借圖示表征，解“烙餅問題”

安徽亳州市蒙城縣逍遙路小學（233500） 潘冰寧 付 芳

圖示是指使用圖表、圖形、圖像或其他可視化方式來呈現信息、數據、概念或思想的過程。圖示表征可以將問題可視化，促進思考、溝通聯系、分析問題。如圖1 所示，“烙餅問題”的目的是通過生活中常見的烙餅問題，讓學生經歷探索多種解決方案的過程，從而選擇最優方法，滲透優化思想。

圖1 “烙餅問題”情境

在教學中，部分教師容易將“烙餅問題”上成一節“探索規律—發現規律—總結方法”的課，課堂氛圍雖一片熱鬧，但缺乏冷靜思考。這導致學生僅僅學會套用方法，雖得其法卻不解其意，一旦變換題型就會束手無策。過于熱鬧的課堂和過于冷靜的課堂都不是好的教學狀態。因此，教師需要在必要的時機對學生的熱鬧進行“冷處理”，利用圖示表征提高解決問題的效率。

一、利用圖示表征理解題意，找準課堂教學起點

如果說智慧的大腦是解決問題的關鍵，那么理解題意就是解決問題的開端。在生活中，多數學生都會烙餅，但是將烙餅和數學相結合還是第一次，這也是讓學生體會數學與生活密切聯系的契機。因此，讀懂題意在此時顯得尤為重要。

【教學片段1】

師：“每次只能烙2張餅”是什么意思？

生1：鍋里最多同時放2張餅。

師：請你上來畫一畫。

（生1畫出如圖2所示的圖形）

圖2 “每次只能烙2張餅”示意圖

師：“兩面都要烙”是什么意思？

生2：一張餅有兩個面，如果用正面、反面表示，出現“正”字表示烙正面，出現“反”字表示烙反面（如圖3）。

圖3 烙餅示意圖

師：根據他們說的這些數學信息，你能提出什么問題？

生3：烙3張餅要多長時間？

生4：烙3張餅至少要多長時間？

師：大家的理解能力越來越好了。烙3 張餅可能要1個小時或1天，而加了“至少”，說明你們用數學的眼光去看待問題了。

【教學思考】教材中所給的情境看似貼近生活實際，實則離生活還有一定距離，因為生活中很少有或者說基本沒有關注烙餅要多久的問題。教師要幫助學生梳理圖中的信息，找到題眼——“每次只能烙2 張”“兩面都要烙”。在這一過程中，雖然可以讓學生用自己的話說一說，但是利用鍋和餅的圖示表征會更直觀，也更具說服力。教師利用圖示慢慢地剝離問題的生活情境，讓學生集中思考“烙3 張餅至少要多長時間”。這有助于學生直觀地理解問題的本質、結構和關系，從而更好地把握問題的核心。

二、利用圖示表征尋找方法，突破學生學習難點

直接進入“烙3 張餅至少要多長時間”對學生而言有些難以接受，因此教師可以從最基礎的烙1張餅開始，利用表格表示烙餅過程（正面3 分鐘，反面3 分鐘，一共6 分鐘）。緊接著讓學生思考烙2 張餅的方法，這時候可能有學生受思維的局限，出現表1-1 的方法，也有學生經過思考后給出表1-2 的方法。

表1-1 烙2張餅的方法1

【教學片段2】

師：誰看懂了表1-1和表1-2中的烙法？

生1：表1-1 的方法是鍋里每次放1 張餅，2 張餅烙完一共12 分鐘；表1-2 的方法是鍋里每次放2張餅，2張餅烙完一共6分鐘。

生2：為什么烙1張餅是6分鐘，烙2張餅也是6分鐘？

生3：因為2張餅可以同時放在鍋里一起烙。

師：也就是說，要想烙餅所用時間最少，就要保證鍋里每次都有2張餅。怎樣將表1-1的方法進行調整，才能做到用時最少呢？

（學生進行調整，見表2-1、表2-2）

表2-1 方法1調整前

師：調整后的方法（見表2-2）對嗎？

生4：不對，因為1 張餅不可能同時烙兩個面，只能是先烙完一面再烙另一面。

【教學思考】烙1 張餅很簡單，烙2 張餅的時候有的學生就忽略了“每次只能烙2 張餅”的信息，才會產生1 張1 張地烙的想法。此時，教師就需要及時借助圖示，讓這些學生學會2 張餅同時烙的省時方法。讓學生經歷修正的過程，也是拉長學生思考的過程。在這個過程中讓學生感受只有在“滿鍋”的狀態下才最節省時間，提高學生思維的縝密性。這種思想也影響著接下來烙3 張餅的方法。解決“烙餅問題”時，利用圖示表征方法能夠有效地幫助學生克服難點，為問題的理解和解決提供了強有力的工具。

學生想到的烙3 張餅的方法有很多，教師可選擇以下三種情況（見表3-1、表3-2、表3-3）來給學生講解。對第一種烙法教師進行肯定，因為在一定程度上達到了節省時間的目的。對第二種烙法，教師需要學生回顧“1 張餅不可能同時烙兩個面”這個原則，以強化學生的優化意識。

表3-1 烙3張餅的方法1

【教學片段3】

師（出示表3-3）：像他這么烙，烙幾次？

生5：3次。

師：除了這么烙還能怎么烙？

生6：“3反”和“2反”互換位置。

生7：“1正”和“1反”互換位置。

師：結合大家的方法，誰還有什么想說的？

生8：只要保證不出現同時烙1張餅的兩個面，其他怎么烙都行。

師：現在請你們利用手中的學具，一邊畫一邊說3張餅怎么烙3次的情況。

【教學思考】教師在教學過程中要善于傾聽學生不同的聲音。將烙3 張餅的方法按照順序依次出現，是符合學生的知識發展和心理特點的。而交替式的烙餅方法是學生思考由淺入深的必然過程。相信當學生看到不同的圖示時，都會有自己的觀察、比較、思考在其中。讓每個學生都能有所發展正是數學學習的意義所在。學生在經歷烙2 張餅后，一定會對烙3 張餅有不一樣的思考，教師應充分相信學生，充分相信合作的力量，給予學生充足的時間和空間去探索、去發現。

烙3 張餅很難突破，只有讓學生直面教學難點，才能留下思考的痕跡。在這個環節中，利用圖示，學生可以直觀看到烙餅的方法，進而發現烙餅問題中的規律、模式及瓶頸，為問題求解提供新的思路和啟示。

三、利用圖示表征辨別優化，關注數學學習節點

當學生明白2張餅、3張餅的烙法后，心中必然是有所得意，教學也進入白熱化階段。教師可相機提出“烙4 張餅最少要用幾分鐘”。教師巡視發現，有學生選擇2 張2 張地烙（見表4-1），有學生受烙3張餅的影響用交替烙的方法（見表4-2）。教師讓學生比較兩種方法，大部分學生覺得交替烙的方法勞心費神，且容易出錯。

表4-1 烙4張餅的方法1

【教學片段4】

師：烙5張餅怎么烙呢？最少要用幾分鐘？

生1：先按順序烙2 張，再用交替法烙3 張，一共烙5次，用時15分鐘。

[生1邊說邊演示烙餅過程（見表5）］

表5 烙5張餅的方法

師：烙6張餅呢？

生2：2 張2 張地烙，一共烙6 次，共用3×6=18（分）。

師：烙7張餅呢？

生3：按順序2 張2 張地烙，烙4 張后，剩下的3張用交替法烙3次。

師：這么多餅都烙完了，你覺得烙幾張餅對我們解決問題最重要？

生4：烙3張，我從中知道了交替烙的方法。

生5：我覺得烙2張餅也很重要。

師：為什么？

生5：如果沒有烙2張餅的方法總結，就解決不了烙5張餅的問題。

師：掌聲送給會思考的孩子。

（教師繼續教學烙6張餅、7張餅以及9張餅）

【教學思考】對比烙4 張餅的2 種方法，讓學生打破思維定式進一步感受“優化”。有了這樣的體驗，學生在思考烙5 張餅時，會將思考的重心放在如何縮短時間上，進而發現烙2 張和烙3 張的重要意義，為后面用最少的時間烙更多的餅打下堅實的基礎。在烙餅問題中，圖示表征的優勢顯而易見。通過簡潔明了的圖示，學生可以直觀地觀察每次烙餅的結果，無須進行煩瑣的計算，進而快速找到最優策略。此外，隨著餅的數量的增加，圖示的優勢更加凸顯，因為在復雜的烙餅序列中，圖示可以幫助學生更好地跟蹤和分析每一步的操作，也更容易發現問題中的關聯性，從而更全面地理解烙餅問題的整體架構。

四、利用圖示表征拓展思維，助力學生達成學習目的

烙餅問題是有規律可循的，而有的教師僅僅通過簡單的講解便將公式“灌輸”給學生。正確的教學方法應該是教師通過層層鋪墊，化繁為簡，從簡單的烙1 張餅開始教學，到烙2 張餅、3 張餅，以及烙更多的餅。當學生意識到烙更多餅的方法可以總結成一個公式時，就是揭示烙餅問題背后規律的最佳時機。

【教學片段5】

師：在烙餅的時候，你有什么新的發現嗎？

生1：有幾張餅就要烙幾次。

師：為什么烙的次數和餅的張數相同呢？

生2：烙餅的時候，每次烙2 個面，2 個面就是1張餅。

生3：因為我們要利用鍋的最大空間，如果一個鍋一次可以烙2 張餅，那么烙餅次數=餅數×每個餅要烙的面數÷一個鍋最多放的餅數。

師：觀察表6，烙餅所需的最少時間和什么有關？它們有怎樣的關系？

表6 烙餅時間分析表

生4：烙餅所需最少時間=烙1 面餅的用時×烙餅次數。

師：這個公式適用于所有情況嗎？

生5：不適合1 張餅的情況，因為1 張餅的兩面不能同時烙。

生6：如果一次能烙3 張餅，每個餅烙的面數就不能和每次最多放的餅數相抵消了，所以這個公式只適合一次放2張餅的情況。

【教學思考】通過觀察烙餅時間分析表，很多學生都能發現“烙的次數等于餅的張數”這一規律，但并不理解其背后的真正原因。而通過質疑公式的局限性，能讓學生理解公式背后的真正含義，從而提升思維的嚴謹性。烙餅問題這節課通過一系列的觀察、操作、歸納、總結、轉化，將學生的思維以一個動態發展的過程呈現，讓思維得以提升、發展。

綜上所述，圖示在烙餅問題中起著重要的作用，它通過可視化的方式展示烙餅的初始狀態和每次操作后的位置變化，幫助學生直觀地觀察和分析問題。通過圖示，學生也更清楚地理解烙餅的順序和位置關系，發現規律和性質，從而制定最優的解題策略。在教學中，教師要善于借助圖示解決教學中的難點，讓學生的思維真正做到動態化。