從一道競賽題窺圓錐曲線定值問題

［摘? 要］ 研究者發現圓錐曲線定值問題受命題人的青睞，已經成為圓錐曲線命題中的一類熱點問題. 文章從一道競賽題中發現橢圓中兩直線的斜率之比為定值，并由此通過變式進行拓展研究，察覺解決橢圓中有關“斜率”的定值問題在于巧用特殊條件建立等量關系.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；橢圓；斜率；定值

問題呈現

（2018年全國高中數學聯賽重慶市預賽）設橢圓C的左、右頂點為A（-a，0），B（a，0），過右焦點F（1，0）作非水平直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，記直線AP，BQ的斜率分別為k，k，試證：為定值，并求此定值（用a的函數表示）［1］.?題型反思1 過橢圓焦點的直線與橢圓相交于兩點，由橢圓的左、右頂點分別引出兩條過兩交點的直線，則這兩條直線的斜率之商為定值. 解決這類題目，只需先設過橢圓焦點的直線方程，并將其與橢圓方程聯立，得出兩交點縱坐標的和與積之間的關系；再設兩直線斜率作商，化簡計算，求得定值.

筆者發現圓錐曲線定值問題受命題人的青睞，已經成為圓錐曲線命題中的一類熱點問題，正如原題，可將其繼續變式，研究一下橢圓中有關“斜率”的定值問題.

我們知道，一般橢圓的焦點是在橢圓內部且在x軸上的具有特殊意義的點，除了兩個焦點外，原點作為橢圓的對稱中心，也是在橢圓內部且在x軸上的具有特殊意義的點. 故筆者考慮作一條過原點與橢圓相交的直線，看看在這樣的圖形中是否存在著與斜率有關的定值.

題型反思2 從變式題1到變式題2，過焦點的直線與橢圓相交于兩點變成了過原點的直線與橢圓相交于兩點，由橢圓的左、右頂點分別引出的過兩交點的兩條直線變成了由橢圓上一點引出的過兩交點的兩條直線，兩條直線斜率之比為定值也變成了兩條直線斜率之積為定值，這里我們可以將變式題1的A，B兩點看成一個點P.由于此題的兩點在過原點的直線上，其橫、縱坐標具有特殊性質，因此不再聯立直線方程和橢圓方程，而是直接利用這一特殊性質設兩交點的坐標，進而表示出兩直線斜率之積. 再依次將三點的坐標代入橢圓方程，用點差法找到代數關系，進一步化簡計算，證得直線PA的斜率與直線PB的斜率之積為定值.

上述證明再次驗證了筆者的想法，給了筆者深入研究的信心. 若作一條不過原點且與橢圓有兩個交點的直線，在這樣的圖形中是否存在與斜率有關的定值呢？

變式題3 設不過原點O的直線與橢圓C：+=1（a>b>0）相交于A，B兩點，點P是橢圓C上任意一點且線段AB被直線OP平分（其中x≠x且x≠0），則直線AB與直線OP的斜率之積為定值e2-1.

題型反思3 從變式題2到變式題3，過原點的直線與橢圓相交于兩點變成了不過原點的直線與橢圓相交于兩點，兩交點連成的線段被原點平分也變成了兩交點連成的線段被橢圓上一點與原點連成的直線平分. 這里我們可以看到，當x軸上的取點更加一般化后，橢圓上的取點更加特殊了. 對于此題，先巧用中點性質建立橢圓中特殊點（點P）的縱、橫坐標之商（OP的斜率）與兩交點縱、橫坐標之和的商的等量關系；再將兩交點的坐標依次代入橢圓方程，用點差法找到代數關系，進一步化簡計算，證得直線AB與直線OP的斜率之積為定值.

結束語

回顧上述三道變式題，筆者發現解決此類定值問題的關鍵在于巧用特殊條件建立等量關系，如變式題1、變式題2、變式題3，分別利用的是焦點、原點和中點這樣特殊點的性質建立起的等量關系.

雙曲線和拋物線作為另外兩類圓錐曲線，是否也存在有關“斜率”的定值呢？除了有關“斜率”的定值問題外，圓錐曲線中還有哪些常見的定值問題？有興趣的同行可以繼續研究下去.

參考文獻：

［1］ 中國數學會普及工作委員會. 2020高中數學聯賽備考手冊［M］. 上海：華東師范大學出版社，2020.

基金項目：珠海市教育科研“十四五”規劃第二批（2022年度）課題 “高中數學課前導學有效性研究”（2022ZHGHKTG032）.

作者簡介：黃玉聰（1996—），碩士研究生，從事中學數學研究工作，曾獲全國大學生數學建模競賽本科組一等獎、全國大學生數學競賽（數學專業）二等獎.