加速非定常影響下跨介質飛行器終端滑模控制

張梓晨，榮思遠，王小剛，白瑜亮，崔乃剛

（哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150001）

0 引言

隨著跨介質飛行器的發展及各國之間的競爭愈演愈烈，對飛行器速度提出了更高需求。超空泡技術能夠使得跨介質飛行器入水過程的阻力極大降低，引起了國內外學者的廣泛關注。由于部分被空泡包裹，高速跨介質飛行器所受到的流體動力與傳統的飛行器有極大的差別，空泡與飛行器間的復雜耦合關系、浮力大幅減小、非光滑非連續尾拍力等的存在使得跨介質飛行器具有強時變、強非線性的特點，給其控制系統設計帶來了極大挑戰［1］。

目前國內外有關超空泡問題的研究大都針對其巡航階段。Dzielski等［2］建立了超空泡航行體的基準數學模型，并設計了線性反饋控制律。文獻［3］針對超空泡航行體的分叉行為進行了分析，研究了系統穩定性與空化數相關的分叉行為，并設計了動態線性反饋控制律。Mao 等［4-5］針對尾舵沾濕率不確定性問題開展了研究，基于超空泡航行體的時滯模型，設計了魯棒自適應反演控制器。文獻［6］建立了超空泡航行體的串級系統，采用反步控制方法，設計了具有抗擾特性的H∞魯棒控制器。張成舉等［7］針對超空泡航行體運動過程中環境噪聲和測量噪聲帶來的不利影響，提出一種基于無跡卡爾曼濾波器的最優控制算法。文獻［8］通過分析滑行力的時滯特性，基于超空泡航行體的線性參數變化時滯模型，設計了一種基于時滯特性的預測控制器。文獻［9］中針對超空泡航行體巡航段深度控制問題，設計了分數階滑模控制器，提高了收斂速度，同時確保系統平滑收斂。文獻［10］提出了一種基于擾動觀測器的邊界滑模控制方法，通過估計非線性滑行力的邊界以降低滑模控制器的開關增益。Wang 等［11］針對具有不確定性的超空泡航行體系統，設計了一種基于RBF 擾動觀測器的自適應滑模控制策略，通過RBF 神經網絡權值更新策略實現了對擾動的準確估計，保證了軌跡跟蹤誤差的收斂。

部分學者也針對非全包裹階段以及加速過程開展了相關研究。文獻［12］中對于非全包裹超空泡航行體的控制系統進行了深入研究，針對尾部壓差經驗值效率不確定問題，設計了自適應反演變結構控制器。Kim等［13］針對通氣超空泡航行體加速段流體動力特性進行了研究，并耦合考慮通氣率與空化數之間的關系進行了仿真分析。文獻［14］針對超空泡航行體加速段控制問題，提出了一種基于神經網絡的自適應控制方法，實現了具有系統不確定性條件下的深度跟蹤控制。

終端滑模控制方法（Terminal sliding mode control，TSMC）是一種能夠實現有限時間穩定性的滑模控制方法，該控制方法通過調節分數冪，提高了在平衡點的收斂速度，實現了誤差信號的快速收斂，在各類控制問題中得到了廣泛應用［15-18］。Wu 等［19］針對一類二階非線性系統，設計了一種非奇異終端滑模控制方法（Non-singular terminal sliding mode control，NTSMC），通過一個特定的基于小增益的不連續控制項保證了系統收斂，且對抖振有較好的抑制效果。文獻［20］針對吸氣式高超聲速飛行器的控制問題，提出了一種自適應終端滑模控制算法，通過將自身狀態的放縮引入到高階滑模算法中，提高了系統響應速度。

空泡攝動、建模不確定性以及外界擾動的影響給跨介質飛行器控制系統設計帶來了很大的挑戰，目前研究中，針對這些復雜干擾一般采用擾動觀測器的方法進行處理［21-23］，即通過反饋的狀態量信息，對其導數信息進行求取，耦合考慮所建立的系統狀態方程，得到對擾動的精確估計，并在控制系統中進行反饋，以提高系統控制精度和魯棒性。在文獻［24］中，針對一類非線性不確定系統，構造了一種多變量線性擴張狀態觀測器，并采用頻域分析方法剖析了不確定動態估計的收斂性。Ali 等［25］設計了一種基于比例積分速度變量的三階快速有限時間擴張狀態觀測器（Finite-time extended state observer，FTESO）來估計系統的集總擾動，并證明了觀測器的有限時間一致有界性。Michael 等［26-27］利用基于非遞歸和遞歸算法的高階滑模（High order sliding mode，HOSM）觀測器，討論了觀測器的有限時間收斂特性。

綜合上述文獻可知，目前有關跨介質飛行器巡航段的控制研究很多，但均未考慮加速非定常流體動力的影響。本文重點針對擾動作用下的含有加速非定常影響的跨介質飛行器控制問題進行研究。首先設計空泡通氣規律，得到空泡演化模型，進而計算飛行器沾濕區域流體動力，得到加速段數學模型。基于誤差模型設計有限時間收斂狀態觀測器，對系統的集總擾動進行觀測補償，并設計非奇異快速收斂終端滑模面，結合高階滑模趨近律完成控制器設計。基于Lyapunov 理論證明控制系統的穩定性，最后通過數學仿真驗證控制系統的魯棒性和控制精度。

1 跨介質飛行器加速段縱向數學模型

1.1 飛行器受力分析

本文主要針對跨介質飛行器從全濕流狀態至完全被空泡包裹的超空泡狀態的加速階段的縱向平面運動進行控制器設計，在進行受力分析及推導動力學模型前，先進行如下基本假設。

1）跨介質飛行器為理想剛體且質量與質心位置保持恒定，在運動過程中不產生變化；

2）跨介質飛行器為對稱回轉體，本文僅考慮其在縱平面受力及運動的影響，假設無橫滾，無側向受力，且偏航角及角速度、橫滾角及角速度、側滑角等參數在飛行器運動過程中均保持為零。

跨介質飛行器的配置如圖1 所示，前端為圓盤空化器，用于誘導產生空泡并提供升力和控制力，飛行器主體部分為錐柱結合的對稱回轉體，尾部有4片尾舵進行控制。

圖1 跨介質飛行器受力示意圖Fig.1 Forces on the trans-media aircraft

跨介質飛行器在運動過程中所受流體動力很大程度上受到空泡形態的影響，當飛行器速度較低時，空泡僅將飛行器部分包裹，大部分處于沾濕狀態，如圖1中虛線所示。此時飛行器受到空化器作用力、尾舵作用力、重力、沿體軸方向的推力以及沾濕部分流體動力的影響。當飛行器加速至一定速度時，空泡將飛行器全部包裹，如圖1中實線所示，此時飛行器受到空化器作用力、尾舵作用力、重力、推力以及因尾部穿出空泡而受到的滑行力的影響。

針對飛行器受到的各種力的作用，在彈體系下進行建模，彈體坐標系原點在空化器中心，ObXb軸沿飛行器縱軸方向指向前方，ObYb軸與ObXb軸垂直，當飛行器在地面正常放置時指向上方。

1.2 各部分流體動力計算

1.2.1 空化器和尾舵作用力

本文中，圓盤空化器的受力方式如圖2所示，其受力可分解為升力和阻力，計算方式如下。

圖2 空化器受力Fig.2 Forces on the cavitator

式中：ρ為水的密度；V為跨介質飛行器速度；Cx0為零空化數下阻力系數，通常取Cx0=0.82；Rn為空化器半徑為空化器攻角；σ為空化數，為空泡形態方程的特征參數，其表達式為

式中：p∞=-ρgye為飛行器當前深度水的靜壓；pc為水的飽和蒸汽壓，常溫下取pc=3 540 Pa。

通過在體軸進行分解，空化器在沿體軸ObXb方向上的受力可寫為

同理可知在體軸ObYb方向上的力為

尾舵可看做一種特殊楔形的空化器，根據空化器作用力，可給出尾舵作用力為

式中：n為尾舵與空化器相似系數，一般取n=0.5；為尾舵處攻角；δf為尾舵舵偏角；I(t)為尾舵沾濕率，用于表征尾舵被空泡包裹后的控制效率，當空泡形態變化時，尾舵沾濕率也隨之變化。不同空泡形態下尾舵沾濕示意圖如圖3所示。

圖3 尾舵沾濕示意圖Fig.3 Scheme of fin immersion

考慮幾何關系，尾舵沾濕率的計算方式如下：

式中：r0為尾舵沾濕長度；rs為尾舵長度；Rc為尾舵處空泡半徑。

1.2.2 沾濕部分作用力

沾濕部分作用力由浮力FB以及沾濕部分流體動力Fh組成，其受力示意圖如圖4所示。

圖4 沾濕部分受力Fig.4 Forces on the wetting part

浮力大小與沾濕長度Lwet成正比，且浮力矩作用點為沾濕部分的中心，故浮力及力矩表達式為

沾濕部分除浮力外還會受到流體動力作用，其表達式為

式中：Chx，Chy分別為流體動力阻力和升力系數。

當跨介質飛行器加速至較高速度時，空泡將飛行器全部包裹，此時沾濕長度Lwet=0，不再受到浮力以及流體動力的影響。

1.2.3 尾部滑行力

尾部滑行力是由于飛行器尾部與穿出空泡壁產生的流體動力，根據Hassan 圓柱體滑行力計算公式，可知滑行力計算公式為

式中：h′為歸一化后飛行器尾部沾濕深度；αp為沾濕處攻角，其計算公式如下：

1.2.4 重力及推力

在本文中對模型進行簡化，不考慮燃料消耗對重力大小及質心位置的影響，將地面系下的重力在彈體系進行分解可得重力的表達式為

式中：g為重力加速度；xc為質心到空化器中心的距離。

推力簡化為沿體軸的常值推力，且其作用點在跨介質飛行器中心線上，即推力產生的力矩為零，其表達式為

結合運動學與動力學模型，可得最終跨介質飛行器的數學模型為

2 通氣規律設計及空泡形態分析

跨介質飛行器在加速運動過程中，空泡形態對其流體作用影響極大，為了使得空泡快速穩定膨脹，同時也為了削弱自然空化的不確定性，在跨介質飛行器運動過程中采用通氣的方式來使其穩定。

本節對跨介質飛行器加速段空泡形態開展分析，基于經典空泡模型，根據通氣空泡的不穩定性上界設計通氣規律，并進行仿真分析。

2.1 空泡形態方程

目前有關超空泡的研究中，通常假設空泡呈軸對稱的橢球形，且每個截面看作一個圓形，其形態如圖5所示。

圖5 空泡形態Fig.5 The shape of cavity

根據Logvinovich 空泡模型，可知在每個截面x處的空泡半徑Rc以及對應的為

式中：Rn為空化器半徑；Rk為空泡最大半徑；τ為修正系數，一般取τ=0.85。空泡輪廓在0 時刻半徑為Rn，經過t時間空泡半徑為Rc，空泡半徑變化率為，從0 時刻經過tk時間空化器移動到空泡半長，根據橢球形的形態假設，此時空泡具有最大半徑。

空泡最大半徑Rk和空泡的半長Lk為

2.2 通氣規律設計

考慮到自然空化的不穩定性，通過設計通氣規律可獲得一個適宜的通氣量變化規律，使得跨介質飛行器快速且穩定的達到超空泡包裹階段。

一般來說通氣量越大，空泡生長的速度越快，但相關試驗表明，當通氣流量大到一定值時，空泡的穩定性就會喪失，如圖6 所示，此時空泡成脈動狀，并周期性的發生氣體外泄。

圖6 通氣空泡的不穩定性Fig.6 Instability of ventilated cavity

研究表明，通氣空泡的不穩定性主要依賴于通氣空化數于自然空化數的比值：

式中：σv為自然空化數；σg為通氣空化數。

通氣空泡的σg通常小于σv，即β0≥1，隨著β0增大，通入空泡中彈性氣體的作用增加，當β0＞2.645 后，通氣空泡不穩定。故考慮通氣空泡的不穩定特性，設計通氣空化數為

式中：σc為所設計的理想空化數。

根據上述通氣規律以及空泡形態方程，對比分析自然空化和采用本文通氣規律下的空化數和飛行器沾濕長度變化，速度范圍V=30～100 m∕s，參考深度為水下4 m。

如圖7所示，在通氣條件下，空化數有了顯著的降低，根據空泡形態方程，其空泡形態更大，通氣條件下跨介質飛行器沾濕長度更小，其所受到的阻力更小，更有利于加速，且在V=56.29 m∕s時即可實現空泡對飛行器的全包裹，而自然空化在V=91.54 m∕s時才達到全包裹階段。

圖7 空化數及沾濕長度隨速度變化曲線Fig.7 Cavitation number and wetted length curves with velocity

針對通氣條件下開展空泡形態分析，當σ=0.034 4 時，即可實現空泡對飛行器的全包裹，此時沾濕長度剛好為零，但由于此時飛行器尾部與空泡壁距離較近，易出現尾拍現象，不利于跨介質飛行器穩定，空泡形態如圖8 所示，而當空化數較小時，空泡形態過大，將尾舵全部包裹，控制效率過低，故設計理想空化數為σc=0.030 0，此時尾部與空泡壁有一定間隙，且尾舵也有大部分沾濕。

圖8 空泡與飛行器相對關系Fig.8 The relative relationship between cavity and the aircraft

3 基于有限時間觀測器的終端滑模控制器設計

本節基于上文中跨介質飛行器考慮水下加速段的建模以及加速過程中通氣規律的設計，對控制導向模型進行了推導，并設計了基于有限時間擾動觀測器的跨介質飛行器非奇異終端滑模控制器。

由圖9 系統框圖可知，首先基于誤差信號及其導數信息設計非奇異終端滑模面，然后基于滑模面設計等效控制律及高階滑模形式的趨近律。針對控制系統中存在的復雜擾動，引入有限時間收斂狀態觀測器對系統不確定性進行觀測補償，實現跨介質飛行器在加速段的高精度穩定控制。

圖9 跨介質飛行器加速段控制系統框圖Fig.9 Trans-media aircraft transition phase control system

3.1 跨介質飛行器控制模型

為了便于控制器設計，首先基于跨介質飛行器動力學方程進行簡化，將其改寫為便于控制器設計的模型。

首先令x1=[ye，θ]T，x2=[vy，wz]T表示狀態量，令u=[δc，δf]T，為了便于公式推導，令：

考慮到幾何關系，當對深度指令以及俯仰角指令進行跟蹤控制時，垂向速度以及俯仰角速度需要滿足，則各狀態量的誤差形式定義為

在跨介質飛行器的加速及后續運動的控制過程中，會出現系統建模誤差、空泡攝動引起的沾濕流體動力、尾舵沾濕率計算不準確以及外界干擾等不確定性，令f(t)為系統集總擾動，則式(22)改寫為

3.2 有限時間收斂擴張狀態觀測器

首先給出如下引理：

引理1.［29］考慮以下非線性系統：

假設原點為系統的一個穩定平衡點，且存在連續可微正定函數V(x)：Rn→R+∪{0}，實數k＞0及α∈(0，1)，在包含原點的開鄰域內滿足：

則系統在原點處有限時間收斂，且從初始狀態收斂到原點的時間T(x0)上界滿足：

為了提高系統控制精度，設計有限時間收斂狀態觀測器對跨介質飛行器控制系統的集總擾動進行觀測，在設計觀測器之前，首先考慮式(27)所示系統：

式中：sig(x，α)=|x|αsgn(x)，sgn(·)為符號函數。冪次 序 列αi(i=1，2，3)設 計 為αi∈(0，1)(i=1，2，3)且滿足αi=iα-(i-1)，其中α在區間(1 -ε，1)內，ε為一個足夠小的正數。L＞1 為放大因子，矩陣Aα滿足Hurwitz條件：

根據上述條件給出以下穩定性定理：

定理1.當系統中的冪次序列按照設計要求給出，則系統可在有限時間內收斂到原點的鄰域內，且收斂時間的上界滿足：

證：首先進行坐標變換：

則系統可轉換為

令d=[d1，d2，d3]T，且可知系統和具有相同的收斂時間。

構造關于系統的Lyapunov函數：

因增益系數矩陣Aα滿足Hurwitz 條件，故存在正定對稱矩陣Pα和正定矩陣Qα，使得：

所以式(32)的全導數為

根據加權齊次性的定義［30］，當對狀態量di選擇相同的權重αi時，V1(ξ)和具有關于相同權值向量αε=的加權齊次性，且其齊次度分別為1 和，則存在常數c，使得下列不等式恒成立［31］：

再考慮函數(32)，根據瑞利不等式可知：

又因為式(31)右側關于α連續，則有：

根據引理1，可知系統(31)可在有限時間內收斂，且收斂時間上界為

又系統(27)和(31)具有相同的收斂時間，定理1證畢。

根據定理1中的內容，針對式(23)所示的二階系統，設計具有模型參考的狀態觀測器為

當系統(40)收斂時，有z1=e2，z2=f，定義觀測誤差為

將式(23)和(40)代入式(41)中可得狀態觀測器的誤差表達形式為

由定理1可得，當t＞Tob時，i=1，2，3可收斂至原點的鄰域內，即z1→e2，z2→f。

3.3 快速終端滑模控制律設計及穩定性證明

針對傳統終端滑模控制器中存在的抖振及奇異的問題，基于誤差信號的高階導數，設計一種非奇異終端滑模控制器，可以有效的抑制抖振現象，定義終端形式的滑模面為

式中：p，q為正定的控制增益系數矩陣；γ1，γ2均為奇數，且滿足

引理2.［32］假設一個正定的Lyapunov 函數V(x)，其全導數滿足，其中α，β＞0，且p1∈（0，1），x可在有限時間內收斂為零，收斂時間上界為

定理2.設計滑模面形式為時，當滑模面s為零后，系統狀態x可在有限時間內收斂為零。證：滑模面收斂為零后有

由引理2 可知定理2 得證，即滑模面收斂為零后，系統狀態誤差可在有限時間收斂為零。

完成滑模面的設計后，可將控制量分為在滑模面上運動的等效控制量ueq、趨近滑模面運動的趨近控制量uv以及上一節中擾動觀測器的輸出z2，根據誤差動力學模型，設計非線性控制律：

式中：ueq為等效控制項；uv為趨近運動控制項；u為輸出的實際控制量。

根據滑模面，設計等效控制項ueq為

對于趨近運動控制項，為了使得滑模面能夠平滑穩定達到穩定狀態，設計以下含有高階滑模形式的趨近運動控制項：

根據定理1 可知，存在固定時間tob和一個小的常數N，滿足當t＞tob時，有‖f-z2‖≤N。故當選取ξ＞N時，繼續推導式(54)可得：

故根據引理1 可知系統將在有限時間內收斂到零，即滑模面s=0，根據定理2 可知，在滑模面收斂為零后，系統誤差e1可在有限時間收斂為零。

注1.為了進一步抑制抖振效應，可采用飽和函數sat(s)來替代符號函數sgn(s)。

4 仿真結果分析

根據上文所述的有限時間收斂狀態觀測器及非奇異終端滑模控制方法，對加速段非定常影響下的跨介質飛行器控制進行仿真分析，采用的參數見表1。

表1 跨介質飛行器系統參數Table 1 System parameters of Trans-media Aircraft

針對上述設計的控制器及擾動觀測器進行仿真分析，為了體現出本文所提出的有限時間擾動觀測器（FTESO）及非奇異終端滑模控制算法（NTSMC）的優越性，設計傳統滑模及擴張狀態觀測器進行對比仿真分析，設計對比工況為采用傳統滑模控制方法（SMC）及線性擴張狀態觀測器（LESO）。

其中，線性滑模面和趨近律為

設計控制算法為

線性擴張狀態觀測器設計為

非奇異終端滑模控制參數設計為p=[2，-75；0，2 ]，q=1.5I2×2，η0=120，η1=0.5，η2=0.7，ξ=0.1，r1=7，γ2=5，舵偏角限幅為-30°≤δc，δf≤30°。擾動觀測器參數為α=0.8，L=5，k1=31，k2=311，k3=1001。對比工況中，線性擴張狀態觀測器參數設計為L1=31，L2=311，L3=1 001，傳統滑模控制律參數設計為k=[2，-vx；0，2]，η=120I2×2，D=3。

設定深度控制指令為yd=-4 m，俯仰角指令為θd=0°，初始速度為vx=30 m∕s，初始深度y0=-1 m，其余初始條件皆設置為零，并且為了驗證和對比分析所設計的控制算法及狀態觀測器的性能，針對復雜擾動下開展仿真分析，給定擾動為

具體仿真結果如圖10～12所示。

圖10 深度及俯仰角隨時間變化曲線Fig.10 Depth and pitch angle responses over time

從圖10 所示的深度及俯仰角響應曲線可知，在復雜擾動作用下，本文所設計控制方法依然可以實現對控制指令的快速響應，且相較于傳統滑模算法具有更快的收斂速度和更好的控制精度。

從圖11 控制指令曲線可知，本文所設計的非奇異終端滑模控制算法很好的抑制了抖振效應，實現了控制指令的平滑輸出。從圖12 狀態觀測器可以看出，在復雜擾動影響下，采用本文的有限時間狀態觀測器能夠在0.3 s 內實現對擾動的精確觀測，并且可對擾動進行持續精確觀測，而對比工況中的線性擴張狀態觀測器則需要0.7 s 才能收斂，且當擾動變化時，觀測精度有所下降。

圖11 控制指令隨時間變化曲線Fig.11 Control inputs over time

圖12 狀態觀測器輸出結果Fig.12 Outputs of state observer

5 結論

1）本文針對加速段非定常影響下的跨介質飛行器控制問題，設計了基于有限時間收斂狀態觀測器的非奇異終端滑模控制器。狀態觀測器可實現對復雜擾動的快速高精度估計，并且在控制系統中進行補償，增強了系統穩定性，提高了控制精度；非奇異終端滑模控制算法能夠在保證快速收斂的前提下實現對控制信號的高精度跟蹤，同時能夠抑制滑模控制算法中的抖振效應。

2）本文設計的控制算法所需設計的控制增益參數較多，參數整定難度較大，并且未考慮執行機構飽和對控制器帶來的影響，在后續的工作中，會針對抗飽和控制問題開展進一步研究。