探尋“原理一致性”的教學實踐與思考

沈俊杰

［摘 要］學生要想實現學習的“真遷移”，就要把握知識的整體性，并基于知識背后原理的一致性達成思維方式上的貫通。文章以“面積和面積單位”教學為例，通過對以往教學的復盤和計量單位原理一致性的分析，構建“知識表征的合理表達結構—知識本質的邏輯發展結構—知識序列的科學輸出結構”的結構關聯路線，引導學生在結構關聯中體驗和感悟度量的本質，從而實現深度學習。

［關鍵詞］原理一致性；結構關聯；本質學習

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）29-0036-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）強調“為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯”，且明確指出整體把握教學內容時應注重教學內容的結構化，注重教學內容與核心素養的關聯。對此，一線教師應從單元視角出發，打破課時與課時之間的邊界，觀照整個單元的內容并推進結構化教學。但僅從單元視角出發還不夠，知識的整體性不能局限于單元，還要站立于更上位的領域視角，打破單元與單元之間的邊界，構筑一個大單元。大單元嚴格意義上來說不是內容的單元，而是一個學習大單元。這意味著教師要在思維方式上建立關聯，引導學生打通單元與單元、主題與主題之間的結構關聯，其中的關鍵在于理解具體知識內容背后的數學原理的一致性，由思維方式上的貫通達成學習上的遷移，具體可見“學習大單元”結構圖（如圖1）。

“面積”單元的學習是學生開啟二維空間認知的關鍵，該單元的目標達成手段和實踐形式較為豐富，在體現教學內容的整體性和一致性上的教學目標是：使二維面積單位度量與一維長度單位度量之間形成關聯。如何才能做到真正的關聯呢？下面筆者以“面積和面積單位”的教學為例，在結構關聯中探尋知識原理的一致性，幫助學生完成學習的“真遷移”。

一、復盤以往教學，反思遷移是否真正達成

近年來，受到“單元整體教學”“大概念教學”等理念的影響，加上課程改革的實施，“面積和面積單位”的教學在知識遷移的層面基本指向一類教學事實：由“長度和長度單位”的學習遷移至“面積和面積單位”。具體教學流程如下。

【環節1】回顧長度度量，初步喚醒度量本質。

師（出示一條線段）：如何知道它的長度？

生1：可以用直尺測量。

師：為什么用直尺測量？怎么測量？

生2：因為直尺上有刻度，有刻度就可以數出有幾個1厘米，幾個1厘米就是幾厘米。

師：如果是長一點的線段呢？

生3：換用分米作單位的直尺測量，再長的話可以用米作單位的卷尺測量，數出有幾個1分米或者幾個1米。

【環節2】一維延伸至二維，對比建立面積概念。

師：想象一下，將這條線段向上平移，它移動的軌跡會是一個怎樣的圖形？

生4：一個長方形。

師：我想知道長方形這個面的大小，怎么辦？

生5：先測量長方形的長和寬，再計算周長。

生6：應該是計算面積。

（教師引導學生思辨周長和面積的區別，得出面積的概念。）

【環節3】自主遷移關聯，滲透面積度量本質。

師：我們已經知道了什么是面積，那么如何知道這個長方形的面積？

生7：用小方塊擺，鋪滿幾個小方塊，面積就是幾。

生8：不知道怎么回答。

師：想一想，我們是怎么去測量長度的？

（教師播放課件“用短線段擺長線段”和“用小方塊鋪大長方形”。）

師（追問）：如果這個長方形很大呢？

生9：用大方塊去鋪。

師（小結）：用面積單位去度量面積的大小時，可以根據面積大小選擇合適的面積單位。

師：你都知道哪些面積單位？它們有多大？它們之間有什么樣的關系？

復盤整個教學過程，學生清楚了面積的概念，建立了一維長度和二維面積在“度量”上的聯系，完成了知識的遷移。遷移具體表現于度量面積時，將測量長度“數線段”的方法變成了“擺小方塊”的方法，而后小方塊搖身一變成了面積單位，長度單位和面積單位實現了關聯。這樣的關聯真的指向學生思維方式上的轉變嗎？答案是否定的。

指向思維的關聯是要溝通知識背后的原理并達成一致?！懊娣e的內涵”本質指的是圖形的大小，大小的度量要用面積單位；“面積的度量”的核心原理在于“數格子”，格子的形狀取決于面積單位的構造。因而關聯的源頭還是面積單位。在以往教學中，學生很少從指向“原理一致性”的維度去考慮長度和面積的關聯，導致遷移并未真正發生。筆者認為，要想完成思維進階，實現“真遷移”，就要思考以下三個方面。

1.面積單位是怎么來的

單位的產生是一個不斷完善和發展的過程，從多元到統一，從粗略到精細，從個性化到標準化。國際標準單位中長度單位是“米”，沒有面積單位和體積單位。筆者把“米”稱為原生單位，把面積單位和體積單位稱為衍生單位，也就是說面積單位和體積單位都是由長度單位衍生出來的。

2.面積單位的構造為什么是一個面積為“1”的小正方形

教材中安排學生體驗用不同形狀的圖形作為標準去量面積的大小，并通過“能不能密鋪”得出面積單位的形狀是正方形，這缺少單位產生的邏輯關聯。面積單位是由長度單位衍生而來的，因此面積單位的構造取決于原生的長度單位。

3.面積單位之間的進率為什么是100

面是二維的，線是一維的。度量線的長短用的是長度單位，長度單位之間的進率是10，而面積單位是由長度單位衍生而來的，因此面積單位之間的進率是由長度單位之間的進率決定的。

基于這樣的思考，要想實現思維方式上的遷移，達成“原理一致性”的教學目標，度量單位之間的溝通與關聯至關重要。

二、基于“原理一致性”，在結構關聯中優化遷移路徑

要理解“原理一致性”，首先要提煉原理。原理不能局限于某個單元，而是要代表整個領域。原理的具體表達體現在核心概念上，核心概念有兩個層面：一是單元內的核心概念，用來橫向打通單元知識點之間的本質關聯；二是領域或者主題的核心概念，用來縱向溝通單元之間的本質關聯。

為體現“原理一致性”，教師在教學時可將“面積”單元置身于“度量”大單元的結構中整體考量（如圖2）。從圖2可知，打通領域的核心概念是“計量單位”，它包括所有的計量單位，具體落實到“面積”這個單元就是“面積單位”。計量時都要做的事情就是數度量標準的個數，由于被度量物體的屬性不同，因此數的“標準”自然也不同。“標準”的產生源于被測量物體，長度單位源于長度的度量，面積單位源于面積的度量，這些不同事物的度量方式并未指向原理上的一致?！霸硪恢滦浴钡年P聯必須聚焦于“標準”之間的溝通，如度量面積時面積單位不是直接生成的，而是由長度單位衍生遷移而來的。因此，在對內容整體把握的基礎上，理解“原理一致性”更有利于學生構建知識間的本質關聯，形成結構化的數學思維。

基于以上思考，筆者認為“面積和面積單位”的教學應該從知識表征的合理表達結構、知識本質的邏輯發展結構、知識序列的科學輸出結構三條路徑與“長度和長度單位”建立本質聯系，在結構關聯中不斷探尋知識原理的一致性。在關聯前，教師首先要讓學生明確面積的內涵，當學生對面積有了充分的認知后，才會有更深刻的感悟和思考。

【教學片段1】調動面積的感性經驗，理性表達面積內涵。

師：今天我們來學習面積，你聽說過面積嗎？面積在哪里呢？請你找一找、摸一摸、說一說。

師：請你用一個圖形表示出所有的面，并涂出面積。

師：請你告訴我到底什么是面積？

開門見山式的提問，一下子就激起了學生對“面積”長久以來的興趣。教師追問“面積在哪里”，調動起學生所積累的關于物體的面及面的大小的感性經驗。教師繼續追問“用一個圖形表示出所有的面”，此時用“類”的概念提煉它們的共性，將學生對面積原本感性的認知轉化為理性的表達。最后，教師讓學生用自己的話描述“什么是面積”，指向“封閉圖形的大小即面積”。

路徑一：關聯知識表征的合理表達結構

【教學片段2】關聯長度的表達形式，合理表征面積大小。

師：這個面有多大？用一個結果表示。

師：長度的長短是怎么表示的？（數字+長度單位）

師：面積的大小表示為“數字+面積單位”。

表征面積的目的：一是讓學生明白面積大小是可以度量的；二是讓學生產生疑惑，進而自主關聯以往的知識經驗——度量長度時的表達形式。長度長短的表達形式是“數字+長度單位”，那么面積大小的表達形式則為“數字+面積單位”。至此，學生能從知識表征的合理表達結構去理解度量原理的一致性。

路徑二：關聯知識本質的邏輯發展結構

【教學片段3】關聯長度單位的產生，衍生構建面積單位。

師：12平方厘米是怎么來的？（學生討論）

師：請回顧長度單位的產生過程，再說說12厘米是怎么來的。

（教師先用課件呈現一條線段，再用直尺測量出其長度為12厘米，最后引導學生回顧長度度量的本質：從線段中截取一段作為標準，保證標準與被測量物體的屬性相同，再去數有幾個這樣的標準。）

師（遷移）：因此面積度量就是數面積單位。

師：請同學們切一切、分一分，數出這個長方形的面積。（學生回答略）

師：請思考面積單位是怎么來的？

（學生回顧長度單位的產生過程）

在關聯長度的表達形式后，學生用“12平方厘米”表征面積的大小，這是對知識的“形”形成初步關聯。“12平方厘米是怎么來的”是為了引導學生將長度的度量遷移至面積的度量。“切一切、分一分”的操作有兩個目的：一是讓學生體會度量的本質，即數面積單位的個數；二是讓學生感受選擇哪種圖形作為面積單位最合適。有了這樣的體驗，學生就能將這兩個基本單位作比較，即長度單位是水平方向的標準線段，面積單位是水平方向和垂直方向標準線段的集合，面積單位是在長度單位的基礎上增加了一個方向的線段（如圖3）。由此，學生理解了面積單位是由長度單位衍生而來的，并從知識本質的邏輯發展結構去理解度量原理的一致性。

路徑三：關聯知識序列的科學輸出結構

【教學片段4】關聯長度單位進率，導出面積單位序列。

師：從1平方厘米到1平方分米，從1平方分米到1平方米，它們是怎么“長大”的？

師：長度單位的進率是多少？

師：面積單位是兩個方向同時“長大”，它的進率是多少？

師（課件演示）：請看面積單位“長大”的過程。

長度是一個方向10倍10倍地“長”，面積是兩個方向同時“長”10倍，也就是100，由此得到了更大的面積單位（1平方分米、1平方米等）。在該數學片段中，學生從知識序列的科學輸出結構中理解度量原理的一致性，建立完整的知識結構體系。

三、總結推進路徑，有效提煉“思維遷移”策略

1.原理一致，教學從“局部化”走向“整體化”

教材經常將一些具有相同屬性的數學知識安排在不同的課時乃至不同的單元，這容易造成學生認知的“局部化”。教師可從知識“原理一致性”角度出發，幫助學生挖掘知識背后的相通之處，跳出課時框架和單元框架，以“領域”的視角俯瞰知識的全貌，構建完整的知識框架體系。在“面積和面積單位”的學習中，學生不僅能關注面積的概念和面積單位大小的表征，而且能夠站在“計量”層面對小學階段所有的計量單位進行整體認知。

2.經驗遷移，知識從“碎片化”走向“結構化”

數學是一門具有結構的學科，教學不是一種簡單的知識傳遞。在教學“面積和面積單位”時，物體度量涉及被度量物體大小的表征、度量標準的選擇與產生以及度量單位之間的關系，這些內容都不是直接告訴學生的，而是需要學生將“長度和長度單位”的學習經驗遷移過來，用相同的思維方式將不同的知識碎片拼接在一起，構建結構化的學習體系。

3.本質關聯，學習從“淺表化”走向“深層化”

浮于表面的關聯并不能幫助學生實現深度學習。在度量長度、面積、體積時都是在數標準單位的個數，這是計量的基本特征，屬于“低水平”的關聯。深度學習下的關聯指向知識本質上的溝通，以“面積和面積單位”學習為例，教師可以沿著“關聯長度表達形式—關聯長度單位產生—關聯長度單位進率”這條主線展開，從原理的一致性上驅動學生的認知向結構化和深層化發展。

綜上，學習不是學生被動地接受知識，每個環節都需要學生去思考探索、主動關聯。關聯不是簡單地尋找相同點，而是要找到知識背后的原理一致性。利用“原理一致性”和結構化的遞進體驗，是一種比較有效的學習策略。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 楊海榮.追求“原理一致性”的乘法分配律教學思考與實踐[J].教學月刊小學版（數學），2023（Z1）：55-60.

（責編 李琪琦）