經歷“創造”過程，優化數學教學

［摘? 要］ 數學學習并不是讓學生被動接受知識的過程，而是從學生原有認知經驗出發，實現知識主動建構的過程. 弗賴登塔爾倡導的“發現與再創造”對數學教學具有指導意義. 文章認為，經歷“創造”過程，優化數學教學的措施有：課題引入，突出創造的必要性；注重探索，探尋創造的途徑；完善認知，驗證創造的正確性；總結提煉，揭示創造的意義.

［關鍵詞］ 創造；優化；探索；復數

弗賴登塔爾提出：數學家從不按照創造數學的思維歷程去講述工作成效，而是顛倒思維，以結論作為出發點，反推出其他東西［1］. 正因為如此，他著重強調“再創造”為數學學習唯一正確的方法，即學生自主發現或創造出待學習的內容. 如復數就是虛構了一個“i”，創建了一個新的數學體系.

筆者曾參加過一次教研活動，觀摩多位教師對于“數系的擴充與復數的概念”的教學，發現不少教師的課堂存在一個共同問題，即學生對概念的理解浮于表面，對概念的原理一知半解，為后期概念的應用埋下了隱患. 因此，筆者緊扣“創造”過程，以“數系的擴充與復數的引入”教學為例，具體談談其原理的揭示過程，與同行分享.

課題引入，突出創造的必要性

復數概念背后有什么數學原理呢？從數學發展史來看，能發現一些數學知識是由人類創造的. 因此本節課教學，首先要讓學生明白知識“創造”的必要性.

師：大家說說你們心目中的數學是什么.

這個看似隨意的問題，似乎和本節課教學沒有什么關系. 筆者設計這個問題的主要意圖在于拉近師生之間的距離，同時為導入教學主題做好情感鋪墊. 有的學生提出數學就是解題，有的學生認為數學是公式、定理的應用，還有的學生認為數學是一種文化……順著學生的思維，筆者提出自己的觀點：數學還是一種“創造”.

情境創設：數學家卡丹提出，把10分成兩個數，且這兩個數的積恰好為40，求這兩個數.

生1：假設把10分成的兩個數分別為x，10-x，根據題意有x（10-x）=40，經化簡可得一元二次方程x2-10x+40=0，但Δ=-60<0，方程無解.

師：“方程無解”，這種表達準確嗎？

生2：不準確，應該表述為“方程無實數解”.

師：但卡丹認為該方程是有解的，解為x=5±，理由是這兩個數的和恰好為10，積也恰好為40，與題意完全符合.

生3：二次根號下可以是負數嗎？不對吧？

師：x=5±確實符合本題條件. 從剛才的表述來看，方程x2-10x+40=0無實數解，但并非無解，那是不是意味著它存在其他解呢？或者認為在其他數系中有一定意義呢？

將方程x2-10x+40=0的根的表述作為課堂導入情境，意在制造認知沖突，以引發學生思考與探索，為學生更好地接受“虛數”奠定基礎. 這種課堂導入方式，不僅讓學生明確實數系向外擴充的原因，還讓學生感知數學創造的必要性.

注重探索，探尋創造的途徑

章建躍先生認為：想要挖掘知識的育人價值，首先需打開知識，將知識原創者的實踐過程與思維還原、重演、再現，讓學生與知識重新“相遇”，感知知識創造的途徑，啟發學生進行知識的重組與生成［2］. 數學知識不僅刻畫了客觀事物的規律與特征，還蘊含了人類主觀的思想與情感等.

因此，講授新課時，教師除了帶領學生學習新知外，還要關注知識所凝聚的實踐因素，只有將這些因素轉化為學生的精神財富，才能讓學生從本質上掌握知識的內涵. 想讓學生發現本節課教學內容的本質，就要帶領學生經歷知識的創造過程. 實踐證明，從運算中發現問題，從探索中總結規律，可成功轉變學生的數學觀念，為形成合理的“虛構”奠定基礎.

師：如何讓有意義呢？

生4：根號里出現負數，不合常理啊！（學生無法接受根號里存在負數的現象）

師：新事物的形成與發展需要經歷一個過程，我們要有接納新事物的胸懷，若有疑問，可以進行探索和研究.

在筆者的啟發下，學生開始探索在什么情況下有意義. 縱觀整個數系的擴充過程，每次擴充必然伴隨著運算的完善. 因此，可以借鑒加、減、乘、除與開方運算在各個數系中成立的情況進行分析. 如表1所示，要求學生自主判斷各種運算在各個數系中成立的情況.

由于任意自然數經加或乘運算后，仍然是自然數，但經除、減或開方運算后就不一定是自然數，故只有加和乘運算在自然數集中是成立的；任意整數經加、減、乘運算后依然為整數，而經除與開方運算后就不一定為整數……

師：通過這張表格，你們有什么收獲？

生5：由自然數到整數，再從整數到有理數，數系經過兩次擴充后，之前無法解決的問題就都解決了，但從有理數擴充到實數，負數的開方運算依然未能解決.

師：由此可見，每次數系的擴充過程都是一次運算的完善過程，但負數的開方運算仍然是個“懸案”，這就說明進一步擴充數系勢在必行.

生6：實數集還能如何擴充呢？

筆者帶領學生總結歷史中數系擴充的方法，讓學生感知數系擴充應用了哪些技巧，并要求學生將圖1補充完整.

生7：想讓有實際意義，就要讓有實際意義，要是能開平方就好了.

師：你指哪個數能開平方？

生7：我的意思是要是x2=-1就好了，但實數集中并不存在這樣的數.

師：這種想法非常好！既然實數集中不存在這樣的數，我們是否可以創造一個數系呢？結合之前數系擴充的原則進行思考，看看有沒有什么好辦法.

生8：引入一個新的符號或者新的數.

師：非常好！現在我們就虛構一個這樣的數為“i”，讓i2=-1.

在“以生為本”的基礎上，筆者循循善誘引導學生突破原認識的禁錮，鼓勵學生向未知挑戰，讓學生自主考慮“創造”是解決問題的良好方法. 那么，這種“創造”是否科學呢？這需要經過嚴謹的探索與驗證.

完善認知，驗證創造的正確性

創造、猜想等是人類主觀意識的表現，想要證明其是否科學合理，需要經過嚴謹的探索與驗證. 當然，探索與驗證的過程離不開教師的引導與啟發.

師：現在我們引入“i”，可表達為i，那么5±就可以表達為5±i，如此就解決了二次根號下存在負數的問題. 大家覺得給含“i”的數取個怎樣的名字比較合適呢？

生9：既然是創造出來的數，就稱為“虛數”吧.

師：看來這位同學預習過. “i”是imaginary（虛幻、想象的）的首字母，用“虛數”命名再貼切不過了. 現在我們明確“i”為虛數單位，結合數系擴充的規律，是否可以將i和實數進行四則運算呢？請舉例.

生10：如4i，3+2i，-i，3-4i.

師：觀察生10所舉的例子，從結構上看，有什么特點？

生11：每個結構都符合a+bi（a，b∈R）的模式.

師：4i，-i也符合這個模式嗎？

生12：符合，當a=0，b=4時，就是4i；當a=0，b=-1時，就是-i.

師：實數2，0的結構也符合a+bi（a，b∈R）嗎？

生13：符合，當a=2，b=0時，就是實數2；當a=0，b=0時，就是實數0.

師：也就是說a+bi（a，b∈R）不僅能表示虛數，還能表示實數. 由此可以看出這一類數的集合包含實數集，我們將這一類數統稱為復數，用C表示其集合. 從字面來看，復數就是復合的數，現在請大家說說對復數的直觀理解.

生14：結構為a+bi（a，b∈R）的數為復數，主要由前后兩部分組成.

師：非常好，復數可記作z=a+bi（a，b∈R），a稱作實部，b稱作虛部.

類比實數的運算法則，筆者帶領學生從特殊到一般進行復數概念的提煉，從一定意義上促進學生知識體系的完善，讓學生進入探尋事物性質的積極狀態. 在以上教學過程中，避免了機械式教學的弊端，讓學生從根本上理解了復數的由來與意義.

師：現在你們知道復數分為哪幾類呢？

生（齊）：實數和虛數.

師：我們將類似于4i，-i的復數稱為純虛數. 如圖2所示，用韋恩圖表示實數、虛數、復數之間的關系.

問題1 寫出下列復數的實部和虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數.

2-3i，5，6+i，0，7i，2i2.

學生解題還算順利，但對2i2的分類出現了爭議，經過交流與探索，最終發現2i2實際上是-2，由此確定2i2是實數. 據此，學生得到了“含有i的數不一定是虛數”的結論.

問題2 復數系中，怎樣證明復數z=a+bi（a，b∈R）與復數z=c+di（c，d∈R）是相等的關系？

生15：要確定復數的實部相等，虛部也相等，即a+bi=c+di?（a-c）+（b-d）i=0?a=c，b=d.

隨著問題的提出與解決，學生領略到復數概念的內涵與邏輯關系，并在分類中對知識形成了系統認識，在完善認知結構的同時，達到了融會貫通的目的.

總結提煉，揭示創造的意義

創造的形成離不開創新思維的支撐. 創造是邏輯思維與非邏輯思維的結合，也是收斂思維與發散思維的統一，是人腦對客觀現實按照一般思維規律認識并創新的過程，因此創造凸顯著創新思維的價值. 創造（創新）思維既具有一般思維的深刻性、敏捷性、批判性等，又具備區別于一般思維的獨特性. 因此，在創造過程中，應注重對思維的提煉與總結，凸顯出創造的價值與對數學發展的意義.

師：本節課我們一起創造了“虛數”，復數開方運算的問題就解決了，同時還認識了一個更大的數系——復數. 通過前面的學習，大家認為虛數純屬虛構嗎？

生16：貌似有點“虛”，但從解決實際問題的角度來看，好像又沒那么“虛”了.

師：大家都知道，每個實數都能與數軸上的點對應起來，如圖3所示，通過數軸我們可以看見，將1繞原點逆時針旋轉180°得到-1，也就是1×（-1）=-1. 如圖4所示，將1繞原點逆時針旋轉90°后再旋轉90°得到-1，引入i2=-1，即1×（-1）=1×i×i. 因此，你們有沒有發現實數和i的積存在什么幾何意義？

生17：可認定其為有向線段的旋轉.

筆者所提的這個幾何意義在虛數出現前并未被發現，而是隨著虛數的創造逐漸被挖掘出來. 其實，科學家創設各種知識時，不一定事先獲得真理，真理可能是通過后續不斷研究與實踐而得到的. 此處，通過揭示復數的幾何意義，讓學生切身感受虛數的價值與意義，使學生發自內心地理解并接納復數.

師：本節課給你們帶來了什么收獲？復數能否繼續擴充？

對于這個總結性的問題，學生的回答比較豐富，有學生提出虛數原來并不“虛”，也有學生提出數學原來是創造出來的……在此筆者趁機滲透以下幾點重要思想：①數是人類創造出來的；②當遇到無法解決的問題時，可嘗試創造出新的數來分析問題；③能否解決問題、有與無等都是相對而言的，數學創造的難點在于如何打破思維定式，只有解決這一難點，才能獲得創造力.

至于復數是否可以繼續擴充的問題，意在激發學生的數學思維以及學習內驅力. 值得注意的是，課堂小結不僅僅是知識點的總結，更是數學思想方法、情感體驗與綜合素養的提煉. 尤其是“懸案”的設置，能有效激發學生探究的動力，讓學生感知理性思維的重要性與創造的意義.

總之，知識的“發現與再創造”過程，實質上就是架構局部數學體系的過程［3］. 學生親歷知識創造的過程，對知識的實際意義與價值有更深刻的理解，這體現了探究性學習的宗旨.

參考文獻：

［1］ 弗賴登塔爾. 作為教育任務的數學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］ 曹才翰，章建躍. 數學教育心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2006

［3］ 湯慧龍. 關于數學創新性教育的另一種思考［J］. 數學教育學報，2011， 20（03）：17-18.

作者簡介：姜璐璐（1989—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作.