生問引學：學習真實發生，思維切實提升

竺柏明 童欣

［摘 要］人教版教材中的“分數與除法”是憑借兩個“被除數小于除數”的例子歸納得出分數與除法的關系，但學生對此可能會產生疑問。為了促進學生深入思考，教師要鼓勵學生提出他們內心的疑問，再借助疑問深入探究“被除數大于或等于除數”的情況。通過完全歸納的過程，學生能夠深刻地構建知識體系，學習得以真實發生，思維得到切實提升。

［關鍵詞］分數與除法；發現問題；提出問題；思維；推理

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）29-0002-04

【課前之思】

人教版教材將“分數與除法”編排在五年級下冊。從教材呈現的內容（如圖1）來看，本課是借助兩個關于除法的實際問題，揭示分數與除法的關系，使學生不僅能理解分數表示部分與整體的關系（即“份數”定義），還能理解分數表示兩個整數相除的商（即“商”定義），從而深化和擴展對分數意義的理解。

教材以1÷4=?和3÷4=?兩道除法算式為例，得出分數與除法的關系。然而，這種方法在邏輯上存在一些不足之處，因為它僅考慮了被除數小于除數的情況，沒有涵蓋被除數大于或等于除數的情況。這種不完整的歸納可能會引發學生的疑問：“如果被除數大于除數，或者被除數和除數相等，會有什么結果呢？”需要指出的是，在之前的除法學習中，被除數大于除數的情況更為常見，因此，僅以不常見的被除數小于除數的情況來得出結論可能會引起學生的疑問。

根據新的課程理念，引導學生發現和提出有意義的數學問題是培養學生質疑精神和批判性思維的重要方式，這也是值得追求的數學課程目標。因此，筆者建議將學生提出的問題納入教學中，以激發學生深入探究和全面歸納的興趣。這將為他們提供發展推理意識的絕佳機會，而推理正是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）所強調的最重要的數學思維之一。

也許有人會擔心，這樣的教學是否會涉及假分數？（在人教版教材中，假分數通常會在后面的課程中介紹，而不是通過兩數相除引入）筆者認為這種擔憂是不必要的，因為《課程標準》鼓勵教師“要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容”。假分數的本質是為了表示被除數大于除數時的商，而這節課正好介紹了兩個整數相除的商可以用分數表示。因此，學生在學習過程中產生“被除數大于或等于除數時，商會如何表示”的疑問時，正是引入假分數的合適時機。（北師大版教材采用了先教假分數再教分數和除法的關系的順序編排教學內容）

根據以上思考，筆者進行了多次嘗試，最終制訂了可行的教學方案。

【課堂實踐】

一、課題引思，明確方向

1.揭示課題，引發疑問

師：一起來讀一下課題。讀完課題，你有什么疑問？

生1：分數是一種數，除法是一種運算，它們有關系嗎？

生2：分數怎么會與除法有關系呢？

師：今天我們就來研究它們的關系。

2.生成素材，初步感知

師（引導學生回憶學過的分數和除法，并在黑板上寫下五六個例子）：你能發現哪個分數與哪道除法有關系嗎？

生3：我發現1÷3和?有關系，它們是相等的。

師（板書：1÷3=?）：怎么解釋其中的道理？

生4：我可以用分餅來解釋。把1個餅平均分給3個人，每人就得?個餅。

師：對，把1個餅平均分給3個人，可以用除法算式1÷3，結果是多少呢？

（教師邊說邊移動教具，并強調1個餅的?就是?個餅，如圖2）

[設計意圖：把課題作為學習素材，在適當的引導下，學生自然地產生疑問，產生探索知識的欲望。回顧舊知識能喚起學生對分數基本含義的記憶，同時，使用教具引導學生認識1個餅的?就是?個餅，這為后續學生的分析和表達打下堅實基礎。]

二、逐層探究，自主釋問

1.加深感知，初步歸納

師：分數與除法有什么關系呢？不著急，通過一個例子就下結論，太倉促了。我們繼續研究。如果把3個餅平均分給4個人，每人分到幾個餅？算式怎么列？它的商能用分數表示嗎？在紙上畫一畫、寫一寫你的想法。

生1：把第一個餅平均分成4份，每人分到?個；把第二個餅平均分成4份，每人也分到?個；把第三個餅平均分成4份，每人也分到?個。一共是3個?個，所以每人分到的是?個餅。

生2：3個餅都平均分成4份，一共就是12份，平均分給4個人，每人分到3份，因為每份是?個餅，所以3份就是?個餅。

師：同學們的研究過程很精彩，雖然方法不同，但得到結果是一致的，也就是3÷4的商是?。我們可以用最基本的思路再來分析一遍。（出示圖3）

師：現在有兩個例子了。你覺得分數與除法到底有什么關系？

生3：我發現被除數就是分數里的分子，除數就是分數里的分母。

師：你說的意思能用圖表示嗎？（引導學生在板書的算式中連線，如圖4）

師：好像的確如此！再試一個算式“2÷5”。

生4：2÷5等于?，把1個餅平均分成5份，每份是?個餅，2個?就是?。

[設計意圖：有了前面分餅的經驗，學生能比較順利地通過畫一畫、分一分來獨立研究3÷4的商。經過教師引導，學生進行了首次歸納，初步發現了分數與除法的關系。]

2.觀察思考，提出問題

師：愛動腦筋的同學心里面一定產生了一些疑問吧！請說一說。

（給學生思考時間）

生5：被除數大于除數的除法還是這樣嗎？

生6：被除數等于除數的時候呢？

生7：整除的時候商也能用分數表示嗎？

……

師：學習就是要這樣。在看似得到結論的時候，還能有質疑的精神，能勇敢地提問，這不但需要智慧，還是一種了不起的能力。

[設計意圖：學生看似已經歸納推理出了分數與除法的關系，但不是很確定，更多的是簡單盲從或想當然的心態。因此，教師在此處開啟一個提問的“窗口”， 鼓勵學生深入思考，從而發現問題并勇敢提出疑問，進而形成批判性思維。]

3.再度探究，深刻感知

師：除法算式5÷4等于幾？

生8：等于[5/4]。

師：[5/4]的分子比分母大，你們是怎么理解5÷4=[5/4]的？

生9：把每個餅平均分成4份，每次拿?個餅，5次就是[5/4]個餅。

（因為出現了分子比分母大的新情況，所以教師和學生一起借助教具將整個過程進行梳理，如圖5所示）

生10：我的方法跟他的不一樣，5個餅平均分給4個人，可以每個人先分到1個，剩下的1個餅再平均分成4份，每人又得到?個，所以每個人就是1個還多?個。

師：雖然生10的分法不同，但結果和生9的是一樣的——1個餅里面有[4/4]個餅，再加?個餅，也就是[5/4]個。

（教師將1個餅補畫成[4/4]的樣子）

師：5÷4的商確實可以用[5/4]表示。看來被除數大于除數的時候，這樣的關系依然成立。再算算7÷3等于多少？

……

師：剛才有同學問“被除數等于除數的時候，這個算法是否成立”，誰來舉個例子說說看？

生11：5÷5。

師： 5÷5=5/5。5個?正好是1張餅，跟5除以5等于1一樣。

4.概括歸納，得到結論

師：我們已經研究了很多例子，有被除數小于除數的，有被除數大于除數的，還有被除數等于除數的，三種不同的情況卻有相同的結論。對于分數與除法的關系，你能用一個式子簡約地表示嗎？

生12：可以寫成“被除數÷除數=[被除數/除數]”。

師：也可以用字母表達，寫成[a÷b=a/b]，當然，這里的[b]不能等于[0]。

[設計意圖：根據學生提出的問題，教師組織學生深度探究。學生通過研究被除數小于除數、被除數大于除數、被除數等于除數的除法與分數之間的關系，將前面不完全歸納得出的結果依次進行檢驗，從而在完全歸納中得出結論，深刻地建構了分數與除法的關系，并切實地感受到了完全歸納思想方法的實用性。]

三、知識運用，加深理解

1.鞏固練習，體會價值

師：我們歸納得出了分數與除法的這個關系有什么用呢？一起來看大家之前寫的這些除法算式，它們的商分別是多少呢？

生1：20÷4[=20/4]，8÷3[=8/3]，113÷19[=113/19]。

師：看了這些結果，你有什么感受？

生2：用分數表示除法的結果太簡單了！

師：兩個整數相除的商可以用分數表示，那么你們之前所列舉的分數，它們又分別是哪個除法算式的商呢？（學生回答略）

師：看見分數就能想到除法，厲害！

[設計意圖：借助課前學生舉的除法和分數的例子進行練習，素材簡單，形式靈活，讓學生能夠很好地感受到所學知識的用途，感受到分數的另一個來源。]

2.問題延伸，學法總結

師：你還有什么疑問嗎？

生3：被除數或除數是小數的時候也是這樣的關系嗎？

生4：分數除法的時候也會這樣嗎？

……

師：這些問題又能引發我們進一步思考。在學習中會提問太重要了，希望同學們能保持這樣的學習習慣。

【課后有感】

用以上思路執教的“分數與除法”不但讓人眼前一亮，課堂的效果也令人十分滿意。這節課的創新突破之處，主要就是“學生提問、以問引學”促成了學習的真實發生和思維的切實提升。

一、自主開展提問、釋問等活動，學習真實發生

整個課程可以看作是由學生的提問、釋問（即探究問題和解決問題）等活動串聯而成的。學生的提問分為三輪，每一輪的提問都是學生真實思考的表現，所提出的問題都激勵了學生主動地探究和解決問題，解決問題后又引發新的問題……學習在這樣的提問、釋問中真實發生，深入發展。例如，課堂一開始的提問激發了學生的學習興趣，學生明確了探究方向；探究兩個例題后，學生發現其中隱含的關系，此時提出更深入的問題，自主探究其他類型的除法，通過三種類型的除法，正式構建了分數與除法的關系，解決了之前的問題。學生自己提問、自己探究、自己解決問題，學習活動在學生獨立思考的基礎上展開。這樣的課堂讓學生興趣高漲，積極參與，學習活動生動而具有鮮明的特色。

二、充分經歷完全歸納等過程，思維切實提升

本課的最大特色是將教材上的不完全歸納改為完全歸納，從而建立了分數與除法的關系。這么做的原因是推理包括合情推理和演繹推理兩種，小學生主要接觸到的是合情推理中的不完全歸納推理。然而，隨著年齡的增長和理性思維的發展，學生在學習的過程中會產生疑問：“其他例子也是這樣嗎？”或“為什么都是這樣的呢？”這些疑問表明學生的思維已經邁向了更高的水平。在這個時候引入演繹推理是適時的，它有助于學生思維水平的提升。

從本課可以看出，學生通過研究兩個除法算式來歸納出結論時，伴隨的是問題的出現，如“被除數大于除數和被除數等于除數的情況是否也是如此？”這類問題反映了學生思維的嚴謹性，學生渴望對問題進行分類研究，從而實現完全歸納。在教師的引導下，學生經歷了完全歸納的思維過程，從而豐富了對推理的體驗（完全歸納推理是演繹推理的一種），邏輯思維和思考能力也得到了有效的鍛煉。

此外，學生在課堂中多次發現并提出有意義的數學問題，這也促進了他們批判性思維和創造性思維的發展和鍛煉。這與《課程標準》的強調是一致的。

通過對這節課的研究，筆者再次認識到，數學教學應該抓住知識的育人價值，重視學生的學習心理，引導學生提出問題并自主探究，以問題為引導使學生更加主動和深入地學習。這種教學方法有助于學生更深刻地建構知識，更有效地提升思維水平。

（責編 金 鈴）