基于神經網絡相對增益陣的非線性系統常規控制回路配對

許鋒 劉文澤 劉聰 羅雄麟

基金項目：國家自然科學基金（批準號：21676295）資助的課題。

作者簡介：許鋒（1976-），副教授，從事過程控制與系統工程方面的研究，xufeng@cup.edu.cn。

引用本文：許鋒，劉文澤，劉聰，等.基于神經網絡相對增益陣的非線性系統常規控制回路配對[J].化工自動化及儀表，2023，50（6）：000-000.

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202306000

摘? 要? 化工過程一般為非線性系統，對其進行常規控制系統結構設計一般采用基于線性化模型的相對增益陣方法，但是當非線性特性對控制性能影響較大時，應采用基于非線性模型的相對增益陣方法。筆者考慮非線性靜態環節與線性動態環節連接的Hammerstein模型，采用能量增益將線性動態環節轉換為靜態增益陣，與非線性靜態環節串聯為多變量非線性靜態增益陣，利用神經網絡分別對組合后的非線性靜態增益陣的正向和逆向的映射關系進行擬合，以訓練好的正/逆神經網絡求取非線性相對增益陣進行常規控制回路配對。最后通過線性系統的實例分析驗證了所提方法的正確性，并對酸堿中和反應和精餾塔進行了常規控制回路配對。

關鍵詞? 過程控制? PID控制? 多變量系統? 控制回路配對? 非線性系統

中圖分類號? TP13? ? ? ? ? 文獻標志碼? A? ? ? ? ?文章編號? 1000-3932（2023）06-0000-00

化工過程一般為多變量系統，即存在多個被控變量和多個操縱變量，因此多變量系統的內部一般存在一定程度的耦合作用。考慮到控制安全可靠的要求，化工過程的底層控制系統主要采用常規PID控制，即將多變量系統分解為多個單入單出子系統，分別設計PID控制回路，組成分散控制的多回路PID控制系統。

分散PID控制系統的各個控制回路之間如果存在比較嚴重的相互耦合作用，將難以達到較好的控制效果。因此，在進行分散PID控制系統設計時，首先要進行控制系統的結構設計，即確定被控變量和操縱變量的配對，組成相應的控制回路，而配對的原則是各個控制回路之間的相互耦合作用最小化，這樣才可以運用成熟的經典控制理論對各控制回路進行單回路PID控制器設計。

多變量系統的關聯分析和控制回路配對問題的研究一般基于過程的線性模型，最早由BRISTOL E H于1966年提出相對增益陣（Relative Gain Array，RGA）方法[1]。WANG S和MUNRO N將其推廣到高維系統[2]。NIEDERLINSKI A提出了尼德林斯基指數（Niederlinski Index，NI）[3]，與RGA配合使用，篩選不合適的控制回路配對。GROSDLDLER P等進一步給出了RGA和NI閉環穩定性的證明[4]，該方法要求基于過程線性靜態增益陣計算RGA，在RGA中應當盡可能選擇大于零且接近于1的元素對應的輸入輸出配對，即可保證控制回路之間的耦合最小化。

由于RGA忽略了系統的動態特性，因此在其基礎上提出了各種基于線性動態模型的改進方法。RGA的動態改進方法大體可以分為：基于開環階躍響應的時域RGA[5～8]、基于頻率特性的頻域RGA[9～11]、基于最優閉環控制器的動態RGA[12～14]、靜態信息與動態信息結合的組合RGA[15～20]。以上改進方法中，時域RGA和頻域RGA都需要進行時域或頻域積分求取平均值，計算量較大；而基于最優閉環控制器的動態RGA，其配對結果依賴于閉環控制器的性能，需要對閉環控制器進行最優參數整定；組合RGA利用過程的帶寬、截止頻率、停留時間、時間常數及純滯后等信息與靜態增益陣相結合構造含有動態信息的增益陣計算RGA，計算比較簡單，得到了廣泛應用。

化工過程本質上是非線性系統，或多或少都含有非線性環節。對于非線性多變量系統的關聯分析和控制回路配對問題，針對弱非線性系統，KADHIM A M H等采用最小二乘法辨識近似線性脈沖傳遞函數矩陣[21]，XU C和SHIN Y C將模糊基礎函數網絡辨識結果線性化[22]，創造應用RGA方法的條件。當非線性特性對控制性能影響較大時，或隨著控制精度要求提高，原本可忽略的非線性特性必須予以考慮時，這種情況下，就應當根據非線性環節的特征描述應用相應的關聯分析方法。針對仿射非線性系統，DAOUTIDIS P和KRAVARIS C提出了基于相對階矩陣的配對準則[23]，相對階是對系統響應慣性的一種衡量，因此每行中相對階最小的元素對應的變量可組成配對；SHAKER H R和KOMAREJI M從系統可控、可觀性的角度思考控制回路配對問題，將仿射非線性系統可控、可觀格拉姆矩陣的乘積陣用于判斷每個子系統在整個大系統中的重要程度[24]；GLAD S T等認為RGA是正、逆系統的開環靜態增益之積[25，26]，將靜態增益泛化為映射關系，被控變量經開環系統逆向映射、正向映射后的異化情況可以用來衡量耦合程度。

Hammerstein非線性系統由一個非線性靜態環節后接一個動態線性環節構成。在實際工業過程中，很多非線性系統都可被模擬為Hammerstein系統，如熱交換器[27]、催化裂化裝置[28]、精餾塔[29～31]及pH酸堿中和過程[27]等。

基于線性動態模型的組合RGA方法中，文獻[20]提出的能量增益將靜態特性與線性動態特性分離，與Hammerstein非線性系統相似，因此筆者將Hammerstein系統的線性動態環節轉化為靜態的能量增益陣，再與非線性靜態環節相結合，形成等效的非線性靜態增益陣。然后筆者受文獻[25，26]的啟發，利用人工神經元網絡（Artificial Neural Network，ANN）擬合非線性靜態增益陣正向、逆向的映射關系，建立一個等效系統，然后以訓練好的正/逆神經網絡求取非線性相對增益陣，考察被控變量經過逆向映射和正向映射后的異化情況，以此進行關聯分析和控制回路配對。

1非線性相對增益陣

對于如下多變量非線性靜態系統：

其中，u為n維輸入變量，y為n維輸出變量，H為Rn到Rn的非線性映射關系。y0=H（u0）為系統的標稱工作點。

當除輸入uj外，其他輸入均保持在標稱工作點（即其他回路開環）時，輸入uj對輸出yi的影響為：

其中，Hi為H的第i行。

如果非線性映射H可逆，令H-1為H的逆映射。當除輸出yi外，其他輸出均保持在標稱工作點，即其他回路為閉環理想控制時，需要保持當前輸出yi所需的輸入uj為：

（3）

其中，為的第j行。

基于φij和ψji可定義非線性相對增益為：

（4）

非線性相對增益排列為陣列，得到非線性RGA為：

（5）

根據式（2）和式（3），可發現非線性RGA與輸出工作點有關。

當非線性RGA滿足：

（6）

此時多變量非線性靜態系統式（1）是完全解耦的，即對于非線性RGA，第i行第j*列元素以斜率1單調變化，第i行其他元素保持不變時，多變量非線性靜態系統是不存在內部耦合的。非線性RGA與式（6）的異化程度，可以用來衡量多變量非線性系統的耦合程度。進行控制回路配對時，應當盡量選擇非線性RGA中變化斜率接近于1的元素對應的輸入變量和輸出變量組成控制回路配對。

在工作區間內，繪出輸出yi與非線性相對增益λij的映射曲線。λij隨yi變化的斜率越接近1，表明uj對yi通道受其他通道的影響越小，應當選擇輸入變量uj和輸出變量yi組成控制回路配對。

由于對于非線性系統，工作區間內yi與非線性相對增益λij的映射曲線變化比較復雜，難以看清變化趨勢，為了進行直觀的定量分析，基于yi與非線性相對增益λij的映射曲線上的離散點，定義了平均非線性相對增益：

（7）

其中，{yi，1，…，yi，m，…，yi，N}為對輸出yi在其工作區間內N組按升序排列的離散數據，{λij，1，…，λij，m，…，λij，N}為對應的非線性相對增益。

當γij=1時，表明λij隨yi變化的斜率為1；當γij=0時，表明λij保持不變；γij越接近1，表明uj對yi通道受其他通道的影響越小，應當選擇輸入變量uj和輸出變量yi組成控制回路配對。

對應的平均非線性相對增益陣為：

（8）

平均非線性相對增益實際上是衡量了非線性相對增益λij與輸出yi的變化曲線與斜率為1曲線的平均偏離程度，由于非線性的影響，平均非線性相對增益陣無法具有與線性系統RGA完全相同的性質，如行元素和與列元素和等于1。但是，根據平均非線性相對增益陣選擇控制回路配對方案時也應遵照以下規則：

a. 所有被選擇的變量配對對應的γij取值必須是正數；

b. 被選擇的變量配對的γij值應盡量接近1。

2? Hammerstein系統等效非線性能量增益陣

Hammerstein非線性系統由非線性靜態環節后串聯線性動態環節組成，可表示為：

（9）

其中，u為n維輸入變量，y為n維輸出變量，H（u）為多變量非線性靜態映射，G（s）為多變量線性動態環節的傳遞函數矩陣。

H（u）可表示為：

（10）

G（s）可表示為：

（11）

對于多變量線性動態環節G（s），基于平方偏差積分，引入能量消耗的概念，定義輸入vj（t）對輸出yi的能量消耗大小為：

（12）

其中，eij（t）為輸入vj（t）作單位階躍輸入信號時輸出yi（t）與穩態值yi（∞）之間的偏差歸一化后的值，即：

（13）

能量消耗只與過程的動態特性有關，結合穩態增益和能量消耗，能量增益定義為：

（14）

將所有輸入對輸出的能量增益組合起來，得到多變量線性動態環節G（s）的能量增益陣：

（15）

能量增益陣將多變量線性動態環節的傳遞函數矩陣G（s）等效為線性靜態增益陣，用能量增益陣KE取代多變量線性動態環節與非線性靜態環節H（u）串聯，得到等效的多變量非線性靜態系統H*（u）：

（16）

（17）

基于等效的多變量非線性靜態系統H*（u）計算非線性相對增益陣，以其作為控制回路配對和常規控制系統設計的依據。

3? 神經網絡相對增益陣

要想計算非線性相對增益陣，就必須求得非線性靜態映射H*（u）的逆映射H*-1（y），但是非線性映射求取逆映射是非常困難的。由于BP神經網絡具有很好的擬合非線性靜態映射的能力，因而用它分別對等效的多變量非線性靜態系統的正向、逆向映射關系進行擬合。

對于已知的正向非線性系統H*（u），在給定的工作區間內對輸入變量施加一系列隨機信號，產生一系列對應的輸入輸出數據樣本{（yF，1，uF，1），（yF，2，uF，2），…，（yF，L，uF，L）}（下標F指用于擬合的數據）。

對于H*（u），以{uF，1，uF，2，…，uF，L}為輸入數據、{yF，1，yF，2，…，yF，L}為輸出數據訓練正向神經網絡NN_Ⅰ，就可以得到正向多變量非線性映射H*（u）。

對于H*-1（y），以{yF，1，yF，2，…，yF，L}為輸入數據、{uF，1，uF，2，…，uF，L}為輸出數據訓練逆向神經網絡NN_Ⅱ，就可以得到逆向多變量非線性映射H*-1（y）。

將正向神經網絡NN_Ⅰ和逆向神經網絡NN_Ⅱ應用于式（4）求取非線性相對增益，最后根據式（7）計算平均非線性相對增益，整個過程如圖1所示。

圖1? 基于BP神經網絡的非線性相關增益計算過程

4? 實例分析

本節對3個實例進行分析，首先通過1個線性系統的實例分析驗證了筆者所提方法的正確性，然后對2個典型的非線性系統（酸堿中和反應和精餾塔）進行了常規控制回路配對，配對結果與實際工業過程相符合。

例1? 對于33線性系統[19]，傳遞函數矩陣為：

設定標稱工作點輸入u0=[8.5，8.5，8.5]，等效的多變量非線性靜態系統的標稱工作點輸出為y0=[-4.70，10.83，-22.11]，令輸入變量的工作區間為[2.5，2.5，2.5]～[14.5，14.5，14.5]，生成1 000組均勻分布的輸入輸出信號用于BP網絡擬合正向和逆向非線性映射關系，在輸出信號區間取300個輸出離散點得到λij與yi的關聯曲線，如圖2所示。

圖2? 非線性相對增益曲線（例1）

對應的平均非線性相對增益陣為：

計算該線性動態系統的相對能量增益陣（Relative Energy Gain Array，REGA）[20]得：

根據筆者提出的關聯分析方法得到配對結果為y1-u2/y2-u3/y3-u1，與基于REGA的配對結果相同，與文獻[19，20]的結論一致，由此驗證了筆者所提方法的正確性。

例2? 對于酸堿中和反應系統[27]，其Hammerstein模型為：

其中，Xt為線性動態模型的狀態變量；Yt為線性動態模型的輸出變量；Ut為線性動態模型的輸入變量；ui*為非線性靜態模型的輸入，ui*通過非線性靜態模型轉化為Ut。

該酸堿中和反應系統有2個操縱變量，分別為注入攪拌罐的酸液和堿液的流量；2個被控變量，分別為攪拌罐的液位與混合液的pH值。

眾所周知，酸堿中和反應系統具有很強的非線性，在這種情況下，其配對方案依賴于具體的工作區間。實驗選取了兩個測試工作區間，工作區間1的標稱工作點輸入u0=[3，2.5]，等效的多變量非線性靜態系統的標稱工作點輸出為y0=[23.66，-6.24]，令輸入變量的工作區間為[1.8，1.7]～[4.2，3.3]；工作區間2的標稱工作點輸入u0=[8，8]，等效的多變量非線性靜態系統的標稱工作點輸出為y0=[145.22，-115.56]，令輸入變量的工作區間為[3，3]～[13，13]。從工作區間生成1 000組均勻分布的輸入輸出信號用于BP網絡擬合正向和逆向非線性映射關系，在輸出信號區間取300個輸出離散點得到λij與yi的關聯曲線，如圖3所示。

a. 工作區間1

b. 工作區間2

圖3? 非線性相對增益曲線（例2）

工作區間1的平均非線性相對增益陣計算結果為：

工作區間2的平均非線性相對增益陣計算結果為：

根據平均非線性RGA，工作區間1應采取非對角配對方案，工作區間2應采取對角配對方案。圖3亦直觀地佐證了相應選擇，其配對方案對應的λij與yi的關聯曲線斜率基本為正實數。此控制回路配對結果與工業過程實際情況是相符合的。

例3? 對于二元精餾塔系統[31]，其Hammerstein模型為：

其中，輸出y1、y2分別表示塔底輕組分摩爾分率xB與塔頂輕組分摩爾分率xD的變化量；輸入u1、u2分別表示塔底再沸汽量V與塔頂回流量R的變化量，輸入最大變化量為穩態值的±10%。

在本例中，標稱工作點輸入u0=[0，0]，等效的多變量非線性靜態系統的標稱工作點輸出為y0=[0，0]，令輸入變量的工作區間為[-0.5，-0.5]～[0.5，0.5]，從工作區間生成1 000組均勻分布的輸入輸出信號用于BP網絡擬合正向和逆向非線性映射關系，在輸出信號區間取300個輸出離散點得到λij與yi的關聯曲線，如圖4所示。

圖4? 非線性相對增益曲線（例3）

平均非線性相對增益陣計算結果為：

分析圖4的關聯曲線與平均非線性相對增益陣，可以得到對角配對方案，即塔頂回流量控制塔頂產品的純度，塔底再沸汽量控制塔底產品純度，此控制回路配對結果符合精餾塔就近控制的一般性原則。

5? 結束語

針對Hammerstein系統具有動態特性與靜態特性分離的特點，將Hammerstein系統的線性動態環節轉化為靜態的能量增益陣，再與非線性靜態環節相結合，形成等效的非線性靜態增益陣。再利用神經網絡分別對組合的非線性靜態增益陣的正向和逆向的映射關系進行擬合，以訓練好的正/逆神經網絡求取非線性相對增益陣，進而計算工作區間內的平均非線性相對增益陣，可以用與線性系統相對增益陣相似的方法完成控制回路配對。

由于非線性特性的影響，平均非線性相對增益陣與工作區間有關。對于線性系統和弱非線性系統，可以得到統一的控制回路配對結果；而對于強非線性系統，控制回路配對結果與工作區間有關，當工作區間發生大范圍變化時，控制回路配對結果將不適用，需要重新進行常規控制系統結構設計。因此，對于強非線性系統，務必將工作點控制在合理的工作區間，脫離工作區間將導致系統發生故障。

參? 考? 文? 獻

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（收稿日期：2022-10-31，修回日期：2023-06-25）