基于“合情推理能力”培養的高中數學教學

［摘? 要］ 雖然合情推理在日常生活中無處不在，卻難以達到數學精確水平. 猜想是合情推理的主要形態，合理猜想是具有良好直覺的高級認知活動過程. 文章從合情推理的內涵與價值出發，具體談談數學探究思維活動流程，并從公式、定理與例題教學三方面對合情推理能力的培養措施展開分析.

［關鍵詞］ 合情推理；公式；定理；解題

波利亞認為，在我們的日常交流、思維、藝術表演以及最高學科成就中到處都充滿了合情推理，雖然合情推理無處不在，卻難以達到數學精確水平. 他還提出，不管是初等數學還是高等數學，抑或其他學科，都不能缺乏合情推理過程，合情推理在所有的發現中都有著重要作用. 新課標也著重強調數學教學要注重發展學生的應用意識與推理能力.

合情推理的內涵與價值

合情推理是指在認知心理活動過程中，從感性直觀到知性探究的過程，它與演繹推理的邏輯形式有所不同，直覺、歸納與類比是它慣用的思維方式. 猜想是合情推理的主要形態，合理猜想是具有良好直覺的高級認知活動過程，一般以知識的形成作為思維的起點. 那么，在什么情況下，數學教學需要合情推理的輔助呢？

康德哲學學說認為，主體一般會利用自身意識中直觀性的先驗格式來羅列萬象，整頓乾坤，即外于主體的客體信息為人類已有的觀念賦予了它結構與意義，這種賦予外在信息意義的過程源于感性直觀和知性探究. 也就是說在學習者的思維活動中，獲得決定問題信息的本質結構，才能組織好外在信息，利用數學知識生成有價值的知識輪廓. 那么，賦予數學化信息結構與意義的過程是怎樣的呢？

如圖1所示，首先，主體從外在信息中確定支點信息，而這個心理活動又由外在信息與已有的知識結構互相誘導、調整而來；其次，支點信息形成“凝聚核”后，諸多外在信息則形成網絡式輪廓；最后，信息輪廓提示主體選擇相應的知識封裝成網絡式輪廓，形成新的信息結構圖.

綜上可知，分析數學問題信息時，主體對信息的結構并沒有十足把握. 因此需要從信息的某個支點出發，將信息組織成帶有結構意義的脈絡，這一切都離不開合情推理的作用.

培養合情推理的具體措施

概念、公式、定理、法則等是數學教學的基礎，也是數學解題之源. 原理命題的發現與證明過程，都離不開合情推理的應用. 因此，公式、定理與解題教學也是發展學生合情推理能力的必經之路.

1. 立足公式教學，培養合情推理能力

有些教師認為，學生只要記住公式就可以了，至于公式的來龍去脈沒有必要弄清楚. 殊不知，公式是解題的基礎，學生只有做到“知其然且知其所以然”，才能準確地應用公式. 淡化公式推導過程不僅會嚴重消減學生對公式的重視程度，還會阻礙學生合情推理能力的發展.

案例1 “等差數列的前n項和公式”的教學.

對于等差數列的前n項和公式，基本上從特殊對象著手開始研究，再逐步擴展到一般情況，即應用從特殊到一般的數學思想方法推導公式. 比如先提出問題“1+2+…+100=？”而后推廣問題“1+2+…+n=？”“a+a+…+a=？”，最后總結方法“配對求和”“倒序相加求和”.

筆者按照上述思路在一個班上了一節課，有兩點感受：①學生并不會將等差數列的前n項和公式與高斯算法聯系到一起，即使在教師的點撥下，也無法順利從高斯算法中得到啟示，自主實現倒序相加法的思維轉換；②討論高斯算法時，學生的興致較高，但對于其算理的研究以及倒序相加法的轉換，學生表現的是茫然的狀態. 因此只能將倒序相加法強硬地灌輸給學生，在這種高壓措施下，“順利”完成了等差數列的前n項和公式的推導. 雖說最終完成了教學任務，但學生并沒有從本源上認識到倒序相加法的原理，為后續實際應用埋下了隱患.

為此，在另一班授課時，筆者進行了如下改進：

與學生從求和符號開始進行討論，分析等差數列｛a｝的前n項和用數學中常用的求和字母S來表示，即S=a+a+…+a①. 若對式①進行逐項相加計算，則計算過程冗長煩瑣，而且容易出現失誤，這就要考慮使用一種簡單的求和方法進行計算，由此引發了如下互動過程.

生1：可以結合等差數列的性質，探索式①的簡單表達式，即求和公式.

師：英雄所見略同，那么表達式的結構是什么樣子的呢？如果表達式確實存在，那么在其結構形式中，可能存在哪些組成元素？

（學生沉默）

師：現在我們從以下幾方面去思考：式①的右邊存在n項，n為變量，其變化必然引起S的變化；結合等差數列的通項公式不難發現，若能確定等差數列中的某兩項，或者確定公差與等差數列中的某一項，那么這個數列也就明確了. 這能給我們帶來啟示嗎？

生2：如果一個等差數列明確了，那么該數列的前n項和應該也是確定的.

師：非常好！若這種猜想是正確的，則S表達結構中的元素有哪些？

生3：若猜想正確，則可能存在n，因為前n項和的值會隨著項數的變化而變化.

生4：還可能存在式①右側n項中的兩項.

師：很好！對于生3的想法，比較容易理解. 如果n是確定的，那么數列的前n項和必然也是確定的. 現在請生4說說你的想法.

生4：鑒于等差數列求和公式包含其所有項，因此其表達式就必須反映出該數列的所有項. 根據等差數列的特殊性，若知道其中兩項即可確定其所有項，換個角度理解，就是S的表達式僅需包含等差數列中的兩項就能將問題表達清楚，而且這兩項必須是相加的關系.

師：非常好！你的洞察力很強，提出的猜想也非常合理. 如果這種猜想成立的話，我們可以嘗試在式①右側的n項中取兩個特殊項，如a與a，那么S的表達式則含有a，a與n三個元素，而a與a必然以加法算式整體呈現.

生5：如果S的表達式含有這幾個元素，那么根據等差數列的通項公式，是不是也可以用n，a，d來表達S？

師：非常好！生5的思路非常清晰，希望大家能像他一樣擁有鉆研精神，也希望你課后能繼續研究下去，相信一定會有所收獲. 現在我們以a，a與n三個元素來表達S，鑒于a，a為等差數列中已知的項，那么唯一會發生變化的元素只有n，也就是說可以將S視為關于n的函數，即S=f（n）. 接下來就要思考如何確定函數S=f（n）的表達式.

生6：可以從特例著手進行分析，如S=a+a②.

師：這種探索思路對解決數學問題具有很大的幫助. 之前猜想的是S為n的函數……

生7（打斷教師）：我認為S=a+a這個式子的右側應該用n=2來表達，即S=.

師：太棒了！那么S=a+a+a③該怎么處理呢？

生8：結合之前的猜想，S可以用n，a，a來表達，去掉a即可. 根據等差數列的性質可知a+a=2a，因此a=④，將式④代入式③，得S=a++a=⑤.

師：這是關鍵的一步. 現在我們來看看S的表達式，因為a+a=a+a，所以S=2（a+a）⑥. 式⑥不含4，這該怎么處理呢？

生9：式⑥可以化為S=.

師：很好！綜上分析，咱們可以猜想出S的表達式了嗎？

生10：S=.

觀察改進后的教學過程，發現公式教學的真正價值并不在于公式推導或公式證明的邏輯過程，而在于公式結構探索的過程. 公式推導或證明只能說明該公式是正確、可靠的，而公式結構的探索則需要學生從零起點開始，通過智力的投入與思維的介入，才能促使公式誕生. 該過程是助力學生合情推理能力和探究能力發展的過程.

2. 關注定理教學，培養合情推理能力

定理是數學解題的依據，是在原命題的基礎上，通過證明獲得的新命題，它對發展學生的合情推理能力、數學思維能力以及探究能力都有重要的促進作用. 關注定理教學，帶領學生親歷定理形成與發展的過程，是將課堂轉移到“何以學會”的基礎.

案例2 “正弦定理”的教學.

筆者首先呈現圖2，提出這是一個三條邊與三個角各不相等的三角形，要求學生判別這個三角形的三個角和它們各自所對的邊具有怎樣的關系. 學生通過直觀觀察，很快就提到“大角對長邊或長邊對大角”. 根據這個猜想，獲得結論：當C>B>A①時，則c>b>a②，即在同一個三角形中，角和邊的大小呈一種互相依存的關系.

上述學生自主探索而來的結論屬于定性結論，定性是科學或哲學研究常用的方法，數學對定性研究還需要進一步準確刻畫，增加定量的研究過程.

師：對于式①和式②這兩個有一定聯系的不等式，是否可以定量刻畫？

生11：從三角形的三個角與三條邊的關聯情況，可以推測出定量關系==③，角度為弧度制單位.

師：很好！這個猜想是否成立呢？

生12：可以拿有的直角三角形來驗證，式③顯然不成立.

師：是否有其他意見或想法？

生13：嘗試將式③中的角分別取正弦值、余弦值與正切值進行分析，也就是==④，==⑤，==⑥，再檢驗這三個式子是否成立.

生14：式⑤和式⑥根本就不需要檢驗，取C=就可知，這兩個式子都不成立.

師：式④成立嗎？

學生經討論分析，發現式④是成立的.

關于三角形的邊角關系，學生在初中階段就有所接觸. 學生從“大角對長邊或長邊對大角”出發，猜想并構造式③，通過檢驗發現式③并不正確，由此引出新式④、新式⑤和新式⑥，當式⑤和式⑥被直接否定后，剩下的式④需要想辦法去證明.

合情推理過程在定理教學中的作用不言而喻，一環扣一環的猜想、驗證，為知識的獲得奠定了基礎. 教師若為了教學進度，直接將定理展示給學生，省略學生自主探索、猜想與驗證的過程，則學生會因缺乏推理過程，對定理感到陌生，應用定理時難免出現各種問題.

3. 強化解題教學，培養合情推理能力

合情推理能力的發展對構建解題技巧、提升解題能力具有直接影響. 有些教師為了讓學生接觸更多的題型，解題教學中常常關注學生“怎么解”，而忽略“為什么這么解”. 其實，解題思路與方法的提煉、總結，是實現觸類旁通的基礎，亦是培養學生數學合情推理能力的根本.

案例3 “數列”的解題教學.

問題：已知數列｛a｝與｛b｝的各項都是正數，且滿足a=（n∈N*）①. b=（n∈N*）②. 若｛a｝為等比數列，分別求a，b.

式①和式②難以配合在一起，若將式②變形為=，則可以猜想：若數列｛b｝為等比數列，則｛a｝必然是公比為1的常數列. 由于題目沒有直接給出｛b｝為等比數列的條件，因此需要從猜想出發，從式①中探尋a是常數的條件.

根據式①的結構考慮到基本不等式，從數列｛a｝與｛b｝都是正項數列的條件可知a+b<（a+b）2≤2（a+b），因此1<≤，也就是1≤a≤③. 接下來想辦法證明該猜想是成立的（過程略）.

從本題的解答過程不難發現，猜想“｛b｝為等比數列”是解題關鍵. 在猜想的輔助下，學生很快就意識到解決本題的關鍵措施是什么，由此成功地推導出解題思路. 這讓學生充分認識到合情推理對解題思路的形成具有重要影響，推理是促進自身形成“三會”能力的重要過程.

總之，借助課程資源培養學生的合情推理能力具有可行性. 在教學中，教師可有意識地引導學生猜想知識是怎樣產生的，讓學生在猜想與驗證中不斷強化對知識的認識，提高發現與解決問題的能力，以促進數學思維與合情推理能力的發展.

作者簡介：于美娟（1987—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作，海安市骨干教師.