求解三角函數問題常用的數學思想

■賀顯孟

三角函數是高中數學的重要內容之一,其中蘊含著豐富的數形結合思想、分類討論思想、對稱思想、等價轉化思想、換元思想、函數與方程思想、整體代換思想等。

一、數形結合思想

例1 已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)+b的圖像,如圖1所示,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)+f(2023)的值為____。

圖1

因為1+2+…+2023=4×506,所以f(0)+f(1)+f(2)+ … +f(2022)+f(2023)=4×506=2024。

評析:數與形是數學中的兩個最古老,也是最基本的研究對象,它們在一定條件下可以相互轉化,形中覓數,數中構形。

二、分類討論思想

評析:因為m的符號不同,點P的位置不同,相應的角α的三角函數值不同,所以需要對m進行討論。

三、對稱思想

解:因為f(x)的圖像上相鄰的兩個最高點之間的距離為2π,所以,解得ω=1,這時f(x)=sin（x+φ）。

評析:正弦函數和余弦函數的圖像上相鄰的兩個最高點之間的距離為一個周期。函數f(x)=cosx的圖像的對稱中心為

四、等價轉化思想

五、換元思想

例5 函數y=cos2x-4cosx+5 的值域為_____。

解:令t=cosx,由x∈R,可得-1≤t≤1。原函數等價于函數f(t)=t2-4t+5=(t-2)2+1。當t=-1,即cosx=-1時,函數f(t)有最大值10;當t=1,cosx=1時,函數f(t)有最小值2。

故所求函數的值域是[2,10]。

評析:令t=cosx,這時要注意t的取值范圍。

六、函數與方程思想

評析:利用韋達定理,結合(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ,求出m的值是解題的關鍵。

七、整體代換思想

例7 已知函數f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(8)=5,則f(25)的值為____。

解:因為f(8)=asin(8π+α)+bcos(8π+β)=asinα+bcosβ=5,所以f(25)=asin(25π+α)+bcos(25π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)=-5,即f(25)=-5。

評析:由題設得asinα+bcosβ=5,再利用整體代換思想求得f(25)的值。