K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張的性質(zhì)

謝光明，梁 婕

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006）

設(shè)V是除環(huán)K上的全賦值環(huán)，σ∶Z（2）→Aut（K）是一個(gè)群同態(tài). 則Z（2）在K上的斜群環(huán)K［Z（2），σ］有左商除環(huán)，記為K（Z（2），σ）. 筆者主要研究K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張的性質(zhì). 2007 年，Brungs 等研究了張量積的分次擴(kuò)張和高斯擴(kuò)張的問(wèn)題，并證明了分次擴(kuò)張和高斯擴(kuò)張中有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系［1］. 2008—2009 年，謝光明等對(duì)斜羅朗多項(xiàng)式環(huán)上的分次擴(kuò)張進(jìn)行了完全分類(lèi)，并對(duì)每一類(lèi)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了刻畫(huà)［2-3］.之后他們對(duì)相應(yīng)的分次擴(kuò)張和高斯擴(kuò)張進(jìn)行了研究［4-7］. 2009 年，謝光明等研究了K［Z（2），σ］上最簡(jiǎn)單的分次擴(kuò)張——平凡分次擴(kuò)張［8］. 2015 年，謝光明等對(duì)K［x1，x2；x1-1，x2-2］上的分次擴(kuò)張進(jìn)行了刻畫(huà)，實(shí)際上是K［Z（2），σ］在交換情況下的結(jié)構(gòu)［9］. 筆者討論在非交換的情況下，K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張及對(duì)應(yīng)分次擴(kuò)張的性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)K是一個(gè)除環(huán)，若對(duì)?k∈K，k≠0，有k∈V或k-1∈V，則稱V是K的一個(gè)全賦值環(huán)［2］.

定義2設(shè)是K［Z（2），σ］上的子加群，若對(duì)?i，j，i′，j′∈Z，都有Α（i，j）X（i，j）·，則稱Α是K［Z（2），σ］上的分次子環(huán)［2］.

定義3設(shè)是K［Z（2），σ］上的分次子環(huán)，若對(duì)?i，j∈Z，aX（i，j）∈K［Z（2），σ］，aX（i，j）≠0，有aX（i，j）∈Α或（aX（i，j））-1∈Α，則稱Α是K［Z（2），σ］上的分次全賦值環(huán)［2］.

定義4設(shè)是K［Z（2），σ］上的分次全賦值環(huán)，若Α（0，0）=V，則稱Α是V在K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張［2］.

定義5設(shè)是V在K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張，則稱Α的分次極大左理想的交Jg（Α）是Α的分次Jacobson 根［10］.

定義6設(shè)R是V在K（Z（2），σ）中的一個(gè)賦值環(huán)，且R∩K=V.若R滿足條件：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，必有，則稱R是V在K（Z（2），σ）上的一個(gè)高斯擴(kuò)張［1］.

引理1設(shè)是V在K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張，Α（0，0）=V那么Jg（Α）是可局部化的，且是V在K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張［1］.

引理2設(shè)R是V在K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張. 那么Α=R∩K［Z（2），σ］是V在K［Z（2），σ］上的一個(gè)分次擴(kuò)張，且Jg（Α）=J（R）∩K［Z（2），σ］，R=［1］.

引理3V在K［Z（2），σ］上的所有分次擴(kuò)張組成的集合與V在K（Z（2），σ）上的所有高斯擴(kuò)張組成的集合之間存在一個(gè)雙射φ，并且具體映射方式為：其中Α是V在K［Z（2），σ］上的一個(gè)分次擴(kuò)張，R是V在K（Z（2），σ）上的一個(gè)高斯擴(kuò)張［1］.

定義7設(shè)R是整環(huán)，若對(duì)任意的a，b∈R，b≠0，存在c，d∈R，d≠0，使得da=cb，則稱R滿足左Ore 條件，或稱R是一個(gè)左Ore 集［11］.

引理4設(shè)R是一個(gè)整環(huán)，且R是一個(gè)左Ore 集. 則對(duì)?δ1，…，δn∈R，且δ1≠0，…，δn≠0，存在η1，…，ηn∈R，且η1≠0，…，ηn≠0，使得η1δ1=…=ηnδn［11］.

2 主要結(jié)論

設(shè)V是除環(huán)K上的全賦值環(huán)，σ∶Z（2）→Aut（K）是一個(gè)群同態(tài)，K［Z（2），σ］是Z（2）在K上的斜群環(huán). 令X=X（1，0），τ=σ（1，0）∈Aut（K），Y=X（0，1），θ=σ（0，1）∈Aut（K）. 斜羅朗多項(xiàng)式環(huán)上的分次擴(kuò)張及其商除環(huán)上的高斯擴(kuò)張已經(jīng)在文獻(xiàn)［2-7］中進(jìn)行了詳盡的研究，但K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張及K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張還有許多問(wèn)題沒(méi)有解決. 筆者將建立起它們與斜羅朗多項(xiàng)式環(huán)上的分次擴(kuò)張及其商除環(huán)上的高斯擴(kuò)張聯(lián)系，可通過(guò)這種聯(lián)系研究K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張及K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張.

引理5設(shè)R是V在K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張，令D=K（X，τ）. 則對(duì)?γ∈D，γ≠0，有（γR）∩D=γ（R∩D）.

證對(duì)?γ∈D，γ≠0，（γR）∩D?γ（R∩D）.另一方面，對(duì)?α∈（γR）∩D，存在β∈R，使得α=γβ. 則β=γ-1α∈D，α=γβ∈γ（R∩D）.故對(duì)?γ∈D，γ≠0，有：（γR）∩D=γ（R∩D）.

定理1設(shè)R是V在K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張. 令：X=X（1，0），τ=σ（1，0）∈Aut（K），Y=X（0，1），，且令R∩DY j=SjY j.則：

（1）S0是V在D上的高斯擴(kuò)張；

（2）B=⊕j∈ZSjY j是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張.

證（1）j=0 時(shí)，R∩D=S0，S0∩K=D∩K=V. 對(duì)?γ∈D，有γ∈R或γ-1∈R，從而γ∈S0或γ-1∈S0. 因此S0是D的全賦值環(huán). 對(duì)?0≠γ′∈K［X，X-1；τ］?D，設(shè)則存在t，使得，由R是V在K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張，有由引理5 可知：

因此S0是V在D上的高斯擴(kuò)張.

從而存在m，使得，由R是V在K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張，有因?yàn)椋遥海矗訠是D［Y，Y-1；θ］的一個(gè)分次子環(huán)，從而B(niǎo)=⊕j∈ZSjY j.

對(duì)?βY j∈DY j，有βY j∈R或（βY j）-1∈R，從而βY j∈B或（βY j）-1∈B. 因此B是D［Y，Y-1；θ］的一個(gè)分次完全子環(huán). 故B=⊕j∈ZSjY j是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張.

類(lèi)似于定理1，可得定理2.

定理2設(shè)R是V在K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張. 令：X=X（1，0），τ=σ（1，0）∈Aut（K），Y=X（0，1），θ=σ（0，1）∈Aut（K），E=K（Y，θ），，且令R∩EX i=Ti X i.則：

（1）T0是V在E上的高斯擴(kuò)張；

（2）C=⊕i∈ZTi X i是T0在E［X，X-1；τ］上的分次擴(kuò)張.

同時(shí)，定理1 和定理2 的逆命題也成立，可得定理3 和定理4.

定理3設(shè)S0是V在D=K（X，τ）上的高斯擴(kuò)張，是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張.令Sj∩KX i=Α（i，j）X i.則是V在K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張，且

證設(shè)是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張. 則對(duì)任意的j∈Z，都有，且對(duì)?j1，j2∈Z，都有令則Α（0，0）=S0∩K=V，且對(duì)?（i1，j1），（i2，j2）∈Z（2），都有：

則對(duì)?（i1，j1），（i2，j2）∈Z（2），有

對(duì)?i，j∈Z，0≠a∈K，假設(shè)a?Α（i，j）.則aX i?Α（i，j）X i=Sj∩KXi，aX i?Sj. 因?yàn)閷?duì)?j∈Z，都有Sj∪，所以，

定理4設(shè)T0是V在E=K（Y，θ）上的高斯擴(kuò)張，上的分次擴(kuò)張.令則是V在K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張，且

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者主要研究K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張的性質(zhì). 在此基礎(chǔ)上，還可進(jìn)一步研究K［Z（2），σ］上的分次擴(kuò)張的分類(lèi)，K（Z（2），σ）上的高斯擴(kuò)張限制在K［X（1，0），X（-1，0）；σ（1，0）］商環(huán)上的高斯擴(kuò)張的結(jié)構(gòu)，以及它限制在K［X（0，1），X（0，-1）；σ（0，1）］商環(huán)上的高斯擴(kuò)張的結(jié)構(gòu).