基于閉環辨識模型的永磁同步直線電機分數階反饋控制方法

鐘永彬　高健　馮富原　張攬宇

摘要：為了提高永磁同步直線電機（PMLSM）的跟隨精度，提出了一種基于閉環辨識模型的分數階反饋控制方法，通過對反饋控制系統誤差幅值特性進行特定分數階次形式的精準調節來有效抑制PMLSM的跟隨誤差。該方法推導了PMLSM閉環辨識模型，通過誤差幅值特性分析，確定了分數階超前-滯后補償器參數選定方法，以實現分數階反饋控制系統對PMLSM控制頻域特性的準確描述，進而提高PMLSM辨識精度及控制性能。采用所提方法在PMLSM龍門運動平臺上進行辨識方法和不同運動規劃的跟蹤實驗及圓軌跡運動實驗的驗證，實驗結果表明，該閉環辨識方法能有效抑制外界對辨識信號的干擾，所建立的閉環辨識模型準確性高；相較于PID控制方法，所提分數階反饋控制方法能夠大幅減小PMLSM跟隨誤差，對于不同運動規劃，跟隨誤差的均方根誤差值減小至少82.47%，驗證了所提方法可有效提高PMLSM跟蹤精度。

關鍵詞：永磁同步直線電機；跟隨精度；閉環辨識；分數階反饋控制；頻域特性調節

中圖分類號：TP271

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.23.001

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Fractional-order Feedback Control Method for PMLSMs Based on

Closed-loop Identification Model

ZHONG Yongbin¹GAO Jian^1，2FENG Fuyuan¹ZHANG Lanyu^1，2

1.State Key Laboratory of Precision Electronic Manufacturing Technology and Equipment，

Guangdong University of Technology，Guangzhou，510006

2.Key Laboratory of Intelligent Inspection and Manufacturing IoT of Ministry of Education，

Guangdong University of Technology，Guangzhou，510006

Abstract：In order to improve the tracking accuracy of PMLSMs，a fractional-order feedback control method was proposed based on closed-loop identification model. By precisely adjusting the error amplitude characteristics of the feedback control system in a specific fractional-order form，the following errors of PMLSMs might be effectively suppressed. A closed-loop identification model was derived for the PMLSM and the parameter selection method of the fractional-order lead-lag compensator was determined based on analysis of the error amplitude characteristics. With the properly defined fractional-order parameters，the fractional-order feedback control system might accurately describe the frequency-domain characteristics of the PMLSM，and the identification accuracy and control performance of the PMLSM might thus be improved. The proposed method? was experimentally validated on a PMLSM gantry motion platform through identification methods， tracking experiments with different motion planning， and circular trajectory motion experiments. The experiments on system closed-loop identification and motion tracking with different plannings were performed. The experimental results show that the closed-loop identification method may effectively suppress the influences of external interferences on the identification signals，and the closed-loop identification model is accurate for the control system，the proposed fractional-order feedback control method may greatly reduce the tracking errors of the PMLSMs，and compared to the PID control method，the proposed control method may reduce the root mean square error （RMSE） tracking errors by at least 82.47% under different motion scenarios. The experimental results demonstrate the effectiveness of the proposed method in improving the tracking accuracy of PMLSMs.

Key words：permanent magnet linear synchronous motor（PMLSM）； tracking accuracy； closed-loop identification； fractional-order feedback control； frequency-domain characteristics adjustment

收稿日期：2022-11-23

基金項目：國家自然科學基金（52075106，U20A6004）

0 引言

隨著集成電路制造技術的飛速發展，芯片上可容納的晶體管數目不斷增加，芯片內部空間不斷密集化，為了保證芯片制造良品率，集成電路產業對精密電子元件制造和測試設備精度及效率的要求越來越高，于是，具有高功率密度、高效率及出色控制性能的永磁同步直線電機（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）被廣泛應用于集成電路產業設備的研發^［1-2］。PMLSM能夠直接驅動實現直線運動，相較于旋轉電機具備更好的開發應用前景，所以PMLSM常與精密運動平臺研究關聯在一起^［3-5］。

PMLSM結構簡單，主要包括由永磁鐵組成的初級定子以及由線圈組成的次級動子兩個部分。運行過程中，受齒槽力、端部效應及導軌摩擦力等的影響，PMLSM出現的推力波動將導致跟隨精度以及穩定性下降。為此，學者們進行了深入的研究，在齒槽力模型分析的基礎上，改進PMLSM結構，以減小齒槽力對推力的影響，提高PMLSM推力穩定性和運動精度^［6-7］。與此同時，也有學者從改進PMLSM控制系統的角度來提高其運行精度^［8-9］。因PMLSM運動受其自身電氣特性及結構特性影響比較大，所以，模型控制理論被廣泛應用于PMLSM精密運動控制方法研究，如改進電流預測控制方法、磁通量反饋補償控制方法等^［10-12］。從學者的研究結果可以看出，PMLSM模型的準確性在很大程度上決定了控制系統的性能。吳路路等^［13］指出，可以通過提高PMLSM模型準確性來實現控制系統性能的提高。由于PMLSM內部元件在工作時的電磁關系存在復雜的耦合現象，且其電氣、結構參數無法直接通過測量獲得，所以，學者們結合最小二乘法，提出了基于輔助變量的辨識方法^［14］、基于改進遺傳算法的參數辨識方法^［15］、基于機器學習的參數辨識方法^［16］等，均在一定程度上提高了參數辨識的準確性以及簡便性。然而，由于覆蓋全頻段的控制信號需要采用掃頻信號、M序列信號等才能實現PMLSM的全面辨識，所以其控制信號易受電壓干擾、噪聲干擾等的影響，容易使辨識信號中的較高頻段電流分量產生高頻波動，導致辨識信號精度下降^［17］。針對這一問題，本文建立帶電流環控制的PMLSM閉環辨識模型來實現PMLSM的閉環辨識，減小干擾信號對參數辨識的影響，提高PMLSM辨識的準確性。隨著分數階微積分計算方法的發展，分數階控制理論得到快速發展，其微分算子階次可為分數形式這一特點，使其能更準確地表達被控對象控制頻域特性，所以，將分數階控制理論應用于機電伺服控制系統中具備優勢^［18-19］。

本文提出了基于閉環辨識模型的分數階反饋控制方法，結合分數階控制理論和誤差幅值特性，提出了分數階超前-滯后補償器參數選定方法，實現被控對象所需頻域特性的準確表達。

1 永磁同步直線電機閉環辨識建模

由于永磁同步直線電機在UVW坐標系下的數學模型復雜，難以在其基礎上尋求很好的控制方法，故本文采用Clarke變換、Park變換將電壓從三相靜止UVW坐標系變換到兩相旋轉dq坐標系下進行建模及控制系統設計^［20］，以實現PMLSM的最佳控制。根據PMLSM的電氣特性及動力學特性，得到dq坐標系下的PMLSM數學模型為

式中，ψ_f=M₀I_f，為轉子每極永磁磁鏈；M₀為初級和次級的互感幅值；I_f為永磁體等效電流；u_d、u_q分別為d、q軸的控制電壓；i_d、i_q分別為d、q軸的控制電流；F_em為電磁推力；R_s為每相繞組電阻；L_d、L_q分別為d、q軸的每相繞組電感；τ為極距；p_n為極對數；ω為電角速度；v為次級運動速度；F_L為外力；m為運動部分質量；B為黏性摩擦因數。

結合i_d=0的矢量控制策略，此時，電機的q軸電壓量u_q滿足

將式（2）代入式（1）并做拉氏變換，可以得到PMLSM運動系統從控制電壓到速度的傳遞函數，模型框圖見圖1中藍色框，傳遞函數表達式為

根據式（3），整理可得PMLSM的開環辨識模型傳遞函數：其中，a_i、b_i為所需辨識參數。式（4）的分母多項式最高階次為2，分子多項式最高階次為1，為二極點單零點模型。辨識模型的建立及階次確定能夠在保證辨識準確性的前提下節省參數辨識時間，參數辨識過程中僅需計算參數a_i、b_i即可獲得完整的PMLSM模型。在此基礎上，本文將電流環PI閉環反饋控制器引入到PMLSM建模及參數辨識中，加入電流環后的模型框圖見圖1。電流環PI閉環反饋控制器的表達式為

其中，k_P、k_I分別為閉環反饋控制器的增益系數與積分系數。電流環的加入能夠保證控制信號的跟隨精度，但同時也改變了辨識結構。系統辨識對象從原先的PMLSM系統轉變為電流環與PMLSM所組成的整體系統，所以用于參數辨識的模型也將發生改變。為了保證參數辨識的準確性，需要建立帶電流環控制的PMLSM閉環系統相應的模型，并計算其準確的傳遞函數階次。通過建立PMLSM閉環反饋控制回路框圖，推導出PMLSM閉環模型傳遞函數：

整理可得PMLSM閉環模型傳遞函數：

其中，分母多項式最高階次為3，分子多項式最高階次為2。到此就建立了帶電流環控制的PMLSM系統閉環辨識模型。

由于PMLSM一般采用直線光柵尺、激光干涉儀等測量裝置獲取其位移信息作為閉環反饋信號，所以，建立電壓到位移的傳遞函數模型更加有利于控制系統的設計。根據速度與位移之間的時間積分關系，PMLSM從電壓到位移的模型傳遞函數為

2 基于閉環辨識的分數階反饋控制方法

在建立PMLSM閉環辨識模型的基礎上，本文設計了基于辨識模型的分數階反饋控制方法，其控制結構如圖2所示，圖中，R為參考位移，Y為輸出位移，u為PID閉環反饋控制器輸出電壓，u_f為經過頻域特性補償后的控制電壓。本文所提方法在PID閉環反饋控制器C_PID（s）基礎上，根據閉環控制系統頻域特性，通過分數階超前-滯后補償器C_F（s）對指定頻域范圍內幅值特性、相位角度特性進行補償，提高反饋控制系統對低頻信號的響應性能，從而改進PMLSM運動精度。PID閉環反饋控制器可表達為

其中，k_D為閉環反饋控制器的微分系數。在頻域內，分數階超前-滯后補償器可表達為

式中，K、λ、x均為分數階超前-滯后補償器參數；α為分數階超前-滯后補償器階次。

分數階微積分理論的引入使得分數階超前-滯后補償器階次不再局限為整數0、1或2，其取值為（0，2）內的任意實數。分數階超前-滯后補償器能夠根據被控對象頻域特性進行更加準確的幅值特性、相位特性調節，保證控制系統具備優異的響應性能。圖3所示為不同階次以及不同增益常數的超前-滯后補償器（a）λ=0.8、K=1、x=0.85，不同α取值（b）α=0.7、K=1、x=0.85，不同λ取值（c）α=0.7、λ=0.8、x=0.85，不同K取值（d）α=0.7、λ=0.8、K=1，不同x取值頻域特性仿真實驗結果對比。

從圖3中的分數階超前-滯后補償器頻域特性可以看出，分數階超前-滯后補償器所表達的頻域特性具備范圍性，其幅值特性在低頻段、高頻段表現為不同的調節效果，相位特性只針對指定角頻率ω_b及其不為0周邊頻域段。階次的調整能夠改變幅值特性、相位特性，所以分數階超前-滯后補償器的加入能夠在有效提高控制系統帶寬的同時，不造成因控制系統高頻段增益幅值特性增大而帶來的對高頻噪聲信號的敏感性。

根據圖2，得到加入分數階超前-滯后補償器前，反饋控制系統從輸入R到輸出Y的傳遞函數：

閉環誤差傳遞函數為

加入分數階超前-滯后補償器后，反饋控制系統傳遞函數變為

閉環誤差傳遞函數變為

在頻域范圍內，s=jω，根據式（10）～式（14），可得

式中，A_F為分數階超前-滯后補償器的幅值特性；A_C、A_E分別為反饋控制系統加入分數階超前-滯后補償器前的閉環幅值特性及閉環誤差幅值特性；?_C、?_E分別為反饋控制系統加入分數階超前-滯后補償器后的閉環幅值特性及閉環誤差幅值特性。

由此，系統加入分數階超前-滯后補償器后的閉環幅值特性變化值為

閉環誤差幅值特性變化值為

將式（15）代入式（16）中，可以推導出A_F與ΔA_C、ΔA_E具備以下關系：

由于反饋控制系統在低頻域范圍內，閉環幅值特性趨近于0，也即A_C（ω）|_ω→0=?_C（ω）|_ω→0=0，而閉環誤差幅值特性主要存在于低頻域范圍內，所以在低頻域范圍內，存在

根據式（19）可確定分數階超前-滯后補償器參數，以實現分數階反饋控制方法準確表達被控對象所需閉環誤差幅值特性。

3 實驗

3.1 實驗系統及模型參數辨識

本文方法的實驗驗證在PMLSM龍門運動平臺上進行。如圖4所示，該平臺采用PMLSM作為致動器，且每個電機均配備直線光柵尺以采集運動信息，實現PMLSM系統的閉環反饋控制。本文在SCALEXIO控制器中實現所提控制方法，并對PMLSM系統進行實時運動控制。

根據所提PMLSM閉環辨識方法開展參數辨識實驗。辨識過程中的PMLSM系統輸入電流及反饋電流如圖5所示，可以看出，開環辨識條件下，實際測量電流與規劃掃頻信號之間存在相移與幅值衰減，而閉環辨識能夠有效提高電流信號的跟隨精度，并且抑制電流波動，從而提高參數辨識準確性。

在此基礎上，根據式（13）所示辨識模型，本文使用最小二乘法對掃頻信號辨識實驗數據進行擬合，得到PMLSM系統模型傳遞函數：

圖6對比了開環控制下，開/閉環辨識模型的響應位移，可以看出，閉環辨識模型響應與PMLSM系統響應具備較高的一致性，而開環辨識模型響應與PMLSM系統響應之間存在較大誤差。

3.2 PMLSM跟隨誤差實驗

根據式（20）辨識模型，結合Ziegler-Nlichols參數整定方法及多次參數調整實驗，最終確定PID控制器參數k_P=1553.12、k_I=131.65、k_D=13.63。在此基礎上，結合式（10）、式（15）、式（19），可以求得分數階超前-滯后調節器參數K=2.514、λ=7.5946×10^-4、x=0.3978、α=1.1066。由此，可以得到分數階超前-滯后補償頻域特性，如圖7a所示。反饋控制系統在加入超前-滯后補償器前后的閉環頻域特性對比及閉環誤差幅值特性對比如圖7b、圖7c所示，可以看出，分數階超前-滯后調節器能夠有效增大反饋控制系統帶寬，從而使反饋控制系統誤差增益特性得到抑制，同時，保證閉環控制系統高頻段的響應特性不發生變化。

在PID控制器及分數階超前-滯后補償器參數選定后，本文采用正弦運動規劃、三次曲線函數運動規劃以及圓軌跡運動規劃作為輸入信號開展PMLSM運動誤差對比實驗。三次曲線函數為

式中，t_a、t_c分別為三次曲線函數的加速時間與勻速時間。

圖8所示是本文所提方法與PID反饋控制方法的正弦運動跟隨誤差實驗結果，表1所示是實驗兩種方法跟隨誤差的均方根誤差（root mean square error，RMSE）及平均絕對誤差（mean absolute error，MAE）等數據對比結果。其中，|MAX|表示跟隨誤差的最大絕對值，實驗結果表明，PMLSM系統跟隨誤差會隨著控制信號頻率的增大而增大，本文所提分數階反饋控制方法能夠保證PMLSM系統在不同頻率的正弦運動規劃實驗中均具備較優的跟隨精度，相較于PID反饋控制方法，跟隨誤差的RMSE可降低至少82.47%。

同時，本文對三次曲線函數規劃進行了不同反饋控制方法的比對實驗，圖9和表2所示是本文所提方法與PID反饋控制方法在三次曲線函數運動規劃下的軌跡跟隨實驗結果。結果表明，本文所提方法能夠在很大程度上減小PMLSM系統跟隨誤差，相較于PID反饋控制方法，跟隨誤差的RMSE降低了86.02%，實現了PMLSM系統的快速高精度定位。

在單電機跟蹤運動控制實驗的基礎上，本文也將控制算法應用于龍門平臺的Y軸雙電機，通過雙軸運動系統測試本文所提控制算法的跟蹤性能。圖10所示為龍門平臺圓軌跡運動的位移與跟蹤誤差實驗結果，可以看出，本文方法能夠有效提高龍門運動平臺中每個電機跟隨精度，雙軸軌跡運動精度也得到了較好的提高，相較于PID反饋控制方法，本文方法的圓軌跡誤差RMSE降低了85.61%。因此，系列實驗數據對比及分析結果表明，本文分數階反饋控制方法可有效提高PMLSM系統的運動跟隨精度。

4 結論

本文通過建立帶電流環閉環控制的PMLSM系統模型，實現對運動系統的閉環辨識，提高了參數辨識準確性。在此基礎上，結合分數階控制理論提出了分數階反饋控制系統方法，并通過閉環誤差幅值特性，明確了分數階超前-滯后補償器參數選定方法，實現了PMLSM系統控制頻域特性的準確表達，從而能夠有效提高PMLSM運動系統的跟隨精度。系列實驗結果表明，帶電流環的閉環辨識方法可以獲取更適于實際運動系統的模型，據此設計的分數階反饋控制方法可有效提高PMLSM系統運動跟隨精度。在不同運動規劃下，相較于PID反饋控制方法，本文方法能將跟隨誤差的RMSE值減小至少82.47%，驗證了本文所提基于閉環辨識模型的分數階反饋控制方法在提高PMLSM系統運動精度方面的有效性和先進性。

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（編輯 袁興玲）