一種最速控制器的機理研究與應用

陳錦攀 趙兵 孫聞 羅滇生 梁爽 廖峰 王偉 梁曉兵 王玲 李德波

基金項目：國家自然科學基金重點項目（批準號：51376161）資助的課題；中國南方電網有限責任公司科技項目（批準號：GDKJXM20222593）資助的課題；中國南方電網有限責任公司科技項目（批準號：GDKJXM20210174）資助的課題。

作者簡介：陳錦攀（1985-），高級工程師，從事最速控制機理研究及工程最速控制技術專利布局方面的工作，xu_19pan@163.com。

引用本文：陳錦攀，趙兵，孫聞，等.一種最速控制器的機理研究與應用[J].化工自動化及儀表，2023，50（6）：000-000.

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202306000

摘? 要? 隨著我國“雙碳”能源目標的提出，傳統PID控制已經很難適應現有火電機組的控制。因此，提出加速型工程最速比例-積分（AEFPI）控制器，顯著提高了反饋控制性能。文章首次揭示AEFPI機理，通過仿真實驗和數學計算分析AEFPI控制特性，給出AEFPI在提高反饋控制性能上實質性進步的理論依據。最后，通過難控過程的實際應用進一步驗證了AEFPI的先進性。

關鍵詞? 加速型工程最速比例-積分控制器? 直角三角窗函數濾波? 加速型工程最速跟蹤濾波器? 頻域濾波特性

中圖分類號? TP273? ? ? 文獻標志碼? B? ? ? 文章編號? 1000-3932（2023）06-0000-00

回顧工控技術的發展歷程，為了適應工業動力發展的需求，1788年瓦特借助飛錘調節器實現了蒸汽機轉速控制，奠定了工控基本原理，即反饋控制原理（又稱瓦特原理）[1]，飛錘調節器實現了一種比例作用的反饋控制，比例作用的反饋控制的明顯問題是存在系統穩態偏差，但那個時代的工業動力系統，對轉速控制的精度要求并不高。電機工程[2]發展對控制提出了較高的需求，1936年CAL-LENDER A和STEVENSON A發明比例-積分-微分（Proportional-Integral-Derivative，PID）控制器[3～7]，實現了系統穩態偏差為零的控制。PID控制器的范疇包括比例-積分（PI）控制器，在20世紀40年代形成了以NYQUIST H提出的奈氏穩定判據[8]、伯德建立的反饋控制系統頻域分析工具（即伯德圖）[9]、EVANS W R提出的根軌跡法[10]等為核心的經典控制論[11]，推動了PID控制技術在工控領域的廣泛應用。20世紀50年代末，為適應航空航天領域發展要求，形成了以原蘇聯科學家PONTRYAGIN提出的極大值原理[12]、美國學者BELLMAN創立的動態規劃[13]、KALMAN建立的卡爾曼濾波理論[14]等為基礎的現代控制論[11]。經過半個多世紀的發展，產生出宏大和嚴密的現代控制論和眾多的先進控制策略[15～23]，先進控制的本質是一種“建模-優化”策略，即以數學模型[11]為基礎、以最優控制[11]為核心。

在工控領域，PID至今占據著統治地位[24]，這其實也是一種無奈的選擇[25]。隨著我國“雙碳”能源目標的提出，風力發電、光伏發電發展形勢迅猛，電網調節壓力巨大，目前的主要調節手段就是大幅提升現有燃煤火電機組[25]深度調峰快速調頻性能[25]，但從現有火電機組控制的角度，PID控制很難適應。由此，電力系統的工程研究人員發明了一種加速型工程最速跟蹤濾波器（Acceleration Engineering Fastest Tracking Filter，AEFTF）[26]，它代表了一種最速跟蹤濾波機制，顯著提高了輸出跟蹤輸入的效率。采用AEFTF構造出的加速型工程最速比例-積分（Acceleration Engineering Fastest Proportional-Integral，AEFPI）[26]控制器，代表了一種新型工業反饋控制技術，相對于PID、PI，AEFPI在提高反饋控制性能上有實質性進步。現通過數學計算分析AEFPI的控制特性，給出AEFPI在提高反饋控制性能上實質性進步的理論依據，并通過仿真實驗和實際應用進一步驗證AEFPI的先進性。

文中變量、參數、函數的表達均是唯一的。為了表述簡潔，如無特別說明，時間、時間常數的單位是s，加速度的單位是s-2，頻率ω的單位是rad/s，相位、相位穩定裕度的單位是（°），比例增益無量綱，階次無量綱，常用對數20lg的單位為dB。

1? 直角三角窗函數濾波

2021年，工程研究人員在火電機組控制實踐中，發明了一種加速型最速跟蹤濾波器（Acceleration Fastest Tracking Filter，AFTF）[27]，就是在給定時間常數內AFTF輸出加速跟蹤到輸入。

機理上，AFTF是一種直角三角窗（Right Triangle Window，RTW）函數濾波[28]，RTW在目前的窗函數濾波中沒有出現過，是一種原始創新。RTW的拉普拉斯函數表達式為：

（1）

其中，fRTW（s）為RTW的傳遞函數，TW為窗口時間長度。

輸入單位階躍，在TW=10 s得到的RTW過程輸出PVRTW（t），如圖1所示。

時間t/s

圖1? RTW過程輸出特性示意圖

對RTW進行2倍增益、常數為TW的積分，得到的AFTF傳遞函數fAFTF（s）計算式為：

（2）

其中，TAFTF為AFTF時間常數。

輸入單位階躍，得到的AFTF輸出為：

（3）

其中，PVAFTF（t）為AFTF在單位階躍信號輸入的過程輸出，aAFTF為AFTF跟蹤輸出加速度。

設置TAFTF=10 s，輸入單位階躍信號，獲得AFTF的過程輸出，如圖2所示。

時間t/s

圖2? AFTF的過程輸出特性示意圖

由圖2可知，在t≤10 s時，PVAFTF（t）以aAFTF跟蹤輸入；在t＞10 s，PVAFTF（t）跟蹤到輸入。

在實踐中發現，采用直角三角窗（RTW）函數濾波即AFTF直接構造出的新型反饋控制器，存在累計誤差，需要完成AFTF的工程化。

2? 加速型最速跟蹤濾波器的工程化

文獻[26]完成了加速型最速跟蹤濾波器AFTF的工程化，得到AEFTF，采用AEFTF構造出的AEFPI有效解決了上述累計誤差問題。但文獻[26]給出的AFTF工程化方法不夠嚴謹，現對此問題進行修正。

首先將AFTF在單位階躍輸入的過程輸出PVAFTF（t）近似為1～n階純滯后環節相加，得到的近似AFTF（Approximations Acceleration Fastest Tracking Filter，AAFTF）為：

（4）

其中，fAAFTF（s）為AAFTF的傳遞函數，τ為純滯后時間常數，l和i均為自然數。

在AAFTF的基礎上，采用1～n階慣性濾波器替換AAFTF中的1～n階純滯后環節，得到AEFTF的傳遞函數fAEFTF（s）為：

（5）

其中，TAEFTF為AEFTF時間常數。

1～n階慣性濾波器具有自平衡能力，用于AFTF工程化不存在發散的問題。

從工程的角度，出于實際需要，對AEFTF進行變化是可能的。AEFTF分離為A型濾波器（A Type Filter，ATF）和B型濾波器（B Type Filter，BTF）：

（6）

其中，fATF（s）為ATF的傳遞函數，fBTF（s）為BTF的傳遞函數。

輸入單位階躍，在n=16、TAEFTF=10 s，得到的ATF過程輸出PVATF（t）和BTF過程輸出PVBTF（t）如圖3所示。

時間t/s

圖3? ATF、BTF的過程輸出特性示意圖

在n=16、TAEFTF=10 s，得到的ATF幅頻增益特性GATF（ω）和BTF幅頻增益特性GBTF（ω）如圖4所示。

頻率ω/rad·s-1

圖4? ATF、BTF幅頻增益特性示意圖

ATF、BTF同屬于AEFTF范疇，根據應用角度的不同，AEFTF、ATF、BTF可單獨選擇。相對而言，ATF高頻幅頻衰減特性為-20 dB/10倍頻程，輸出跟蹤輸入特性較好，適合用于新型反饋控制器構造；BTF高頻幅頻衰減特性為-40 dB/10倍頻程，高頻衰減特性較好，適合用于信號濾波。

文獻[26]實際上是將ATF用于構造AEFPI，便于傳承，如無特別說明，AEFTF均指ATF。

3? 濾波器性能仿真比較

現將加速型工程最速跟蹤濾波器與FOIF進行性能對比。其中，FOIF的傳遞函數表達式為：

（7）

其中，TFOIF為FOIF的時間常數。

設置n=16、TAEFTF=TFOIF=10 s，輸入單位階躍信號，得到的AFTF、FOIF、AEFTF過程輸出PVAFTF（t）、PVFOIF（t）和PVAEFTF（t）如圖5所示。

時間t/s

圖5? AFTF、AEFTF、FOIF的過程輸出特性示意圖

根據圖5，在t=10 s得到PVAFTF（t）=1.0、PVAEFTF（t）=0.90、PVFOIF（t）=0.63；在t=22.9 s得到PVFOIF（t）=0.90。

在工程上，n值不可能無限大，取n=16已經能夠滿足實際需要，文中默認n=16。

輸入單位方波，在方波周期為100 s，TAEFTF=TFOIF=10 s，得到的AEFTF和FOIF輸出仿真結果如圖6所示，可見，相對FOIF，AEFTF輸出能夠較好地跟蹤方波。

時間t/s

圖6? 輸入方波的過程輸出特性示意圖

得出基本結論1：相對FOIF，AEFTF能夠顯著提高輸出跟蹤輸入的性能，即顯著減小濾波滯后。

文獻[26]指出，PID結構是基于FOIF構造的，FOIF代表的是一種典型的指數型跟蹤濾波機制。

基于上述性能比較結論，指出AEFTF代表了一種典型的最速型跟蹤濾波機制。

4? 濾波器頻域濾波特性計算

AEFTF、FOIF的頻率特性函數表達為：

（8）

其中，FAEFTF（jω）為AEFTF的頻域函數，GAEFTF（ω）為AEFTF的幅頻增益，PHAEFTF（ω）為AEFTF的相頻相位，ω為正弦頻率，FFOIF（jω）為FOIF的頻域函數，GFOIF（ω）為FOIF的幅頻增益，PHFOIF（ω）為FOIF的相頻相位。

在TAEFTF=TFOIF，當ω趨于無窮大，則GFOIF（ω）：GAEFTF（ω）=8.5，約18.69 dB。

在TAEFTF=TFOIF=10 s，得到的AEFTF、FOIF的幅頻增益和相頻相位如圖7、8所示。

頻率ω/rad·s-1

圖7? AEFTF、FOIF幅頻增益特性示意圖

頻率ω/rad·s-1

圖8? AEFTF、FIOF相頻相位特性示意圖

用ω-3dB表示GFOIF（ω）、GAEFTF（ω）衰減到-3 dB的頻率帶寬，用ω-20dB表示GFOIF（ω）、GAEFTF（ω）衰減到-20 dB的頻率帶寬，用ω-20dB：ω-3dB表示FOIF、AEFTF濾波RC。根據表1，AEFTF在-3 dB增益的頻率帶寬為FOIF的2.707倍，AEFTF的RC數值明顯小于FOIF，即AEFTF與理想濾波的接近程度明顯高于FOIF。在ω＞0.658 rad/s，AEFTF的幅頻增益衰減特性明顯高于FOIF，其中，在ω＞3 rad/s時，GFOIF（ω）：GAEFTF（ω）＞18 dB。在ω＜1.28 rad/s時，GAEFTF（ω）、PHAEFTF（ω）呈單調變化。

表1? FOIF、AEFTF濾波矩形系數

濾波器

ω-3dB

ω-20dB

RC

FOIF

0.100 0

0.994 9

9.949

AEFTF

0.270 7

0.658 4

2.432

AEFTF的重要特性還表現在：AEFTF的高頻幅頻衰減特性為-20 dB/10倍頻程，高頻相位趨于-90°，因此AEFTF的高頻特性趨于一階。

得出基本結論2：AEFTF的頻域濾波特性顯著優于FOIF。

AEFTF有多種重要用途，具體如下：

a. AEFTF的基本用途是過程信號的去噪濾波[25]，相對FOIF，AEFTF顯著提高了輸出跟蹤輸入的性能，即減小了濾波滯后。

b. 文獻[29]用AEFTF構造了一種加速型工程最速跟蹤微分器（Acceleration Engineering Fastest Tracking Differentiator，AEFTD），能夠顯著提高跟蹤微分的性能。

c. 文獻[26]用AEFTF構造了一種加速型工程最速積分器（Acceleration Engineering Fastest Integrator，AEFI），顯著提高了跟蹤常值擾動的效率。

d. AEFTF的高頻特性趨于一階是一個有價值的特性，將AEFTF反轉，用于構造新型超前觀測器（Novel Ahead Observer，NAO），在NAO輸出降階或濾波處理上相對簡單。

5? 加速型工程最速比例-積分控制器與最優比例-積分控制器的性能比較

5.1? 控制器結構

PI控制器屬于PID的范疇，在控制工程實踐中，大量運用的是PI控制器，原因是PI控制器僅有2個參數，用法更簡單。PI結構基于FOIF構造，出于對比的需要，采用串級PI結構。在串級PI結構基礎上，采用AEFTF取代FOIF，得到AEFPI。其中，PI結構如圖9所示，AEFPI結構如圖10所示。

圖9? PI控制器結構示意圖

圖10? AEFPI結構示意圖

PI控制器表達為：

（9）

其中，fPI（s）為PI的傳遞函數，KP為串級比例增益，TI為積分時間常數。

AEFPI表達為：

（10）

其中，fAEFPI（s）為AEFPI的傳遞函數，KAEFPI串級比例增益，fAEFI（s）為AEFI的傳遞函數，TAEFI為AEFI的時間常數。

5.2? 性能計算

衡量AEFI的性能需要有參考對象，在積分常數相同時，采用AEFI與CI的相對零頻率增益（Relative Zero Frequency Gain，RZFG）來衡量AEFI跟蹤常值的效率。CI、AEFI頻域函數為：

（11）

其中，FAEFI（jω）為AEFI的頻域函數，FCI（jω）為CI的頻域函數。

當ω趨于0時，AEFI的頻域函數為：

（12）

其中，RZFGAEFI：CI為AEFI相對CI的RZFG。

根據式（12），在TAEFI=TI，當ω趨于0，AEFI的零頻率增益是CI的1.4545倍。

出于對比的目的，定義仿真控制系統（Simulate Control System，SCS），如圖11所示，其中，反饋控制器（Feedback Controller，FC）具體為PI、AEFPI，外擾通過耦合模型（Coupling Model，CM）直接耦合到控制過程（Control Process，CP）的輸出端即過程輸出中。外擾采用斜坡函數（Ramp Function，RF），RF速率為1 000 s，RF長度為2 000 s。

圖11? 仿真控制系統示意圖

定義CP和CM為：

（13）

其中，fCP（s）為CP的傳遞函數，fCM（s）為CM的傳遞函數。

PI、AEFPI開環系統（Open Loop System，OLS）的頻域函數為：

（14）

其中，FAEFPI：OLS（jω）為AEFPI開環系統頻域函數，FAEFPI（jω）為AEFPI的頻域函數，FCP（jω）為CP的頻域函數，GAEFPI：OLS（ω）、PHAEFPI：OLS（ω）為AEFPI開環系統幅頻增益、相頻相位，PMAEFPI：OLS為AEFPI開環系統的相位穩定裕度，AMAEFPI：OLS為AEFPI開環系統的幅值穩定裕度；FPI：OLS（jω）為PI開環系統頻域函數，FPI（jω）為PI的頻域函數，GPI：OLS（ω）、PHPI：OLS（ω）為PI開環系統幅頻增益、相頻相位，PMPI：OLS為PI開環系統的相位穩定裕度，AMPI：OLS為PI開環系統的幅值穩定裕度。

在臨界穩定，即PMAEFPI：OLS=PMPI：OLS=0°、AMAEFPI：OLS=AMPI：OLS=0 dB時，得到的AEFPI、PI臨界穩定參數搜索結果如圖12所示。

圖12? AEFPI、PI臨界穩定參數搜索結果

根據圖12，在KP=1.736，得到TI：KP最低值為50.17 s，所對應的參數為PI最高性能參數，即KP=1.736、TI=87.1s，簡稱為A組PI參數；在KAEFPI=4.913，得到TAEFI：KAEFPI最低值為44.18 s，所對應的參數為AEFPI最高性能參數，即KAEFPI=4.913、TAEFI=217.1 s，簡稱為A組AEFPI參數。

根據A組PI參數、A組AEFPI參數，得到的GPI：OLS（ω）、GAEFPI：OLS（ω）特性如圖13所示。

頻率ω/rad·s-1

圖13? AEFPI、PI開環系統幅頻特性示意圖

A組AEFPI參數、A組PI參數代表了AEFPI、PI的最高反饋控制性能，已經無法再超越了。根據圖13，在給出的ω范圍，GAEFPI：OLS（ω）高出GPI：OLS（ω）至少3.73 dB以上（即1.53倍以上），這是AEFPI相對PI能夠顯著提高反饋控制性能的理論依據。

實際控制系統需要有一定的穩定裕度，筆者將開環系統幅頻增益、相頻相位用于獲取AEFPI、PI參數，給出的參數搜索條件是：對AEFPI、PI參數，在PHAEFPI：OLS（ω）=-135°時滿足GAEFPI：OLS（ω）=0.5、在

PHPI：OLS（ω）=-135°時滿足時GPI：OLS（ω）=0.5，如圖14所示。這種參數搜優點在于擁有良好的魯棒性，如在控制過程失配，以及控制過程增益增加2倍情況下，仍然能保證開環系統相位穩定裕度在45°。

頻率ω/rad·s-1

圖14? 參數搜索條件示意圖

根據圖14，得到的AEFPI、PI參數搜索結果如圖15所示。

圖15? AEFPI、PI參數搜索結果

根據圖15，在KP=0.535，得到TI：KP最低值為248.78 s，得到B組PI參數為KP=0.535、TI=133.1s；在KAEFPI=1.296，得到TAEFI：KAEFPI最低值為241.58 s，得到B組AEFPI參數為KAEFPI=1.296、TAEFI=313.1s。

將B組PI參數、B組AEFPI參數用于仿真，過程給定為單位階躍，在t＞3000 s加入RF，得到的PI控制的過程輸出PVPI（t）、AEFPI控制的過程輸出PVAEFPI（t）的仿真結果如圖16所示。

時間t/s

圖16? PI、AEFP控制過程輸出示意圖

根據圖16，得到的AEFPI、PI控制主要性能指標見表2（在工程上，調節時間是指過程進入到小于5%偏差的時間）。

表2? AEFPI、PI控制的主要性能指標

控制方法

第1峰值

第2峰值

過程超調

調節時間/s

PI

1.000

1.0

0.000

501

AEFPI

1.049

1.0

0.049

264

AEFPI控制過程略有超調，因為比例控制量大于1，即KAEFPI=1.296。AEFPI控制過程略有超調是AEFPI固有特性決定的。某些系統不允許出現超調，在過程給定端增加一個FOIF即可解決超調問題。其中，在TFOIF=100 s得到的仿真結果如圖16所示。

需要指出，對于恒值控制（即設定值固定），過程超調沒有意義，在火電機組過程控制中，有約占70%的控制回路屬于恒值控制。

根據圖16，得到的AEFPI和PI抑制外擾主要性能指標見表3。

表3? AEFPI、PI抑制外擾的主要性能指標

序號

控制方法

RF最大偏差

1

PI

0.248

2

AEFPI

0.151

火電機組過程控制主要是看直觀的性能指標，RF最大偏差就是一種直觀的性能指標。用RF期間的最大偏差衡量AEFPI、PI的外擾抑制性能，相對PI，AEFPI提高了64.2%，說明AEFPI的外擾抑制性能明顯高于PI。

根據給出的數學計算比較及仿真結果，得出基本結論3：采用AEFTF構造的AEFPI在提高反饋控制性能上有實質性進步。

6? 在難控工程的應用效果驗證

首先需要指出AEFPI參數整定的問題，之前的PI、AEFPI參數整定采用了數學最優法。在實際工程中，數學最優法難以采用。現實中，PID參數多用湊試法。

在AEFPI參數整定上，文獻[25]提出基于ZN[30]模型（Ziegler-Nichols Model，ZNM）的工程法，簡稱ZNM參數整定法。ZNM表達為：

（15）

其中，fZNM（s）為ZNM的傳遞函數，KZN為增益，TZN為時間常數，τZN為滯后常數。

ZNM代表一種過程的工程建模，即建立過程的ZNM。

將ZNM法用于AEFPI參數整定：

（16）

將AEFPI運用于某330 MW供熱火電機組的供熱蒸汽溫度控制的商業技改項目，該系統設計額定參數如下：：

蒸汽壓力? 3.95 MPa

蒸汽溫度? 415 ℃

蒸汽流量? 195 t/h

實際蒸汽流量長期在50 t/h以下，蒸汽流量變化范圍在15～50 t/h。系統設計為PI控制，長期無法投入汽溫自動控制。通過現場試驗，得到該系統的近似ZNM為：

（17）

其中，fZNM：15（s）為蒸汽流量在15 t/h時的過程模型，fZNM：45（s）為蒸汽流量在45 t/h時的過程模型。簡單地認為，蒸汽流量越低，過程純滯后也越大。

由式（17）可知，在低蒸汽流量工況下，過程模型的時變性較大，特別是純滯后的比例較大，屬于典型的難控過程。

將AEFPI運用于所述供熱蒸汽溫度控制，如圖17所示。圖中修正函數[31]用于在不同的供熱蒸汽流量下修正AEFPI的參數，目的是對過程的時變問題有較好的跟蹤特性。實際系統還包括一些前饋控制[24]。簡單說，根據在現場的試驗結果，將在高、中、低蒸汽流量下得到的過程特性擬合出一個TAEFI和KAEFPI的修正函數，然后根據實際蒸汽流量，對AEFPI的TAEFI和KAEFPI參數進行修正。其中，在蒸汽流量45 t/h的AEFPI參數，KAEFPI=0.73、TAEFI=266 s。

圖17? 供熱蒸汽溫度控制示意圖

在蒸汽流量38 t/h，將供熱蒸汽溫度給定值提高10 ℃，得到的過程控制特性如圖18所示，可以看出，采用AEFPI，對所述供熱蒸汽溫度具有較好的控制特性。

圖18? 供熱蒸汽溫度控制特性示意圖

長期投用AEFPI的結果表明，AEFPI能夠有效抑制擾動，并且減溫水調節閥指令輸出平穩。因采用AEFPI優化之前已經指出系統設計為PI控制，長期無法投入汽溫自動控制，因此沒有與PI控制進行對比。

7? 結論及展望

針對加速型工程最速比例-積分控制器如何提高反饋控制性能且有實質性進步的本質機理進行了探索，得出如下結論：

a. 揭示出了構造加速型工程最速比例-積分控制器的背后實際上是一種窗函數濾波中從未出現過的直角三角窗函數濾波；

b. 給出了加速型工程最速跟蹤濾波器性能優于一階慣性濾波器、加速型工程最速比例-積分控制器性能優于最優比例-積分控制器的理論依據；

c. 驗證了相比于PI控制，基于最速濾波機制構造的最速控制器，在難控過程的適用性、有效性和先進性。

控制科學是試驗科學，技術先于理論。自2018年以來，工程研究人員在火電機組控制工程實踐中，經過艱辛的探索和無數次反復試驗，先后發明了工程最速濾波器（EFTF）、工程最速控制器（EFC）[25]；加速型工程最速濾波器（AEFTF）、加速型工程最速控制器（AEFPI）[26]，并非通過理論研究或者數學推導得出的，該技術已在某省火電機組中大規模成功應用[25]。

在工控領域，EFC、AEFPI的出現代表了新的控制機制的誕生，是對瓦特原理、PID指數型控制機制的繼承和發展，本文給出的理論依據證實了AEFPI在提高反饋控制性能上的實質性進步，完成了從PID的指數型控制機制到工程最速控制機制的過渡，是對控制科學發展的重大貢獻。

最速控制原理的揭示，是豐富控制理論和控制科學發展的必然要求，筆者拋磚引玉，最速控制原理仍需進一步探索，期待更多學者參與研究，挖掘出更多更實用的研究成果，為控制理論和控制科學的發展與應用做出應有的貢獻。

謹以此文，獻給以李軍為代表的EFC、AEFPI發明團隊，向為工業過程控制做出重大里程碑成果的工程師致敬。

參? 考? 文? 獻

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（收稿日期：2023-06-07，修回日期：2023-10-19）