彈性套圈壁厚對保持架動態穩定性和軸承振動的影響

趙闖,楊思雨,吳敏,汪舟

(武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室,武漢 430070)

角接觸球軸承是高速機床的基本支承結構,在工程實際中,軸承套圈的彈性變形會改變軸承系統的內部載荷,進而導致機床動態性能下降,同時保持架是易出現問題的軸承零件之一,保持架轉動會顯著影響球軸承的動態行為。因此,有必要建立一個考慮套圈彈性變形和保持架渦動的球軸承動力學模型來研究軸承各零件的動態行為。

早期,文獻[1]提出溝道控制理論,建立球軸承的數學模型;在此基礎上,文獻[2]提出了經典的數學模型,包括靜力學、擬靜力學和擬動力學模型;后來,文獻[3]又考慮球、溝道和潤滑介質之間的相互作用,建立了分析球打滑和運動的動力學模型:這些模型被廣泛用于研究軸承內部載荷分布、疲勞壽命等動態性能。

文獻[4]采用控制軸承零件相互作用的微分方程研究球的運動和滑動特性;文獻[5]通過使用接觸剛度和阻尼的等效參數建立五自由度軸承的動力學模型分析球的動態行為;文獻[6]考慮滾道波紋度建立了一個時變摩擦計算模型,并分析了波紋度振幅、軸速、徑向力和波紋度順序對時變摩擦力的影響;文獻[7]考慮球與保持架兜孔之間的法向力、切向力以及球與溝道之間的牽引力和力矩等,分析了自潤滑軸承保持架的穩定性和打滑特性:上述研究未考慮保持架渦動,難以精確獲得軸承系統的動態行為。

目前,文獻[8]在保持架動力學分析中引入了球與保持架兜孔的相互作用以及保持架與引導面之間的相互作用;在此基礎上,文獻[9-11]分析了工況條件、裝配誤差和熱相關間隙(熱膨脹引起軸承的相關間隙變化)對球、保持架和套圈之間相互作用的影響;此外,文獻[12-13]建立了考慮彈性流體潤滑和保持架渦動的球軸承非線性動力學模型,研究保持架的結構尺寸和材料對軸承動態行為的影響以及保持架渦動、球滑動和軸承套圈振動之間的相互作用機制。然而,這些非線性動力學模型均基于軸承套圈剛性假設,事實上套圈也會產生不均勻的徑向變形,進而影響球軸承的動態行為。

文獻[14]建立了考慮滾子、套圈和保持架柔性的數學模型,并進行了深入的振動分析;文獻[15]提出了一種擬動力學模型研究軸承套圈變形對薄壁滾子軸承動態行為的影響。這些數學模型中考慮了外圈柔性,但忽略了保持架渦動、球滑動和套圈振動之間的相互作用。

因此,本文建立一個考慮套圈彈性變形和保持架渦動的非線性動力學模型,通過試驗驗證其有效性,并分析套圈壁厚對球軸承動態行為的影響。

1 角接觸球軸承非線性動力學模型

在球軸承的設計階段,精確模擬球軸承的動態行為以獲得最佳動態性能至關重要。文獻[16]將球、保持架、套圈的動力學模型以及彈流潤滑模型整合到軸承非線性動力學模型中。基于此,本文以彈性套圈代替剛性套圈。

1.1 彈性套圈的變形

在高轉速下,內圈受離心力作用而膨脹,變形量為[16]

(1)

式中:ρi,Ei,νi分別為內圈材料的密度、彈性模量和泊松比;ωi為內圈角速度;d,D分別為軸承內、外徑。

外圈與軸承座之間為間隙配合,球的載荷和軸承座支承反力引起的彎矩使外圈產生非均勻變形,如圖1所示。

(a) 外圈與軸承座間隙配合示意圖

外圈和軸承座孔表面形狀是連續的,外圈與軸承座孔之間的變形也是連續分布的,兩表面存在一個接觸區域,在外圈方位角φ處的接觸干涉量u(φ)為[15]

u(φ)=(Rh-Re)cosφ/cosβ-(Rh-Re)(1-cosφ)+δte(φ);-β<φ<β,

(2)

Kg(φ,φ)=K0+K1cos(φ-φ)+K2cos2(φ-φ),

式中:Rh為軸承座孔半徑;Re為外圈外徑面半徑;β為外圈與軸承座的接觸半角;δte(φ)為外圈的徑向彈性變形;Z為球數;ψj為第j個鋼球的方位角;Qej為球與外圈的接觸載荷;P(φ)為軸承座與外圈的接觸壓力;φ為外圈與軸承座接觸區域內的位置角;K0,K1,K2為剛度系數[17];R為外圈的平均半徑;Ee為外圈材料彈性模量;I為外圈材料彎曲模量;Гc為外圈壁厚;Kg(ψj,φ)為與方位角ψj處的作用力和方位角φ處的彈性變形有關的系數矩陣;Kg(φ,φ)為與方位角φ處的作用力和方位角φ處的彈性變形有關的系數矩陣。

接觸干涉量u(φ)與接觸壓力P(φ)之間的關系為

(3)

式中:Ehe為等效彈性模量。

在鋼球對外溝道的接觸載荷和軸承座對外圈的接觸壓力的共同作用下,外圈的平衡方程為

(4)

利用上述方程可以計算出不同方位角φ處外圈的彈性變形量以及內圈的膨脹量,這些尺寸的變化必然顯著改變引導面直徑和內、外圈溝底直徑,進而影響保持架的渦動和軸承各零件的動態力。為方便描述,建立如圖2所示的4個坐標系:

圖2 軸承系統的4個坐標系

1)以軸承中心O為原點建立全局坐標系Oxyz,在該坐標系中內圈繞y,z軸偏轉,并沿x,y,z軸平移。

2)以鋼球中心Ob為原點建立坐標系Obx′y′z′,球沿x軸旋轉,在該坐標系中球分別以角速度ωx′,ωy′,ωz′繞x′,y′,z′軸旋轉。

3)以保持架中心Oc為原點建立坐標系Ocxcyczc,保持架沿xc軸旋轉并在ycOczc平面內平移。

4)以接觸橢圓中心O″為原點建立坐標系O″x″y″z″,x″軸沿接觸橢圓長半軸方向,y″軸沿接觸橢圓短半軸方向,z″軸垂直于接觸面。

假定最初保持架中心位于外圈中心,鋼球中心位于保持架兜孔中心。

1.2 保持架與彈性引導面之間的相互作用

保持架與彈性引導面之間的相互作用如圖3所示,外圈彈性變形會引起引導面變形,從而改變引導間隙,進而影響保持架的渦動,引導面變形后的引導間隙為

圖3 保持架與彈性引導面之間的相互作用示意圖

Cg(φ)=Cgy-0.5Dg+

(5)

保持架中心的偏移角為

(6)

式中:Δyc,Δzc為保持架中心的位移。

保持架的相對偏心率為

(7)

保持架穩定旋轉時,保持架和彈性引導套圈在不同方位角的相互作用力近似于短滑動軸承流體動壓力理論[18],保持架不會與引導面發生碰撞,沖擊力為

(8)

式中:η0為標準大氣壓下的潤滑油黏度;rg為引導面半徑;ωe為外圈角速度;ωc為保持架角速度;B為引導面寬度。

保持架不穩定旋轉時,采用赫茲線接觸理論評估保持架與引導套圈之間的沖擊力

(9)

式中:μ為保持架與引導面之間的摩擦因數;Lwe為滾子有效接觸長度;νe為外圈材料的泊松比;νc為保持架材料的泊松比;Ec為保持架材料的彈性模量;δcy和δcz為保持架質心在y,z方向的位移;eH為恢復系數,取0.1。

將保持架坐標系Ocxcyczc下的力和力矩轉換到全局坐標系Oxyz,則

(10)

1.3 彈性套圈對球平衡位置的影響

軸承工作時,內、外圈與球的相對位置關系如圖4所示,套圈的彈性變形會明顯影響球的平衡位置,從而改變球、保持架和套圈之間的相互作用。當套圈發生彈性變形時,內、外圈溝底直徑變為

(a) 外圈的徑向彈性變形

(11)

球組節圓直徑變為

(12)

內、外圈溝曲率半徑變為

(13)

則內、外圈溝曲率中心新的軸向、徑向距離為

(14)

式中:Di,De分別為原內、外圈溝底直徑;fi,fe分別為內、外圈溝曲率半徑系數;δx,δy,δz分別為內圈沿x,y,z方向的位移;?y,?z分別為內圈繞y,z方向的偏轉角。

根據勾股定理,新的球平衡位置(X1j,X2j)由下式求解

(15)

式中:δ為接觸變形;α為接觸角;下標i,e分別代表內、外圈。

1.4 保持架、鋼球和內圈的平衡方程

基于上述分析,保持架的動力學微分方程為

(16)

式中:mc為保持架質量;Ic為保持架轉動慣量;Fbc為保持架兜孔與鋼球之間的碰撞力;Fτbc為保持架兜孔與鋼球之間的摩擦力;Fm為保持架的不平衡質量引起的不平衡力;Mc為潤滑油對保持架的阻力矩。

鋼球的動力學微分方程為

(17)

式中:mb為鋼球質量;Ib為鋼球自轉的轉動慣量;Im為鋼球公轉的轉動慣量;Qi,Qe分別為內、外圈接觸載荷;Ft為潤滑油作用產生的拖曳牽引力;Fcen為鋼球離心力;Mt為潤滑油作用產生的拖動力矩;Me為潤滑油對鋼球的阻力矩;Mg為鋼球的陀螺力矩;ωm為球公轉角速度;Fv為潤滑油黏性引起的摩擦力。

內圈的運動學微分方程為

(18)

考慮套圈的彈性變形,將得到的變形代入球軸承動力學模型中,通過四階龍格-庫塔算法對改進的模型進行求解,時間步長設定為0.03 ms。

2 模型驗證

本文以B7008C角接觸球軸承為研究對象,采用Gupta的經典算例驗證本文模型的可靠性,軸承主要參數見表1。軸向力為2 224 N、內圈轉速為10 000 r/min時,保持架質心軌跡如圖5所示:本文模型求得的保持架質心軌跡與Gupta模型計算結果[3]基本一致,說明本文模型是可靠的,存在的差異主要是由于保持架材料和潤滑油參數不同。

表1 B7008C角接觸球軸承和Gupta案例軸承的主要參數

(a) 本文模型

此外,還用保持架轉速進一步驗證本文模型的可靠性。內圈轉速為10 000 r/min,軸向力Fx為0～500 N,徑向力Fz為0時,本文模型軸向力為400 N時的ωc/ωi值如圖6a所示,保持架轉速在某一特定值附近波動,進一步得到ωc/ωi值隨軸向力的變化如圖6b所示,本文模型的ωc/ωi值與文獻[19]試驗結果的趨勢一致,進一步驗證了本文模型的可靠性,文獻[19]在軸向力為100,150 N附近的ωc/ωi值不符合工程實際,這是因為在小載荷下鋼球的滑動比較明顯。

(a) 軸向力為400 N時的ωc/ωi

3 結果與討論

為研究彈性外圈壁厚Гc對球軸承動態行為的影響,Гc分別取1.0,2.0,3.0,3.8 mm。軸向力Fx為400 N, 徑向力Fz為100 N(指向方位角0°方向),內圈轉速為10 000 r/min,采用外圈引導方式。以140MD44Y2.5電主軸為例,軸承座與外圈之間的間隙為10 μm,其他參數保持不變。

3.1 球的滑動

不同彈性外圈壁厚時球在內、外溝道上的滑動速度如圖7所示(fi為內圈頻率,fc為保持架頻率):1)對于剛性外圈,球在內、外溝道上的滑動產生了周期性波動;對于彈性外圈,滑動的劇烈波動隨著彈性外圈壁厚的減小而加劇,且波動規律相對于剛性外圈發生了明顯變化。2)隨著彈性外圈壁厚的減小,低頻時外溝道上滑動主峰逐漸減弱,內溝道上的滑動主峰先逐漸減弱后加強,在高頻時滑動主峰隨著彈性外圈壁厚的減小而逐漸減弱。這些現象與彈性外圈的徑向變形密切相關。

3.2 套圈的接觸特性

不同彈性外圈壁厚時套圈的接觸特性如圖8所示。由于軸承座與外圈之間存在間隙,軸承座移動造成彈性外圈沿z方向的接觸應力,如圖8a所示:接觸區隨著壁厚的減小而逐漸增大,同時最大接觸應力減小。在非接觸區,外溝道上的接觸載荷促進了彈性外圈在90°, 270°附近的徑向變形(圖8b),導致在90°,270°附近出現了最小接觸載荷(圖8c、圖8d),這種變形被180°附近的球與外溝道的接觸所抑制,導致180°附近的接觸載荷被加強。上述分析說明彈性外圈的非均勻變形改變了外圈溝底直徑,特別是在90°,270°附近的徑向變形隨著彈性外圈壁厚的增加而增大,與其他方位角的變形相比,這刺激了球的滑動波動,引起球與溝道之間牽引力的變化。

(a) 軸承座與外圈之間的接觸應力分布

3.3 球與溝道之間的牽引力

不同彈性外圈壁厚時球與溝道之間的牽引力如圖9所示:1)相對于剛性外圈,彈性外圈壁厚的減小會引起牽引力的特定波動并逐漸加強。2)當彈性外圈壁厚減小時,低頻波動逐漸增強, 而高頻波動的增加可以忽略不計,此外,牽引力與滑動速度的主頻率一致,表明滑動會影響牽引力,進而影響內圈振動。

(a) 外溝道牽引力Fte

3.4 內圈加速度

不同彈性外圈壁厚時內圈加速度的頻譜如圖10所示:1)隨著彈性外圈壁厚增加,低頻振動逐漸加強,當彈性外圈壁厚最小(Гc為1.0 mm)時,與剛性外圈相比低頻振動非常強烈;盡管最小彈性外圈壁厚比剛性外圈壁厚小,但高頻振動還是略有增加。2)球的滑動、牽引力和內圈振動的主頻率明顯一致,表明球的滑動和內圈振動之間存在相關性。這種動態行為的關聯性預示著球的滑動將影響保持架的相互作用力。

(a) 內圈沿y軸的加速度aiy

3.5 保持架與球和外圈的相互作用力

不同彈性外圈壁厚時保持架的相互作用力如圖11所示:1)當彈性外圈壁厚最小(Гc=1.0 mm)時,保持架兜孔與球之間的相互作用力Fbc在0.051 5 N附近產生劇烈波動,表明保持架連續穩定地驅動球。低頻和高頻的主要峰值隨著彈性外圈壁厚的減小而逐漸增加,特別是保持架與鋼球的碰撞頻率與滑動速度的頻率一致,表明Fbc與球的滑動密切相關。2)保持架與外圈之間的相互作用力Fcg隨著彈性外圈壁厚的減小而逐漸減小,且低頻波動逐漸增強,高頻波動逐漸減弱。Fbc,Fcg的高頻波動差異可能是由外圈的徑向變形造成的,不同彈性外圈壁厚時外圈在90°,270°附近的巨大徑向變形導致引導間隙增加,從而減弱了高頻波動,且徑向變形越大高頻波動越小。此外,頻譜分析證實了保持架、球與外圈之間的相互作用,鋼球所受拖動力、外圈作用在鋼球上的接觸載荷以及保持架受到鋼球碰撞力的頻率的一致性,表明彈性外圈壁厚會影響保持架的渦動。

(a) 保持架兜孔與球之間的相互作用力Fbc

3.6 保持架的渦動特性

不同彈性外圈壁厚時保持架的渦動特性如圖12所示:1)隨彈性外圈壁厚減小,主導高頻的主峰普遍增加,而在主導低頻時則相反。2)隨彈性外圈壁厚減小,保持架質心軌跡半徑減小。3)彈性外圈壁厚Гc為1.0 mm時的非重復跳動(Non-Repeatable Run-Out,NRRO)[20]明顯增加,最大分布范圍(Maximum Distribution Range,MDR)也增加。這些現象表明彈性外圈削弱了保持架的動態穩定性,也就是說外圈壁厚越小,保持架動態穩定性越差。

(a) 保持架加速度

3.7 小結

彈性外圈的非均勻變形由軸承座與外圈之間的間隙以及外溝道上的接觸載荷引起,這種非均勻變形加劇了球的滑動波動,這種波動相比于剛性外圈更劇烈,引起了與球的滑動具有相同主頻率的劇烈波動的牽引力。這些波動的牽引力增加了內圈的振動,特別是球的滑動、牽引力和內圈振動的頻率的一致性,證實了球的滑動與內圈振動密切相關。此外,彈性外圈的非均勻變形加劇了球與保持架兜孔之間相互作用力的波動,并進一步增加了保持架與引導面之間的相互作用力,從而產生了一致的頻率。值得注意的是,由徑向變形引起的非均勻變形引導面導致相互作用力Fbc,Fcg在高頻下的波動規律相反。這些變化的相互作用力顯著影響了保持架的動態穩定性和振動。相關分析表明彈性外圈削弱了保持架的動態穩定性,當彈性外圈壁厚明顯減小時,保持架的渦動運動產生小的渦動半徑,而高頻振動普遍增加,低頻振動則減少。因此,厚的彈性外圈有利于提高保持架的動態穩定性,減小軸承系統的振動。

4 結論

建立了考慮套圈彈性變形和保持架渦動的角接觸球軸承非線性動力學模型,并通過保持架質心軌跡以及保持架與內圈轉速比驗證了模型的準確性,在此基礎上分析了外圈壁厚對球滑動、保持架渦動和內圈振動的影響,得到以下結論:

1)內圈振動、牽引力、球滑動和保持架的相互作用力主頻率的一致性,證實了保持架的動態穩定性、軸承零件的相互作用力、球的滑動和內圈振動之間的相關性。

2)當彈性外圈壁厚減小時,保持架的動態穩定性減弱,產生小的渦動半徑,同時高頻振動增加,低頻振動減小。