構造函數證明不等式的方法探究

［摘? 要］ 構造函數是證明不等式的重要方法，具體使用時有多種技巧. 文章探究構造函數證明不等式的五種方法，并結合教學實踐開展教學思考.

［關鍵詞］ 構造函數；不等式；思想方法；教學思考

函數與導數是高中數學的重難點知識，也是高考的考查熱點. 構造函數證明不等式的基本策略是：先分析不等式的特征，構造對應函數，將不等式問題轉化為函數問題，再利用導數知識分析函數性質，證明不等式. 因此，合理構造函數是證明不等式的關鍵，構造函數時常涉及變形轉化. 下文具體探究變形轉化、構造函數的方法.

關于構造函數的深入思考

在教學探究中，要注意引導學生歸納總結，讓學生掌握解題技巧，提升學生的數學思維，筆者結合教學實踐提出幾點建議.

1. 鞏固知識基礎，形成知識網絡

不等式證明的破解涉及導數、函數、不等式等相關知識，其性質定理是解題的基礎，教學探究中要引導學生關注其中的基礎知識，形成該類問題的知識網絡. 構造函數證明不等式，最終還需歸結到利用導數知識來研究函數的性質，包括其單調性、值域、極值等. 教學中要梳理知識，關注知識關聯，形成完整的知識體系. 知識網絡構造時要注意兩點：一是從不等式問題出發，梳理所涉知識點；二是結合知識關聯來串聯知識.

2. 歸納總結方法，掌握解題策略

上述案例講述了構造函數證明不等式問題的五種方法，形成了系統的破解策略. 由于涉及問題類型、解法眾多，教學探究中要指導學生歸納總結，讓學生掌握相應的解題技巧. 教學中可從以下三個方向來開展：一是指導學生關注問題特征，分析不等號兩側函數的代數式，分析其結構；二是引導學生分析構造函數的方法，包括具體的解題步驟、方法核心、適用的問題；三是結合實例強化方法，讓學生構建思路，掌握解題策略.

3. 挖掘思想方法，提升數學素養

構造函數證明不等式涉及眾多數學思想，教學探究中要引導學生挖掘其中的數學思想，比如等價轉化、分類討論等. 教學時可立足具體問題逐一分析. 以上述解法“改變不等式結構，重構函數”為例，不等式變形中涉及等價轉化思想，構造函數分析中涉及構造思想，討論參數取值解題中涉及分類討論思想. 在教學中，要讓學生體驗解題過程，感悟其中的數學思想，深刻體會數學思想方法的重要性.

作者簡介：湯鴻（1986—），碩士研究生，中小學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.