關(guān)注學(xué)生發(fā)展　提升復(fù)習(xí)效率

［摘? 要］ 在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供機會參與課堂，在參與的過程中通過觀察、分析、對比、聯(lián)想、反思、總結(jié)等學(xué)習(xí)活動發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、掌握解題方法、積累解題經(jīng)驗，以此發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高自主學(xué)習(xí)能力，提升高三復(fù)習(xí)效率.

［關(guān)鍵詞］ 復(fù)習(xí)教學(xué)；解題經(jīng)驗；復(fù)習(xí)效率

在高三復(fù)習(xí)課堂中，部分教師帶領(lǐng)學(xué)生進行簡單的知識梳理后，就將學(xué)生帶入“題?！?，以期借助“題?！睂崿F(xiàn)知識的鞏固和強化，提升解題技能，提高解題效率. 但機械重復(fù)的練習(xí)不僅不能幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗，而且容易造成學(xué)生心理負(fù)擔(dān)，影響復(fù)習(xí)效率. 為了改變這一現(xiàn)狀，在習(xí)題的設(shè)計上應(yīng)該做到精挑細(xì)選，不貪多，不求快，充分發(fā)揮例題、習(xí)題的引導(dǎo)作用，通過其推廣應(yīng)用來拓展學(xué)生的思路，讓學(xué)生掌握和理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，以此提升復(fù)習(xí)有效性［1］. 筆者教學(xué)“空間幾何體的體積”時，為了更好地發(fā)展學(xué)生，讓學(xué)生獲得解題經(jīng)驗，做了一些嘗試，取得了一點效果，現(xiàn)分享給大家，以期共鑒.

教學(xué)分析

1. 內(nèi)容分析

求幾何體的體積涉及空間點、線、面的位置關(guān)系，空間角和距離的數(shù)量關(guān)系等相關(guān)內(nèi)容，其綜合性強，對學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力、數(shù)學(xué)綜合運用能力的要求較高，是公認(rèn)的教學(xué)難點，同時也是高考的熱門考點.

2. 學(xué)情分析

本節(jié)課內(nèi)容在新知教學(xué)時重點講解過，并進行過強化訓(xùn)練，因此學(xué)生具有一定的解題經(jīng)驗和自主學(xué)習(xí)能力，以上知識、經(jīng)驗、方法、能力為實現(xiàn)“生本”高效課堂提供了智力支持和精神動力.

3. 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過復(fù)習(xí)求幾何體體積的計算公式，幫助學(xué)生理解空間幾何體體積公式中各個量之間的內(nèi)在關(guān)系，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知體系.

（2）幫助學(xué)生理解并掌握求空間幾何體體積常用的方法.

（3）培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，增強學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 教學(xué)重點

幾何體體積的計算.

5. 教學(xué)難點

確定幾何體的高.

教學(xué)實錄

1. 知識梳理

根據(jù)導(dǎo)學(xué)案要求，學(xué)生獨立完成表1.

師：課前讓大家填寫表格，大家都填好了嗎？

生齊聲答：填好了. （筆者點名讓學(xué)生回答，并投影展示）

師：仔細(xì)觀察這些公式，它們之間有什么聯(lián)系？（學(xué)生不語）

師：結(jié)合圖1，說一說你有什么發(fā)現(xiàn). （學(xué)生積極討論）

生1：對于棱臺，若上底面逐漸擴大，當(dāng)上底面和下底面全等時，則棱臺就變成了棱柱；反之，若上底面逐漸縮小，當(dāng)縮成一個點時，則棱臺就變成了棱錐. 圓臺、圓柱、圓錐的變化規(guī)律與之相同.

師：說得很好，現(xiàn)在誰來說一說，這些公式有什么聯(lián)系？（學(xué)生躍躍欲試）

生2：對于臺體的體積公式，當(dāng)S=S時，可得柱體的體積公式；當(dāng)S=0時，可得錐體的體積公式.

設(shè)計意圖 課前通過表格回顧舊知，喚醒學(xué)生的記憶. 課上引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何示意圖觀察柱體、臺體和錐體之間的內(nèi)在關(guān)系，以便學(xué)生理解和記憶. 同時，借助幾何示意圖提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，為接下來的解題活動打下堅實的基礎(chǔ).

2. 例題精講

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了更好地將知識、方法、經(jīng)驗融合在一起，例題、習(xí)題教學(xué)必不可少. 不過教師選擇例題、習(xí)題時切勿貪多、貪新、貪難，應(yīng)依據(jù)實際情況和教學(xué)目標(biāo)合理安排，要確保其具有一定的針對性和目的性，盡量做到一題一得，讓每一個學(xué)生都能獲得不同程度的提升［2］.

（1）自然引出“公式法”.

問題1 將一個長為4、寬為2的矩形卷成一個圓柱，求該圓柱的體積.

師：大家可以選擇合適的素材，如書、草稿紙等矩形卷一卷，該如何卷，體積如何算？

問題給出后，學(xué)生積極操作，很快給出了答案.

生1：以4為圓柱的底面周長，此時圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高為2. 根據(jù)圓柱的體積公式，可得該圓柱的體積V=πr2h=.

師：很好，和你們的結(jié)果一致嗎？

生2：這個結(jié)果沒有問題，但是回答得不夠全面，還有另外一種情形.

師：哦，還有一個情形？它的體積是多少？

生2：以2為圓柱的底面周長，此時圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高為4，則V=πr2h=.

師：還有補充嗎？（學(xué)生搖頭表示沒有補充）

師：很好，通過動手操作我們發(fā)現(xiàn)了圓柱的兩種不同形狀，并利用圓柱的體積公式直接求出了其體積.

師：若為以上求體積的方法起個名字，你們感覺應(yīng)該叫什么？

生齊聲答：公式法. （筆者板書）

練習(xí)1 圖2是一個六角螺帽，它由一個正六棱柱挖去一個圓柱構(gòu)成. 已知正六棱柱的正六邊形底面邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則六角螺帽的體積是____cm3.

題目解析 本題主要考查學(xué)生利用“公式法”求柱體的體積. 正六棱柱的體積V=6××2×2×sin60°×2=12（cm3），圓柱的體積V=π×0.52×2=（cm3），兩者相減即可得六角螺帽的體積.

設(shè)計意圖 通過具體操作，提煉解題方法，進一步加深學(xué)生對“公式法”的理解.

此環(huán)節(jié)主要以學(xué)生自主探究為主，讓學(xué)生通過具體操作體驗解題過程，提煉解題方法. “公式法”起點低，易于學(xué)生理解和接受，可充分調(diào)動學(xué)生參與探究的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，為接下來進一步探究創(chuàng)造條件.

（2）合作探究“等體積法”.

問題2 如圖3所示，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是邊長為a的等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，F(xiàn)為AB的中點，EC與平面ABCD所成的角為30°，求三棱錐F-CDE的體積.

問題2的難度略有提升，不能用“公式法”直接求解，需要學(xué)生另尋他法. 問題2給出后，筆者預(yù)留時間讓學(xué)生獨立思考，接下來通過互動交流逐漸引出“等體積法”.

師：誰來說一說，解題時你遇到了哪些問題？

生3：求三棱錐F-CDE的體積需要知道它的底面積和高，△CDE的面積易求，但是點F到平面CDE的距離怎么求呢？

生4：開始我和生3的想法一樣，也想直接利用“公式法”求解，遇到了同樣的困惑. 但仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，三棱錐F-CDE與三棱錐E-CDF是同一個三棱錐，這樣可以將求三棱錐F-CDE的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-CDF的體積. 又△CDF的面積為a2，這樣只要求出點E到平面CDF的距離即可. 由已知條件“平面ADE⊥平面ABCD”，取AD的中點H，連接EH，EH就是點E到平面CDF的距離（可證）. 根據(jù)已知條件易求EH=a，故V=V=·EH·S=a3.

師：很好！生4將不易于求高的三棱錐轉(zhuǎn)化為易于求高的三棱錐，問題便迎刃而解. 若為這一方法命名，你們覺得叫什么比較合適呢？

生5：等體積法. （筆者板書）

師：若將“三棱錐”改為“四棱錐”“五棱錐”，這種方法是否依然適用呢？（學(xué)生陷入沉思）

生6：不行，對于其他棱錐，若將頂點換掉，則其他頂點不共面.

師：很好，分析得很到位，看來“等體積法”在錐體體積計算中只適合三棱錐. （筆者在板書“等體積法”后加上條件：適合三棱錐）

師：思考一下，點F到平面CDE的距離是否可求呢？

生7：可以，可根據(jù)“等體積法”求解.因為V=V（已求），這樣只要求出△CDE的面積，即可求出點F到平面CDE的距離.

師：很好，這樣通過“等體積法”不僅能求出三棱錐的體積，還能求出點到平面的距離，可見這是求點到平面的距離的重要方法之一.

設(shè)計意圖 通過精選例題，創(chuàng)設(shè)障礙，誘發(fā)學(xué)生探索不同的解題路徑，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和變通性. 學(xué)生順利求解后，筆者繼續(xù)追問，誘發(fā)其深度思考，總結(jié)歸納出“等體積法”的適用范圍，并通過問題推廣讓他們發(fā)現(xiàn)求點到平面的距離的重要方法，發(fā)揮了問題的最大功效.

練習(xí)2 如圖4所示，已知正方體ABCD-ABCD的棱長為a，點E，F(xiàn)分別為棱AA和CC的中點，求四棱錐A-EBFD的體積.

題目解析 EB=BF=FD=DE=a，連接EF，則△EFB≌△EFD. 由于三棱錐A-EFB與三棱錐A-EFD等底同高，因此V=2V=2V. 這樣只要求出三棱錐F-EBA的體積，問題便可迎刃而解.

設(shè)計意圖 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)多一些引導(dǎo)，少一些灌輸，多為學(xué)生創(chuàng)造一些時間和空間去交流、去發(fā)現(xiàn)，以此激發(fā)學(xué)生主動探索的熱情. 對于問題2，大多數(shù)學(xué)生從“公式法”出發(fā)，但在求點到平面的距離時受阻，這樣通過“障礙”點燃了學(xué)生探究的熱情，使學(xué)生得到了求體積的另一種方法——“等體積法”. 接下來通過追問，進一步強化學(xué)生對“等體積法”的理解，讓學(xué)生明晰該方法的適用條件，有效避免解題時盲目套用方法所帶來的錯解風(fēng)險，最終培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

（3）自主探索“補形法”.

問題3 在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，且長度分別為1，，2，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為________.

生8：由于三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，將三棱錐補形成長方體，則三棱錐的外接球與長方體的外接球相同，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了求長方體的外接球的體積. 而長方體的體對角線為球的直徑，于是有（2r）2=12+（）2+22=8，故r=. 根據(jù)球的體積公式，易得V=π.

師：非常好. 根據(jù)已知條件將三棱錐轉(zhuǎn)化為易于求解的長方體，通過化歸與轉(zhuǎn)化，輕松地解決了問題. 這個方法叫什么呢？

生齊聲答：補形法. （筆者板書）

練習(xí)3 在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為________.

題目解析 將三棱錐A-BCD補形為長方體，設(shè)長方體的三邊為a，b，c，由題意得ab=，ac=，bc=，解得a=，b=，c=1，故外接球的直徑為=，因此三棱錐A-BCD的外接球的體積為π.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生理解“補形法”，并熟練應(yīng)用“補形法”解決問題. 同時，借助“補形法”培養(yǎng)學(xué)生的空間意識，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

（4）交流探討“分割法”.

問題4 如圖5所示，已知三棱錐P-ABC中，棱長AC為6，其余棱長均為5，求三棱錐P-ABC的體積.

有了前面的解題經(jīng)驗，在此環(huán)節(jié)中，筆者組織學(xué)生交流討論，共同探尋解題方法.

師：誰來分享一下解題過程？

生9：如圖5所示，因為PA=PB=PC=5，所以頂點P在底面的射影為△ABC的外心，設(shè)其外心為O，則PO為三棱錐P-ABC的高. 在等腰三角形ABC中，其外心O在AC的中垂線上，且點O在△ABC的內(nèi)部. 設(shè)OA=r，則r2=32+（4-r）2，解得r=. 所以O(shè)P==，故V=·S△ABC·PO=×12×=.

師：很好，利用“公式法”解決了問題，思路清晰、嚴(yán)密. 除了“公式法”外，你還有沒有其他發(fā)現(xiàn)呢？

生9：可以通過拆分三棱錐P-ABC求其體積.

師：具體說一說.

生9：取AC的中點D，因為△PAC和△ABC都是等腰三角形，易得AC⊥平面PBD，則截面PBD將三棱錐P-ABC分成了兩個共底的三棱錐，分別為三棱錐A-PBD和三棱錐C-PBD. 于是V=V+V=·AD·S+·CD·S=×6×S=2S. 又PB=5，BD=PD=4，所以S=. 所以V=.

師：非常好，通過分割優(yōu)化了解題過程，提高了解題效率.

師：對于這種方法該如何稱呼呢？

生10：分割法. （筆者板書）

設(shè)計意圖 通過對比交流讓學(xué)生知道恰當(dāng)?shù)摹胺指睢笨梢院喕\算過程，提升解題效率. 同時，通過多解發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的靈活應(yīng)變能力.

3. 課堂小結(jié)

師：今天我們重點研究了什么？你有什么收獲？

生11：重點研究了多面體的體積計算.

生12：復(fù)習(xí)了四種重要的體積計算方法.

……

師：很好，其實解題方法是靈活多變的，解題時我們要根據(jù)已知條件合理選擇方法，靈活轉(zhuǎn)化，從而提高解題效率.

設(shè)計意圖 通過知識梳理，幫助學(xué)生進一步鞏固知識和方法，以及建構(gòu)完善的認(rèn)知體系.

教學(xué)思考

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師將主要精力放在知識重現(xiàn)和解題技巧的講授上，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗的積累. 為了“求多”“求快”，這部分教師只關(guān)注“如何教”，忽視了“如何學(xué)”，從而限制了學(xué)生發(fā)展，影響了復(fù)習(xí). 在本節(jié)課的教學(xué)中，為了更好地發(fā)展學(xué)生，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性，筆者做了如下嘗試：

首先，為學(xué)生提供了參與課堂的機會. 在本節(jié)課的教學(xué)中，無論是基礎(chǔ)知識梳理，還是問題精講，抑或是課堂小結(jié)，都是先由學(xué)生獨立思考，再進行溝通交流，讓學(xué)生正確認(rèn)識和理解知識，發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在關(guān)系，總結(jié)規(guī)律，形成方法.

其次，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗. 在解題教學(xué)中，筆者堅持“以生為本”，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比、討論、歸納、反思等活動發(fā)現(xiàn)知識與問題、結(jié)論之間的聯(lián)系，利用已有知識、經(jīng)驗探索解決問題的方法，發(fā)現(xiàn)解決問題的一般策略. 在教學(xué)中，筆者鼓勵學(xué)生應(yīng)用不同方法求解，以此拓寬學(xué)生的解題視野，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗.

最后，關(guān)注教學(xué)實效. 在教學(xué)中，筆者“不貪多”“不求快”，充分挖掘問題的拓展功能，力求讓學(xué)生每解一個問題都有不同的收獲，有效避免簡單重復(fù)所帶來的枯燥感，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心.

總之，在教學(xué)中，教師要精心設(shè)計教學(xué)活動，及時組織學(xué)生總結(jié)和反思，通過有效反思、回顧、頓悟，認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉解決問題的方法，以此提升解題效率.

參考文獻：

［1］ 佘世慶，佘元振. 基于“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”視角下的高三復(fù)習(xí)課課例研究［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（08）：2-3.

［2］ 曾榮. “微專題”復(fù)習(xí)：促進深度學(xué)習(xí)的有效方式［J］. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（04）：28-34.

作者簡介：呂永玉（1987—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.