城市公交網絡的有限時間平衡性問題

張春梅,李 冉,陽 惠

(西南交通大學 數學學院,四川 成都 610031)

0 引 言

復雜網絡大量存在生活中,如電力網絡、交通網絡、 社交網絡等[1-3]。并且其在自然科學中也具有廣泛的應用[4-6]。而同步是復雜網絡中的普遍現象,在近幾十年中,大量學者在其相關領域的同步性研究中做出了重要貢獻,尤其在交通領域。文獻[7]研究了復雜網絡的同步問題及其在交通領域的應用。文獻[8-11]研究了多權值復雜公交網絡的同步問題,并對復雜公交網絡動態特征做了一定研究。文獻[12]針對公交網絡的拓撲結構進行分析,得到公交網絡是具備小世界網絡特征的復雜網絡的結論。

上述研究的城市公交網絡同步的時間是不確定的,因此其控制成本較大且無法估計同步的時間。而有限時間的城市公交網絡同步,可以很好地估計出同步的時間,更有實用價值。目前關于城市公交網絡的有限時間平衡問題的研究結果還很少。而有限時間平衡作為城市公交網絡的一個重要特征,其對于城市公交網絡的平衡運行以及整個城市交通系統的正常運行都具有重要意義。因此很有必要研究城市公交網絡有限時間平衡問題。

在城市公交網絡中,交通事故、環境、噪聲等隨機因素干擾不可避免地存在,而且這些隨機干擾會影響城市公交網絡的平衡運行。同時,公交車在行駛過程中要求司機對各種狀況做出正確的反應,這必然存在時間的延遲。因此將隨機擾動和時間延遲考慮在城市公交網絡中可以使得模型更貼近實際。

借助復雜網絡有限時間控制策略、穩定性理論和圖論方法[13-16],研究城市公交網絡的有限時間平衡問題。主要結論如下:第一以公交線路為網絡節點,采用R空間建模方法,借助驅動-響應系統概念,建立城市公交網絡模型;第二基于圖論中的基爾霍夫矩陣樹定理,間接構建全局李雅普諾夫函數,使得驅動-響應系統在有限時間內達到同步;第三通過合理的交通調度(調節控制器的可變參數)使得受到隨機擾動的城市公交網絡(公共汽車交通網絡)與理想狀態下平衡運行的城市公交網絡在有限時間內達到同步(運行狀態達到一致),并給出了同步的具體時間。即受到隨機干擾的城市公交網絡能在有限時間內恢復平衡運行。

1 模型構建和預備知識

1.1 符號介紹及相關定義

dx(t)=f(t,x(t),x(t-τ))dt+g(t,x(t)

x(t-τ))d(t)

(1)

式中:時滯τ是正數;(t)表示一維標準布朗運動;函數f,g:R+×Rn×Rn→Rn均滿足局部利普希茨條件和線性增長條件[16]。

1.2 模型描述

筆者采用R空間建模方法,以公交線路(例如1路、 2路)為網絡節點,若兩條公交線路上有相同的停靠站,則節點之間連接有向的邊,建立城市公交網絡模型。在實際生活中,司機反應時間會導致信息傳輸的延遲,因此需要將時滯考慮到頂點中。每個頂點(每條公交線路)的動力學行為可以表示為:

(2)

式中:xh=(xh1,xh2,…,xhn)T∈Rn為第h條公交線路的狀態向量;τ為公交線路上司機反應,交通擁堵等導致的信息傳輸延遲的時間,fh(t,xh(t),xh(t-τ)):R+×Rn×Rn→Rn為非線性連續函數(表示第h條公交線路的動力學行為),對于每一個頂點h,f是連續可微的。M={1,2,…,M}。

另外,以公交線路為網絡節點,不同公交線路所連的邊上可以考慮線路長度、擁擠度、換乘系數等多種影響公交線路運行的因素。從而,可以將城市公交網絡看作是 一個多權值的復雜網絡,筆者將其抽象成一個加權有向圖 (G,B)。其中,有向圖G帶有M個頂點和q種權重(M個頂點表示M條公交線路,q種權重表示影響公交線路運行的q種因素)。借助驅動-響應系統的概念,驅動系統表示理想狀態下每條公交線路構成的平衡運行的耦合系統,表達為:

(3)

在現實情況下,一些隨機因素(交通擁堵、交通事故等)對驅動系統(理想狀態下公交線路構成的耦合系統)造成一定的影響(例如車輛大量聚集),使其不能夠平衡運行。因此,希望通過合適的交通調度,使得受到隨機擾動后實際運行的城市公交網絡和理想狀態下的城市公交網絡運行狀態達到一致。對于驅動系統(3),將考慮了隨機擾動和交通調控的系統作為響應系統,則其表達式為:

gh(t,xh(t),xh(t-τ))]d(t)

(4)

式中:yh(t)=(yh1,yh2,…,yhn)T∈Rn為第h條公交線路的實際狀態向量;gh(t,yh(t),yh(t-τ))-gh(t,xh(t),xh(t-τ))為第h條公交線路的隨機影響因素的強度函數;uh(t)為第h條公交線路上時變的交通調度。

令:eh(t)=yh(t)-xh(t)

eh(t-τ)=yh(t-τ)-xh(t-τ),h∈M

基于驅動-響應系統(3)和系統(4)可以得到誤差系統為:

deh(t)=[fh(t,yh(t),yh(t-τ))-

uh(t)]dt+[gh(t,yh(t),yh(t-τ))-

gh(t,xh(t),xh(t-τ))]d(t),h∈M

(5)

因此,驅動系統和響應系統的同步等價于誤差系統零解的穩定性。筆者的主要工作就是通過合適的交通調度,使得考慮時滯、多權值、隨機干擾等實際運行的城市公交網絡能夠在有限時間內恢復平衡運行這樣不僅可以快速緩解交通系統的壓力,而且可以節約人力、物力的消耗。

對于誤差系統的第h個方程,用一個微分算子L作用在Vh∈C1,2(R+×Rn;R+)有:

(6)

定義1：如果:

則稱驅動系統(3)與響應系統(4)實現同步。

2 主要結果

首先構造單個頂點的李雅普諾夫函數,然后結合基爾霍夫矩陣樹定理,間接得到整個城市公交網絡的全局李雅普諾夫函數。基于圖論知識、有限時間控制策略、穩定性理論以及隨機分析的理論,使得驅動-響應系統在有限時間內達到同步。為了完成定理的證明,首先介紹如下假設和定義。

假設A1:對于h∈M,存在非負常數sh和lh使得:

|gh(t,yh,xh)-gh(t,vh,uh)|≤

sh|xh-uh|+lh|yh-vh|,t∈R+,xh,yh,uh,vh∈Rn

假設A2:對于h∈M,存在非負常數ch和dh使得:|fh(t,yh,xh)-fh(t,vh,uh)|≤ch|xh-uh|+dh|yh-vh|,t∈R+,xh,yh,uh,vh∈Rn

引理1：對于誤差系統,如果存在一個正定二次 連續可微的徑向無界李雅普諾夫函數V:R+×RnM→R+,使得:LV≤-ηVρ(e)。其中常數η>0,0<ρ<1,則系統的平凡解全局有限時間吸引,且E(T0(e0,ω))≤V1-ρ(e0)/(η(1-ρ)),同時T0(e0,ω)<∞,a.s. 為了方便,用:

表示加權矩陣。

(7)

式中:0<θ<1;R和G是足夠大的正數。

證明第1步:構建單個頂點的李雅普諾夫函數:

(8)

gh(t,xh(t),xh(t-τ))]T×[gh(t,yh(t),yh(t-τ))-

(9)

結合圖論知識間接構建全局的李雅普諾夫函數為:

(10)

式中:γh為(G,(Dhk)M×M)的拉普拉斯矩陣的第h個對角元素的余子式。

通過計算可以得到:

(11)

通過使用文獻[13]的基爾霍夫矩陣樹定理,可以得到:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

由引理1可以得到誤差系統的平凡解是全局隨機有限時間吸引的,并且:

在文獻[7-11]中,研究了多權值復雜網絡的同步及其在公共交通領域的應用問題值得注意的是筆者的研究與文獻[7-11]有許多不同之處。第一不同于文獻[9-11],筆者可以估計出同步的時間,借助于復雜網絡的有限時間同步,來研究城市公交網絡的有限時間平衡問題,使得城市公交網絡有限時間內實現平衡;第二將白噪聲考慮到了城市公交網絡,可以很好地描述城市公交網絡中的隨機干擾,例如由于車流量過大造成的交通擁堵等,使得模型更貼近實際;第三筆者的方法與文獻[7-11]不同,筆者借助圖論中的基爾霍夫矩陣樹定理,間接構建全局李雅普諾夫函數,有效避免了直接構建全局李雅普諾夫函數的困難。

3 數值算例

城市公交網絡作為典型的復雜網絡,通過對其分析,可以得出城市公交網絡具備NW小世界網絡的特征。因為Chua系統是一個經典的帶時滯的混沌系統,可以很好地刻畫時滯對系統的影響,所以文中的頂點系統采用Chua系統。首先,考慮一個由20個頂點和兩種權值構成的帶時滯的隨機城市公交網絡,其中頂點表示公交線路,那么理想狀態下運行的耦合公交線路可以表示為:

(17)

式中:xh=(xh1,xh2,xh3)T是三維的狀態向量,代表第h條公交線路的運行狀態,其初值是隨機產生的:

fh(xh(t),xh(t-τ),t)=Cxh(t)+a1(xh(t))+a2(xh(t-τ))

其中:a1(xh(t))=(-0.5α(m1-m2)×(|xh1(t)+1|-|xh2(t)-1)|,0,0)T,

a2(xh(t-τ))=(0,0,-βνsin(?xh1(t-τ)))T,

C=(C1,C2,C3)T,C1=(-α(1+m2),α,0),

C2=(1,-1,1),C3=(0,-β,-ω),α=10,β=19.53,

ω=0.1636,m1=-1.432 5,m2=0.783 1,ν=0.5,

在系統(17)基礎上,將考慮了隨機擾動和合適的控制器的系統作為響應系統,其刻畫了實際中運行的耦合公交線路,表達式為:

τ))-gh(t,xh(t),xh(t-τ))]d(t),h=1,2,…20

(18)

式中:yh(t)為三維的狀態向量,代表第h條公交線路的運行狀態,其初值是隨機選取的。

因此假設A2是滿足的,Γ1,Γ2是不同公交線路的內部耦合矩陣,其取值為:

控制器的表達為:

(19)

式中:R=0.02,G=0.2,θ=0.05。

圖1是城市公交網絡的拓撲結構,將客流量和線路長度作為兩種權值的子圖分別呈現在圖1。

圖1 城市公交網絡

圖2表示的是系統(17)和系統(18)的誤差,從圖2中可以很明顯地看出,在t=1之后,誤差系統的值趨于0(誤差系統達到平衡),進一步驗證了考慮隨機擾動和時變的交通調度,實際運行的城市公交網絡與理想狀態下(平衡運行)的城市公交網絡在有限時間內運行狀態達到一致。

圖2 系統(17)和系統(18)的同步誤差, 其中τ= 0.02

4 結 論

借助復雜網絡的知識,采用空間建模方法,將城市公交網絡抽象為多權值的隨機復雜網絡模型。使用圖論方法,間接構建全局李雅普諾夫函數,結合有限時間控制策略、穩定性理論以及隨機分析的理論,借助復雜網絡同步的概念,研究城市公交網絡的有限時間平衡問題。即在實際運行的城市公交網絡中考慮隨機擾動(影響公交線路正常運行的隨機因素)和合適的控制器(交通調度),通過交通調度,使得受到隨機擾動后實際運行的城市公交網絡,在有限時間內能與理想狀態下的城市公交網絡運行狀態達到一致,即實際運行的城市公交網絡實現平衡,進而公交車運行時的延誤時間和乘客在公交線路上公交停靠站的等待時間均達到最短,最后通過數值算例驗證了筆者所提出理論的可行性。

筆者只對影響公交線路運行的多種影響因素(多權值)做定性分析,沒有考慮時變的多權值。在未來,將會嘗試研究時變多權值下城市公交網絡的有限時間平衡問題;另一方面,筆者研究的是合適地控制下城市公交網絡的有限時間平衡問題,而周期間歇控制可以節約成本,節省人力物力的消耗,因此筆者也會嘗試做周期間歇控制下的城市公交網絡的有限時間平衡問題。