，解決較大天線間隔引起的方向模糊為目標來選擇布局方式.

3.1 改變天線間距的的空間譜分析

按照圖1 所示的傳感器編號順序，將原天線間距[d00,d01,d02,d03,d04]=[0, 2λ, 2.5λ, 2λ, 2.5λ]縮 小 至[0,1λ, 1.5λ, 1λ, 1.5λ]；增大天線間距至[0, 3λ, 3.5λ, 3λ,3.5λ]，縮小某一方向的天線間距至[0, 1λ, 2.5λ, 2λ,2.5λ]，增大某一方向的天線間距至[0, 3λ, 2.5λ, 2λ,2.5λ]，增大2λ 和2.5λ 兩種天線間距至[0, 1.5λ, 3λ,1.5λ, 3λ]，縮小2λ 和2.5λ 兩種天線間距至[0, 2.1λ,2.3λ, 2.1λ, 2.3λ]，生成的空間譜如圖4 所示.

圖4 改變天線間距十字陣型的空間譜Fig.4 Spatial spectra of the antenna spacing in the crossed array

由圖4(a)可以看出：縮小天線間隔后，旁瓣電平降低，幾乎所有的DOA 估計結果都會落在主瓣內，DOA 估計的離群值概率會降低；但主瓣寬度也隨之上升，主瓣范圍內DOA 估計精度會下降.與之相反，圖4(b)中擴大所有天線間隔之后旁瓣電平升高，DOA 估計的離群值概率增加，但主瓣范圍內DOA估計的精度得到提高.

由圖4(c)和(d)可以看出，DOA 估計的離群值概率和主瓣內的精度存在矛盾，需要結合情況看哪種衡量指標在實際情況中占的比例更大.當SNR 較小時，離群值增多，在誤差中占主要部分；而當SNR大于某一閾值時，DOA 估計可近似無偏估計，幾乎所有結果都落在主瓣范圍內，這時DOA 估計精度更重要.在實驗中可以根據信號的實際情況對系統進行改進以達到最佳效果.

由圖4(e)和(f)可以看出：若所有天線間距相等， 2λ 或2.5λ，都會使旁瓣電平升高而主瓣電平下降，會提升較大誤差的出現概率；若兩種間距相差更大，把2λ 間距的天線間隔縮小或把2.5λ 間距的天線間隔增大，都會使旁瓣電平降低，但代價是主瓣的寬度會提高，DOA 估計精度會下降.

3.2 改變天線間距的CRB 分析

按照圖1 所示的傳感器編號順序，縮小天線間距至[0, 1λ, 1.5λ, 1λ, 1.5λ]，增大天線間距至[0, 3λ,3.5λ, 3λ, 3.5λ]，縮小某一方向的天線間距至[0, 1λ,2.5λ, 2λ, 2.5λ]，增大某一方向的天線間距至[0, 3λ,2.5λ, 2λ, 2.5λ]，增大2λ 和2.5λ 兩種天線間距至[0,1.5λ, 3λ, 1.5λ, 3λ]，縮小2λ 和2.5λ 兩種天線間距至[0, 2.1λ, 2.3λ, 2.1λ, 2.3λ]，生成的CRB 如圖5 所示.

圖5 改變天線間距十字陣型與傳統方式的CRB 對比Fig.5 Crossed array after changing the antenna spacing compared to the traditional method of CRB

由圖5(c)和(d)可以看出：縮小某一方向上的天線間距，CRB(α)和CRB(β)隨α 的變化整體增大，估計精度下降；增加某一方向上的天線間距，CRB(α)和CRB(β)整體減小，估計精度提高.CRB(α)和CRB(β)隨β 的變化由原來的幾乎不變改為周期性變化，這是由于縮小或增加了某一天線間距后打破了十字陣型原有的對稱性.縮小天線間距的方向上，CRB(α)減小而CRB(β)增大，其他方向上CRB(α)增大而CRB(β)減小；增大天線間距的方向上，CRB(α)增大而CRB(β)減小，其他方向上CRB(α)減小而CRB(β)增大，即在縮小間距的方向上，到達仰角的估計精度提高了，到達方向角的估計精度下降了；在擴大間距的方向上，到達仰角的估計精度下降了，到達方向角的估計精度提高了.

由圖5(e)和圖5(f)可以看出，增大2λ 和2.5λ 天線兩種間隔方式的距離差可以使CRB 降低，但代價非常大，空間譜中旁瓣電平和主瓣電平幾乎相等，增大到一定程度時會出現嚴重的相位模糊；而縮小距離差會使CRB 增大，估計精度降低.因此距離差的變化會使兩個指標向相反的方向變化，實踐中還須要結合實際情況深入分析來設定.如需要空間中大部分流星尾跡的回波數據，選擇傳統方法中適中的間距；如需要某一特定方向上的流星尾跡回波數據，則可以增大這一方向上天線的間距；如忽略某一特定方位上的流星，則可以減小這一方向上的天線間距來獲得其他方向上更好的DOA 估計性能.

4 結 論

本文從CRB 和空間譜兩個性能評估參數的角度，分析了流星雷達陣列布局對DOA 估計精度的影響，結論如下：

1)在三種陣型的對比中，T 陣型無論在精確度還是穩定性上都要優于十字陣型和L 陣型，但由于陣型的研究較少，在流星雷達的應用還不夠廣泛.

2) L 型相比于十字陣型，對到達仰角的估計精度更高，對到達方位角的估計受實際方位角的影響，這是因為十字陣型對稱度較高，精度幾乎不受DOA 方位的影響，而L 陣型的精度會隨實際DOA 的方位而變化.在圖1 中的陣型布局下，L 陣型所測一三象限的精度較高，二四象限相比于十字陣型的精度較低.

3)經典陣型配置對于全天空流星的測量精度是較為平均的，打破這種經典配置，可以獲得某一方向上DOA 估計精度的提升，但會犧牲其他方向上的估計精度，可以嘗試應用在關注某一方向流星回波的探測任務中.不同的發射天線可根據實際情況調整陣型間距，如在COBRA 系統中，發射天線是指向性八木天線，可考慮改變天線間距來達到最佳的探測效果.

4)通過CRB 的定義可知，在無偏估計中，CRB的值等于無偏估計的MSE.在流星雷達的回波參數估計中，當SNR 大于某一閾值時可近似為無偏估計，因此通過對CRB 的分析和SNR 閾值的確定可以計算出參數估計誤差的數值.但由于每套流星雷達系統的SNR 閾值不同，回波篩選方式也不同，因此本文只給出理論分析，沒有給出誤差的數值計算.