植根數(shù)學(xué)思想　引導(dǎo)邏輯思維

沈佩佩

［摘 要］小學(xué)的幾何圖形問題是一個可以用一以貫之的邏輯基礎(chǔ)封裝的模塊化教學(xué)內(nèi)容。在平面圖形和立體幾何的教學(xué)過程中，教師可以逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握周長、面積、體積公式以及圖形和幾何體的對稱性、平移、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，從而幫助學(xué)生建立初步的數(shù)學(xué)邏輯體系。這一體系富有數(shù)學(xué)思想，并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面有重要的意義和作用。

［關(guān)鍵詞］幾何圖形問題；模塊化教學(xué)；邏輯思維能力

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）29-0084-03

一、引言

小學(xué)數(shù)學(xué)是兒童開始接觸數(shù)學(xué)邏輯的起點，也是培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)思維的啟蒙時期。隨著國家科技發(fā)展的需要，基礎(chǔ)科學(xué)人才的系統(tǒng)性培養(yǎng)越來越受到社會的廣泛關(guān)注。其中，依托小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，對學(xué)生進行初步的科學(xué)邏輯思維培養(yǎng)正是其中重要的一環(huán)。這一類數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)和養(yǎng)成，無法通過增加教學(xué)內(nèi)容的方式做到，也不能簡單地通過對已有數(shù)學(xué)知識的拓展和介紹來實現(xiàn)。邏輯思維的養(yǎng)成應(yīng)該是教師以具體的例子進行引導(dǎo)式教學(xué)，讓學(xué)生在此類引導(dǎo)下實現(xiàn)邏輯思維復(fù)現(xiàn)，從而能體會數(shù)理邏輯的價值與魅力，并從中獲得成就感，最終達成將邏輯思維方式內(nèi)化為學(xué)生自身思考形式的教學(xué)效果。

小學(xué)數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容涵蓋基本算術(shù)法則、幾何相關(guān)計算和實際應(yīng)用問題。如今的小學(xué)教學(xué)加入了一定的編程思維引導(dǎo)，如初步的編程課程，或者模塊化編程思維訓(xùn)練。這就對算術(shù)和實際應(yīng)用做了較為有效的邏輯補充。但同時應(yīng)注意到，小學(xué)階段的兒童在思維上存在較強的跳躍性，這就要求教師在教學(xué)時，不能長篇大論地進行數(shù)學(xué)論證，更不能過分要求學(xué)生完全按照編程的線性思維方式來思考數(shù)學(xué)問題。一個有效的教學(xué)方式就是在圖形問題上對學(xué)生進行邏輯思維引導(dǎo)。

抽象思維和形象思維都是邏輯思維的重要組成部分。一方面，在小學(xué)課堂的教學(xué)過程中，形象思維的教學(xué)內(nèi)容更易被學(xué)生接受。例如，在介紹“數(shù)的運算”時，教師常常采用學(xué)生熟悉的糖果、人物等具體形象開展教學(xué)引導(dǎo)；在教學(xué)四則運算和應(yīng)用題時，也常常會采用數(shù)形結(jié)合的方式。另一方面，幾何圖形作為天生的形象思維載體，具有便于學(xué)生讀題、便于學(xué)生理解和便于教師說明的特點。因此教師通過具體的幾何圖形的邏輯推演介紹幾何結(jié)論，并展示邏輯思維的過程是合適且有效的。

筆者將以小學(xué)幾何圖形問題的教學(xué)內(nèi)容為脈絡(luò)，闡述筆者在各個教學(xué)階段的教學(xué)經(jīng)驗和教學(xué)目的，從而論證小學(xué)幾何圖形問題在邏輯思維養(yǎng)成中的作用，對小學(xué)幾何圖形問題模塊化教學(xué)方法進行總結(jié)。

二、小學(xué)幾何圖形問題的類型及特點

小學(xué)的幾何內(nèi)容主要分為平面幾何和立體幾何兩部分。平面幾何重點介紹了長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形、不規(guī)則圖形和圓。立體幾何主要包括長方體、正方體、圓柱和圓錐。另外，圖形運動包含了圖形的基本特征和圖形剛體運動等的性質(zhì)，例如對稱、平移、旋轉(zhuǎn)和反射。

從展現(xiàn)的形式特征上看，小學(xué)幾何問題包含了反映幾何圖形性質(zhì)的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形在空間的簡單位置關(guān)系。前者涉及圖形的長、寬、高、面積、體積等概念，后者包含圖形的對稱性、割補性、邊長和面積的大小關(guān)系等。這種形式上的區(qū)分反映了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對兒童空間維度思考能力的拓展。同時，二維平面和三維空間是看得見、摸得著的，具有較好空間想象力和觀察力的學(xué)生很容易就能將二維圖形的一些性質(zhì)推廣到三維圖形上。

從學(xué)生對幾何圖形問題接受的難易程度上看，圓的性質(zhì)和相關(guān)問題的難度是有別于其他圖形問題的。如何引導(dǎo)學(xué)生思考求圓的面積和周長以及圓錐的體積等問題將是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重難點。說它重要的另一個原因是這個教學(xué)環(huán)節(jié)能夠很好地反映數(shù)學(xué)思維的具體作用方式，反映人類思考此類問題的途徑和動機，這也正符合“復(fù)現(xiàn)人類數(shù)學(xué)發(fā)展過程”這一教育理念。

從蘊含的邏輯內(nèi)核上看，小學(xué)幾何圖形問題反映了人類的兩種思維方式：整體系統(tǒng)的思維方式和局部變化的思維方式。這兩種思維方式一直隱形貫穿于中小學(xué)數(shù)學(xué)教育始終，直至大學(xué)數(shù)學(xué)才顯形地表現(xiàn)為高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析兩門課程。具體來說，關(guān)于第一種思維方式，體現(xiàn)在講授圖形的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)和反射等圖形特點，其實是反映了幾何圖形的群論性質(zhì)。這種將圖形看作一個整體來分析的方法是直觀且深刻的，在初中平面幾何的位置關(guān)系判定，高中的圓錐曲線分類、射影幾何初步，大學(xué)的線性代數(shù)都有體現(xiàn)。而第二種思維方式具體表現(xiàn)在求幾何體的面積、體積，尤其是涉及圓面積、體積等問題，實質(zhì)反映了幾何圖形尤其是彎曲幾何體的分析。這種將圖形局部分割后逐一分析的方法是基本且實用的，在小學(xué)的割補法，高中的立體幾何、解析幾何，直到大學(xué)的微積分都是這一思想的具體呈現(xiàn)。

這些特征都表明小學(xué)幾何圖形問題是教師傳播數(shù)學(xué)思想和學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有效途徑和高效載體。

三、小學(xué)幾何圖形問題的各階段教學(xué)目的與方法創(chuàng)新

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022版）》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容要求，筆者在三個學(xué)段的幾何圖形相關(guān)問題教學(xué)過程中突顯了思維引導(dǎo)和能力培養(yǎng)，將具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容落實為相應(yīng)的能力培養(yǎng)過程，從而把每個知識點化作具體能力應(yīng)用和思維方式發(fā)展的舞臺，最終達到讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)邏輯思維能力的目的。

1.第一學(xué)段 （1～2年級）：如何抽象描述圖形

在小學(xué)第一學(xué)段，圖形問題主要是引導(dǎo)學(xué)生將具體的客觀事物抽象成一定的幾何圖形[參見人教版教材一年級上冊第四單元“認識圖形（一）”、一年級下冊第一單元“認識圖形（二）”]。這要求圖形具有一定的理想性，比如點沒有大小、線沒有寬度、面沒有體積等。幾何圖形的抽象如同具體數(shù)量被抽象成為自然數(shù)，并逐漸抽象出數(shù)的運算規(guī)則，最終建立起復(fù)雜完備的數(shù)的體系，這種抽象在數(shù)學(xué)研究和思考中具有基礎(chǔ)性。

因此，在教學(xué)過程中，筆者會在課前布置任務(wù)讓學(xué)生尋找生活中具有方形、圓形等幾何形狀的具體事物，并提煉出它們的共性。在課堂上，筆者會讓學(xué)生就這種幾何圖形的共性進行討論和描述。不少學(xué)生可以提煉出數(shù)的信息，諸如方形都是4條邊，都是4個角，反映學(xué)生對數(shù)字的理解要快于對圖形的抽象感知。另一方面也說明，1～2年級的學(xué)生在圖形觀察上還需要更多地培養(yǎng)觀測能力和發(fā)散思維。

在課堂討論之后，筆者會引導(dǎo)學(xué)生比較各種圖形的幾何特征，并希望學(xué)生盡可能多地從各種特性上區(qū)分不同的圖形。這種開放性討論有助于學(xué)生建立抽象圖形和具體實像的對應(yīng)，能幫助學(xué)生理解抽象圖形的區(qū)別和圖形的特點。最后，筆者會解釋這些圖形的中英文名稱，并留下作業(yè)：如果讓你來命名這些圖形，你會叫它們什么？

在學(xué)生建立了對平面圖形的初步感知之后，筆者常常在課堂上延展性地引入諸如七巧板這樣的教具，讓學(xué)生在游戲中初步理解割補法的原理。

2.第二學(xué)段 （3～4年級）：平面圖形的代數(shù)和分析思考方法

粗略來講，在第二學(xué)段，小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形問題教學(xué)的主要目的包括熟悉各類平面圖形以及圖形的周長和面積（參見三年級上冊第四單元“長方形和正方形”、三年級下冊第五單元“面積”、四年級上冊第五單元“平行四邊形和梯形”、四年級下冊第五單元“三角形”）；能結(jié)合圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象，在感受圖形的位置與運動的過程中，形成空間觀念和初步的幾何直觀。這一階段對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、分析能力和代數(shù)思維十分重要。因此，在這一階段的教學(xué)中，筆者做了較長的鋪墊。

首先，回顧了七巧板、俄羅斯方塊和推箱子等游戲，讓學(xué)生通過這類游戲發(fā)現(xiàn)不同的圖形可能會有相同的大小（面積），而面積可以把圖形分割后分別計算再求和得到。其次，以2×2的正方形和1×4的長方形為例，讓學(xué)生自己總結(jié)計算矩形面積的方法。然后，通過不同的分割方式，讓學(xué)生思考平行四邊形、三角形、梯形的面積公式（80%以上的學(xué)生可以完成）。最后，通過分割正多邊形求面積的方法，建立圓柱體積和圓柱底面周長之間的關(guān)系。

接著仍以“正方形和長方形”為例，讓學(xué)生討論總結(jié)出它們的周長計算公式。并讓學(xué)生回去思考：為什么兩個圖形的面積相同，周長卻不一樣呢？這里面有規(guī)律嗎？

在關(guān)于圖形的剛體運動性質(zhì)方面，以現(xiàn)實中的例子為導(dǎo)引，仍以平面游戲為切入點，讓學(xué)生尋找各類圖形在對稱、平移和旋轉(zhuǎn)過程中體現(xiàn)的性質(zhì)。有些學(xué)生甚至發(fā)現(xiàn)了對稱翻轉(zhuǎn)和平移、旋轉(zhuǎn)的不同，前者是一瞬間的，后者是可以慢慢移動得到的。這反映了學(xué)生開始思考連續(xù)和離散的區(qū)別。筆者以此為契機，讓學(xué)生思考：是否可以通過平移和旋轉(zhuǎn)的方法得到某種反射呢？有一部分學(xué)生（30%左右）經(jīng)過思考能發(fā)現(xiàn)這是不能的，甚至有學(xué)生將圖形的正反兩面涂色做區(qū)分。在這部分教學(xué)的最后，筆者讓學(xué)生課后思考：旋轉(zhuǎn)一個圖形得到一個軸對稱圖形需要什么條件？

3.第三學(xué)段 （5～6年級）：立體圖形的推廣和技巧性方法

第三學(xué)段，幾何圖形問題的主要教學(xué)目的在于讓學(xué)生建立立體圖形的表面積、體積公式以及其他深入的幾何理解（參見人教版教材五年級上冊第六單元“多邊形的面積”、五年級下冊第三單元“長方體和正方體”、六年級上冊第五單元“圓”、六年級下冊第三單元“圓柱與圓錐”），其中立體圖形體積為教學(xué)難點。

通過第二學(xué)段的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)初步建立了以幾何概型為直觀背景的邏輯推理方式。教師稍加引導(dǎo)，學(xué)生就可以直接跳過具體例子的抽象環(huán)節(jié)，直接從長、寬、高的概念入手建立起正方體、長方體的體積公式。從立體圖形的高這一概念入手，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生拓展研究圓柱體及其他一般柱體的體積公式。

在立體圖形體積問題上，教學(xué)的難點是引導(dǎo)學(xué)生建立圓錐的體積公式。筆者先通過實驗法向?qū)W生展示這個公式。經(jīng)過筆者的教學(xué)引導(dǎo)，有一部分學(xué)生是不滿意這種論證方式的，這說明通過幾何圖形問題讓學(xué)生初步建立數(shù)理邏輯已初見成效。針對這部分學(xué)生，筆者進行了課外興趣拓展。在興趣拓展中，筆者先引導(dǎo)學(xué)生思考圓錐的體積公式應(yīng)該還是三個維度的乘積，可能是圓柱體積公式乘上一個固定的比例系數(shù)。為了確定這個系數(shù)，只需要考慮如何做一個平行于底面的截面將圓錐一分為二，使得下面的圓臺和上面的小圓錐合起來的體積等于和上面的小圓錐等底等高的圓柱的體積。通過耐心講解，這一具有競賽難度的問題還是被部分學(xué)生理解。

四、總結(jié)

在小學(xué)的幾何圖形這一專題上，教師可以通過寓教于樂、逐步引導(dǎo)的方式逐漸引導(dǎo)學(xué)生建立初步的數(shù)學(xué)邏輯思維體系，并應(yīng)用這種思維體系建立平面圖形和立體圖形的面積、體積公式；建立圖形和幾何體的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。這種數(shù)理邏輯體系是嚴格的，富有數(shù)學(xué)思想的，在學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的意義和作用。

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（責(zé)編 楊偲培）