突破教學難點，提升思維能力

［摘? 要］ 幫助學生解決疑難問題是教學的重要任務之一. 在教學中，教師要通過知識傳授來提高學生解決問題的能力和發展學生的思維能力，實現數學思想方法的滲透，為學生的終身學習奠定基礎.

［關鍵詞］ 教學難點；思維能力；知識體系

運用知識解決問題是檢查學生是否真正掌握知識的重要標準，也是讓教師和學生都頭疼的問題. 在實際教學中，由于學生的主體地位沒有得到有效落實，導致學生的學習較為被動. 學生依賴教師的指令學習，極易產生困惑，而部分教師關注更多的是知識本身而忽視了這些困惑，學生的思維能力自然得不到有效提升. 我們常說教師的職責在于“傳道授業解惑”，也就是說，在教學中，教師除教授知識外，還要善于發現學生的困惑和問題，并及時給予點撥和指導，以提高學生學習能力. 對此，教師要圍繞核心任務設計問題，引導學生探尋發現數學知識的基本線索，構建數學知識體系，在自主思考的過程中理解并內化知識.

在蘇教版必修第一冊“三角函數應用”一課中，教材從物理和生活兩個角度提出了兩道應用三角函數的例題，以及生活中港口水深的變化與三角函數關系的探究案例，教學參考建議第一節課講解例1和例2，第二節課講解探究案例，其中例2為教學難點.

（例2）一半徑為3 m的水輪如圖1所示，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘逆時針轉動4圈，且當水輪上點P從水中浮現時（圖中點P0）開始計算時間.

（1）將點P距離水面的高度z（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數；

（2）點P第一次到達最高點大約要多長時間？

筆者有幸聆聽了幾位教師對這一內容的講解，從課堂反饋來看，存在不小的差異，其原因是教師對教學內容的理解不同，采用不同方案來突破該教學難點. 下面談一談筆者對此部分內容的教學思考，與各位同行交流.

何謂難點

數學教學中所謂的難點是指學生不容易理解的知識或較難掌握的解題技巧. 本題（例2）講解的是三角函數在圓周運動中的應用，綜合性較強，對學生的要求較高——懂知識轉化——既懂水輪的轉動與角的度數的轉換，了解半徑為r的圓上的一點用坐標如何表示；又懂角的始邊OP與x軸的正半軸差一個角φ的幾何意義. 經歷這樣的思維過程對學生來說是非常困難的，那么如何突破難點，找到問題解決路徑呢？

突破難點的教學實踐

1. 教學方案一：以舊知聯系新知，解決未知問題

（1）設計問題串，鞏固知識.

問題1：如圖2所示，圓O的半徑為r，以圓心O為頂點，Ox為始邊的角α的終邊上的點P的坐標是什么？

問題2：如圖3所示，將角φ的一邊OA逆時針旋轉α角的大小到OP，那么點P的坐標是什么？

問題4：水輪每分鐘逆時針轉動4圈，t秒后水輪轉動多少度？

（2）聯系舊知，解決新的問題.

教師提出例2的變式0題：

如圖5所示，若降雨后水面上升了4 m，請解決以下問題.

①點P與水面的距離z（單位：m）如何用時間t（單位：s）的函數表示？

②經過多長時間的轉動，點P可以第一次到達最高點？

2. 教學方案二：設疑激發學生的好奇心，以特殊問題為起點，從特殊到一般，促進問題的解決

（1）創設情境，導入新課.

根據學生熟悉的生活中的事物，如鬧鐘，引導學生思考：秒針、分針分別轉一格得到的角是多少度？

（2）知識應用.

學生思考例2時遇到了困難，教師及時提出：讓我們先來看一些簡單的問題，找一找相關的解題方法（出示例2的變式題）.

基礎問題：一半徑為3 m的水輪如圖6所示，水輪圓心O剛好在水面上，已知水輪每分鐘逆時針轉動4圈，且當水輪上點P從水中浮現時（圖中點P0）開始計算時間.

①點P距離水面的高度z（單位：m）可以用時間t（單位：s）的函數表示嗎？

②點P第一次到達最高點大約要多長時間？

變式題1：如圖6所示，當點P從點C，B，D分別開始計時，點P距離水面的高度z（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數分別是什么？

變式題2：如果水面由于干旱下降了2 m，如圖7所示，點P從點P0開始計時，那么點P距離水面的高度z（單位：m），如何用時間t（單位：s）的函數表示？

拓展：①轉動的周期變化了嗎？

②t（單位：s）內轉過的角度變化了嗎？

③點P的縱坐標還是其距離水面的高度嗎？

師生共同討論得到一致認識：問題①②“沒有變化”，問題③“變化了”.

變式題3：若降雨后水面上升了2 m（見圖8），點P從點P0開始計時，又該如何用時間t（單位：s）的函數表示點P距離水面的高度z（單位：m）？并計算點P第一次到達最高點的時間.

變式題3作為學生的探究練習.

3. 教學方案三：將未知問題逐層分解成多個子問題，最后獲得解決方案

（1）以問題情境激發學生的興趣.

用圖片展示明代科學家宋應星《天工開物》中的水車和三峽水電站的大型機組.

問題：我們看到圖片中古代的灌溉設施和現代的水電站都使用了水輪，其實水輪在生活中有著廣泛的用途，觀察水輪的運動，它具有怎樣的特點？如果用數學方法進行研究，應該用何種函數進行表示？

展示例2，并將題干中的半徑改為4 m，請學生讀題并思考，關注學生在解決過程中出現的困難.

（2）設計系列問題，引導學生探究.

首先，展示系列問題，供學生思考.

①水輪運動1 s，點P轉過的弧度數是多少？

②設圓與x軸的正半軸相交于點A，設∠AOP=α，探究角α與時間t（單位：s）之間的關系.

③點P的縱坐標如何用角α的三角函數來表示？

④假設水輪運動的起始位置是P，求∠AOP與時間t（單位：s）之間的關系.

⑤請用時間t（單位：s）的函數將點P距離水面的高度f（t）表示出來.

其次，建立數學模型，解決問題.

學生思考問題后嘗試回答：

教師即時反饋，規范解答過程.

最后，引導總結，回顧反思.

①回顧這道題的解答過程，特別是突破難點的過程，你受到啟發了嗎？

②上述答題方案，可以推廣到一般的試題中嗎？

引導學生總結解決難題的一般步驟：遇到疑難問題時，要冷靜沉著去分析條件，可以采取問題串的形式去思考、探索解題途徑，或將一般問題轉化為特殊問題.

拓展研究1：點P可以距離水面最高多少米？點P第一次到達最高點大約要多長時間？

拓展研究2：水輪轉動2015 s時點P距離水面多少米？

4. 教學方案四：在師生互動、追問探究中逐漸接近目標，探索答案

教師展示例2，并將題干中的半徑改為4 m.

師：本題要解決的目標是什么？

生1：描述距離和時間之間的關系.

師：很好，對這個目標我們能不能進行一定的轉化？

生2：可以，z=y+2.

師：這里的y是什么？

生3：y就是圓上動點P的縱坐標.

師：我們有沒有學過求圓上的動點坐標的方法？

生3：在單位圓上學過，單位圓上的動點坐標可以表示為（cosα，sinα）.

師：好的，這里的α可以求出來嗎？

生4：α=∠AOP，∠POP為水輪從點P開始所轉過的角，根據題意可求出水輪轉動的速度——1 s轉過的角度是，因此t s轉過的角度是t.

學生是課堂教學的主體，教學設計要以學生為本，尊重學生的主體地位，以學生的長期發展為教學目標. 教學方案除了要契合課程標準和教學內容外，還要符合學生的認知規律和特點，否則教學目標就難以真正落實，也達不到應有的教學效果. 通過解題教學，可提高學生的思維品質和思維能力，使學生單一的具象思維不斷向立體化的抽象思維發展. 只有不斷提升學生的思維能力，才能提高學生解決問題的能力，因此解題訓練是思維發展的生長點. 上述四種教學方案對學生思維的訓練存在著很大的差異.

教學方案一，通過想好的步驟牽著學生一步一步跟著走，學生的思路限定在教師的預設里面，不會偏離教學目標，學生容易理解知識，教師也容易把握課堂節奏，適和基礎較為薄弱的班級. 但是這一方案也有一定的缺點，那就是學生的思維受到了一定的限制，缺乏深入思考，容易對教師產生依賴. 在面對難題時，由于學生缺少獨立解決的能力，因此常常束手無策，容易形成畏難心理，基本被教師牽著走.

教學方案二，先展示未知問題引導學生進行解決，再引導學生由簡單特殊的問題開始積累解題經驗，從而學習新的知識，由特殊到一般是學生在面對疑難問題時常常采用的解題思想和方法. 在這個教學方案中，學生經歷了難題的突破過程，體會到了知識的解決過程，學會了思考和學習，適合水平層次中等以上的班級.

教學方案三，先用動畫播放的方式引入情境，目的是增強學生的視聽感受，激發學生的興趣；再通過層層遞進的探究性問題逐一分散難點，將綜合性的難題分成5個小問題進行局部探究，在關鍵環節以小組合作探究的方式進行推進，通過分解問題的方法建立函數模型. 在教學中，教師注重指導學生仔細審題、梳理題干的要素和數量關系，提醒學生利用相互轉化的方法解決問題. 本方案中的總結反思也是解題環節的重要一環，幫助學生鞏固解題思路，促使學生掌握解題規律. 通過拓展練習，讓學生進一步體會函數模型的應用，熟悉函數模型建立的方法. 本教學方案以問題串的形式，通過局部探究解決疑難問題，適合知識基礎層次中等或較高的學生.

教學方案四，以目標倒推的方法解題，采用設問和追問的方式不斷推導通向目標的路徑. 本教學案例先確定目標，接著轉化和分解目標，最后遷移知識找到類似問題——單位圓中的坐標表示，利用三角函數的定義解決問題. 當問題中目標的起點變成P時，同樣是不斷圍繞目標進行思考和探索，促進已有的知識和經驗進行類比和轉化. 這一教學方案有利于鍛煉學生的思維，但對學生思維的要求較高，適合知識基礎層次較高的學生.

不同的教學方案對學生的要求不同，當然也會從不同的角度鍛煉學生不同的思維能力，但都要使學生學會從題目中提取有效信息進行整合，探尋解題之道.

作者簡介：楊智慧（1980—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學工作.