三角函數的圖像與性質的重點、難點突破

■胡 興

三角函數的圖像與性質是三角函數的主要內容,要想學好三角函數的圖像與性質,就要掌握其重點和難點,下面就此實例剖析。

重點:有關三角函數的奇偶性與單調性

1.三角函數的奇偶性與應用

A.奇函數

B.偶函數

C.非奇非偶函數

D.既是奇函數又是偶函數

(2)已知a∈R,函數f(x)=sinx-|a|(x∈R)為奇函數,則a等于( )。

A.0 B.1

C.-1 D.±1

(2)此函數的定義域為R。因為f(x)為奇 函 數,所 以f（-x）= -f(x),即sin（ -x）-|a|=-sinx+|a|,所以|a|=0,所以a=0。應選A。

函數。

判斷三角函數的奇偶性,應先求出函數的定義域,在定義域關于原點對稱的前提下,再根據f（ -x）與f(x)及-f(x)的關系進行判斷。判斷函數奇偶性應把握的兩個方面:一看函數的定義域是否關于原點對稱;二看f(x)與f（ -x）的關系。對于三角函數奇偶性的判斷,有時可根據誘導公式先將函數式化簡,再進行判斷。

2.正弦(或余弦)函數的單調區間與應用

(2)已知函數y=cosx在區間[-π,a]上為增函數,求a的取值范圍。

(2)因為y=cosx在[-π,0]上是增函數,在[0,π]上是減函數,所以當-π

求形 如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b為常數)的函數的單調區間,可借助正弦函數、余弦函數的單調區間,通過解不等式求得。具體求解時,應注意三點:要把ωx+φ看作一個整體,當ω<0時,先用誘導公式將式子變形,將x的系數化為正數;在A>0,ω>0 的情況下,將“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函數的單調區間,可以解得與之單調性一致的單調區間;在A<0,ω>0的情況下,同樣方法可求得與正弦(或余弦)函數單調性相反的單調區間。

難點:利用正弦(或余弦)函數的圖像解不等式

在同一直角坐標系下,作出函數y=sinx,x∈[0,2π]及直線的圖像,如圖1所示。

圖1

圖2

利用三角函數的圖像解sinx>a(或cosx>a)的方法:作出直線y=a,y=sinx(或y=cosx)的圖像;確定sinx=a(或cosx=a)的x值;選取一個合適周期寫出sinx>a(或cosx>a)的解集,要盡量使解集為一個連續區間;寫出在x∈R 上的解集。