例談小學生數學邏輯推理能力的培養

廣西欽州市欽北區小董鎮吉水小學（535022） 周超紅

數學是一門邏輯性非常強的學科，很多概念的學習、理解及應用，需要學生具備良好的邏輯思維能力。通過提升學生的邏輯推理能力，可以幫助他們學會觀察、分析和解決問題的方法，幫助他們理解數學規律和推導出正確的答案。教師應當認識到這一點，并能夠根據實際教學情況制訂培養學生數學邏輯推理能力的有效策略，為學生今后的學習以及長遠發展奠定堅實的基礎。

一、教學環節與研究方法

1.教學環節

邏輯推理指的是從一些命題或者事實出發，按照既定的規則推斷出其他命題。常見的邏輯推理方式有溯因推理、歸納推理、演繹推理等。麥肯錫將邏輯推理的過程分為7 個步驟，包含問題確認、問題分解、問題剔除、制訂計劃、關鍵分析、建立論證、交流溝通。筆者在麥肯錫理論的基礎上，結合自身實際教學情況，將推理過程分為確認問題、提出猜想、尋找論據、建立論證、得出結論5 個環節進行教學，全面動態地呈現學生的推理論證歷程。

2.研究方法

以一節“探索圖形的周長與面積”公開課為例，對課堂的每一個環節進行反思與總結，再反復實踐，實現對整個教學流程的不斷改進與優化，形成一套培養小學生邏輯推理能力的有效策略。

二、研究過程

1.確認問題

教師為學生提供方格紙（每一格的邊長為1 厘米），要求學生沿方格線裁掉小長方形（不能直接從內部裁），觀察剩余方格紙的周長與面積的變化。學生經過反復裁切后歸納出三種裁切方法：第一種，一裁到底，整行整列地裁（如圖1-1）；第二種，裁在角上，從方格紙的一角開始裁切（如圖1-2）；第三種，裁在邊上，不裁方格紙的四個角（如圖1-3）。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

教師向學生提問：（1）請說明裁切方法分為三種的原因；（2）請說出不同裁切方法下，剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數變化的規律；（3）從方格紙中裁掉整數方格，請說出使圖形“周長不變，面積最小”的裁切方法。

在此環節中，學生對“裁切方格紙”表現出非常濃厚的興趣，很多學生在裁切完之后主動和周圍同學進行交流、探討。

2.提出猜想

小學生的思維尚處于形成發展階段，還沒有掌握完善的邏輯推理方法，教師可采取對話介入的方式，通過循序漸進的方式引導學生提出猜想。

師：同學們，要想解決上述三個問題，我們首先要找出這三個問題之間的關系，然后找出關鍵性問題。你們發現這三個問題之間的關系了嗎？

生（齊）：沒有。

師：那好，注意聽老師的分析。第一個問題是關于“裁切方法”的，如果這三種方法已經包含了所有的裁切情況，那么就說明，我們在探究第二個問題“剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數變化的規律”時不會出現遺漏，是不是？

生（齊）：是的。

師：當我們找到“剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數變化的規律”時，就可以根據規律來解決第三個問題。也就是說，解決第三個問題前要解決第二個問題，在此之前要先證明第一個問題的正確性。

通過對話的方式引發學生對問題的深入認識，并將溯因推理的意識植入學生的腦海中。學生非常迅速地投入對第一個問題的探索中，經過研究與分析得出結論“長方形是由相對邊等長、相鄰邊相互垂直的4 條線段首尾相連組成的，每一個長方形都包含4條邊和4個角”。學生就能明白“在裁切的過程中最多出現三種情況，裁角又裁邊、只裁角、只裁邊，其對應的裁切方法也就分別為一裁到底、裁在角上、裁在邊上”。此結論得到教師的認可之后，學生又對第二個問題提出猜想（見表1）。

表1 裁切方式的猜想

3.尋找論據

尋找論據的過程可以由學生提出，也可以由教師提出。在此環節中，上述9 個猜想中有3 個得到了論據支持，其中2 個是學生獨立提出的，另外一個是學生在教師的提示下找到的。例如，對于“裁在角上，周長不變，面積變小”這一猜想，學生提出了2 條論據，一條是“在任何一個長方形中，對應邊的長度相等”，另一條是“長方形中對應邊平行且相等”，由此可見，學生對既有知識的掌握是比較熟練的。另外，學生在提出論據的過程中出現了4 次“爭論”，每次“爭論”出現的時候，教師都組織學生發表自己的觀點，互相辯論。當學生在尋找論據的過程中遇到了問題時，教師的引導與啟發就能起到重要的作用，這比教師直接告知學生答案更好。在此過程中，學生思維的邏輯性、發散性、嚴謹性都得到了很好的鍛煉與培養。

4.建立論證

經過論證發現，如圖2 所示，當選擇“一裁到底”的裁切方法時，裁掉了原來的一條邊，還有另外兩條邊變短了，但產生1 條新的“邊”，裁掉的邊與產生的“邊”長度相等，但另外兩條邊變短了，剩余圖形的周長變小。由于是整行或整列地裁，故減少的面積為“5平方厘米×裁掉的列數（或行數）”。

圖2

如圖3 所示，當選擇“裁在角上”的裁切方法時，剩余圖形的面積會減少，周長保持不變。這是因為這樣裁，有兩條邊變短，但產生了兩條新的“邊”，而這兩條新的“邊”的長度正好是原來兩條邊變短的長度，因此，剩余圖形周長不變，裁掉幾格，面積就減小幾平方厘米。

圖3

如圖4 所示，當選擇“裁在邊上”的裁切方法時，剩余圖形的面積會減少，周長變大。這是因為這樣裁，原來的一條邊變短，但會產生三條新的“邊”，三條新“邊”中的一條“邊”的長度等于變短的那條邊變短的長度，其他兩條“邊”是新產生的，所以剩余圖形周長變大，裁掉幾格，面積就減少幾平方厘米。

圖4

5.得出結論

從上述論證中可以得出選擇不同裁切方法下剩余圖形的周長和面積隨裁掉的方格數變化的規律：（1）“一裁到底”時，剩余圖形的周長和面積都變小，裁的方格數越多，面積越小；（2）“裁在角上”時，剩余圖形的周長不變，面積變小，裁的方格數越多，面積越小；（3）“裁在邊上”時，剩余圖形的周長變大，面積變小，裁的方格數越多，面積越小。

因此，對于教師提出的第三個問題，學生明白：要想獲得一個“周長不變”的圖形，就必須選擇“裁在角上”；要想剩余圖形“面積最小”，就要盡可能多地裁。學生不斷嘗試，很快就得出了“周長不變，面積最小”的圖形（如圖5）。

圖5

三、研究反思

1.為學生提供經歷推理論證全過程的機會

為了學生有完整的數學推理論證體驗，教師需要在整個教學過程中穿插不同形式的教學活動，激發學生的思維，引導他們通過合理的推理來解決問題。

2.為學生提供找出論據的空間

在整個課堂教學過程中，教師需要以學生為主體，對教學中產生的一些階段性問題，可以讓學生依靠自己的獨立思考及探究完成。教師將自身定位為一個引導者，在課堂上適時地為學生提供幫助，最大限度激發學生的潛力。

3.為學生提供推理所需的過渡性載體

小學生的思維具有具象化特征，教師在教學時應當提供實物學具，幫助學生深入探究問題。另外，教師需充分發揮自身的教學引導作用，向學生傳授溯因、歸納等推理理念，讓學生掌握必要的邏輯推理方法。

四、研究總結

要想實現對學生數學邏輯推理能力的培養，可以從以下幾個方面著手。

1.引入實際問題

從學生的生活實際出發，激發起學生對問題的探究興趣。

2.使用圖形教具

圖形或者實物學具可以幫助學生更加形象直觀地理解問題，促進其具象思維與抽象思維的共同發展，從而增強他們的邏輯分析及推理能力。

3.開展分步教學

可將問題拆分成更小、更容易理解的部分，借助深入淺出的方式引導學生逐步推理并解決問題，從而培養邏輯推理能力。

4.組織合作討論

發揮學生的學習主體作用，利用學生相互討論來實現不同思維的相互碰撞，最終提升學生的思維判斷力。

5.教師適時介入

教師對學生有著非常重要的引導與啟發作用，教師需適時地介入學生的討論，給予學生必要的幫助并啟發其思維，這對培養學生的邏輯推理能力有著很大的幫助。

6.注重反饋評估

教師及時評估學生的推理過程，并與學生交流，才能了解他們的理解程度和思維發展情況，方便開展下一步教學工作。