一道2023 年浙江聯賽試題的求解與思考

山東省寧陽縣復圣中學(271400)張志剛

1 試題呈現

題目(2023 年全國高中數學聯賽浙江賽區預賽第13 題)已知橢圓的上頂點A與左頂點B的距離為,離心率為,P(t,0)(-4 ≤t≤-1)為x軸上一點.

(1)求橢圓方程;

(2)連接AP交橢圓于點C,過點C作x軸的垂線,交橢圓另一個點D,求S?ABD的取值范圍.

本題探求解析幾何經典問題之一的“三角形面積的取值范圍”,引導學生學會靈活應用解析幾何的基本思想方法對問題進行合理轉化,達到通過增加思維量來選拔創新拔尖人才的目的,同時對培養學生核心素養、引導中學數學教學具有積極的導向作用.

2 試題解答

2.1 解題思路

解析幾何的研究對象是幾何圖形, 以平面直角坐標系為研究工具, 通過代數運算研究幾何問題.這是解析幾何的特征[1].坐標法的要點是通過代數運算和推理研究幾何圖形, 同時這里的運算帶有幾何直觀.第(1) 問, 由題設條件,結合離心率性質,可輕松確定橢圓的方程, 通過本小問“鋪路搭橋”, 讓考生有獲得感.第(2) 問探求?ABD面積的取值范圍,關鍵步驟是: 一是選取適當的參數作為自變量表示?ABD的面積, 建立目標函數; 二是求出該目標函數的值域.如何選擇恰當的函數,對考生分析問題、解決問題的考查增加了難度,提升了思維強度,要求考生結合點A,P,C,D坐標的關系及橢圓的方程,從直接表征或間接刻畫等視角構建目標函數.若選取題設參數t作為自變量, 通過運算將?ABD的面積表示為函數, 經換元m= 5-t后, 進一步轉化為,借助對鉤函數的單調性即可求出函數的值域, 具體見解法1-5.也可另辟蹊徑, 選取某直線(如OD)的斜率為k作為自變量, 將?ABD的面積表示為k的函數,同樣可由對鉤函數的單調性求出值域,見解法6.解答中應充分利用橢圓的幾何性質及平面幾何中的定理、性質等輔助求解,如解法2.

2.2 解題過程

思路一(直接法)考慮利用建立目標函數,其中d是點D到直線AB的距離,如圖1 示.

圖1

解法2(特殊位置分析)本題中,點D的位置受制于點P.下面借助幾何直觀,考查點P運動時d的變化規律,由臨界位置確定d的極值,進而求得面積的取值范圍.

由解法1 知, 點D的坐標是,.

如圖2,當t=-1 即點P位于P1(-1,0)時,點D的坐標是.

圖2

當t= -4 即點P位于P2(-4,0) 時, 點D的坐標是.

當平行于AB的直線與橢圓切于第二象限內的點D(x0,y0) 時,d取得最大值,S?ABD最大.設此切線為: 4x- 5y+m= 0(m>0), 將其與橢圓方程聯立得32x2+ 8mx+m2- 400 = 0, 由?= 0 得,此時的解是, 即.此時,.

綜上,S?ABD的取值范圍是.

思路二(間接法)通過作輔助線, 借助?ABD與其他三角形之間的聯系表示其面積,體現分解與綜合、化難為易的轉化思想.

解法3(作差法表示面積)如圖3,延長AD交x軸于點E,由解法1 知,點D的坐標是,所以直線AD的方程是.令y= 0,解得,故點E的坐標是,故

圖3

圖4

圖5

下同解法1.

解法4(間接法——解法3 優化)

評注解法4 利用橢圓的性質,規避了解法3 中求解點D的坐標的繁瑣運算,確定直線AD的方程更便捷.

解法5(面積拆分與重組)如圖6,

圖6

下同解法1.

以上解法均是選用題設中的參數作為自變量,建立了面積的目標函數,進而求出取值范圍.然而,選取直線的斜率作為自變量建立函數關系,是解析幾何范圍(最值)問題更常見的操作.下面嘗試選取某條直線,以其斜率k建立三角形面積的函數.

解法6(變換變量) 如圖5, 延長DO, 交橢圓于點E,設直線OD的斜率為k(k<0),則直線OD的方程為:y=kx(k<0),將其與橢圓方程聯立得(16+25k2)x2-400 =0, 解得(舍) 或, 故點D的坐標是,

3 思維障礙與突破

以上解答各有千秋, 建立的三角形面積的目標函數也不盡相同, 如或.但在后續求解函數的值域時, 不少考生表現出手足無措,解答結果不盡如人意.究其原因,主要是當前各版本教材都未對分式函數值域進行系統闡述,學生缺乏成熟的求解策略.事實上, 分式多項式函數有“齊次”(如)和“非齊次”(如)兩類,處理路徑如下:

途徑1(齊次式: 分子常數化) 若, 可借助“添項、拆項、系數拼湊”等技巧, 通過恒等變形把分子化為常數, 即將函數變形為,然后結合反比例函數的單調性及圖象變換知識確定值域.例如, 求的值域.由于, 結合f(x) 的圖象知,f(x)在[1,2]上單調遞增,所以.對于“”型可進行類似處理.

途徑2(非齊次式:1 次式換元)若時,可令t=ax+b,則函數轉化為,然后分子分母同時除以t, 再利用函數的單調性或基本不等式討論其值域.若, 可進行類似換元處理.例如, 求的值域.令t= 2x+1,t≥3, 則,因為函數在[3,+∞)上單調遞增,所以f(x)∈[3,+∞).

下面再舉兩例說明.

例1(2014 年高考全國新課標I 卷理科第20 題)已知點A(0,-2),橢圓的離心率為,F是橢圓的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標原點.

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)設過點A的直線l與E相交于P,Q兩點,當?OPQ的面積最大時,求l的方程.

評注本題中的目標函數本質上是“”型分式函數, 經換元轉化為,再借助基本不等式求出值域.

由于四邊形的面積可分解為三角形面積之和,故上述策略也適用于四邊形面積的取值范圍.

例2(2016 年高考全國新課標I 卷理科第20 題)設圓x2+y2+2x-15=0 的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;

(II)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解(I),過程從略.

(II)因為直線l與x軸不重合,故設l:x=my+1,過B且與l垂直的直線PQ的方程為:y=-m(x-1).將l與橢圓方程聯立得(3m2+4)y2+6my-9=0.設M(x1,y1),N(x2,y2), 則.又

故四邊形MPNQ的面積

因為m2≥0,所以,故即四邊形MPNQ面積的取值范圍為.

評注以上計算得四邊形MPNQ面積中, 此時根號內為“”型齊次式, 為此進行分子常數化處理得,進而求得值域.

4 結束語

解析幾何是數形結合的學科,“通過幾何建立直觀,通過代數予以表達”是其基本理念[2].解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數運算,所以先用幾何眼光觀察,分析幾何圖形的要素及其基本關系,再用代數語言表達,而且要注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系簡化運算.例如,前文對三角形面積取值范圍的研究中,直觀認識各幾何要素間的位置分析是第一步.教師要以典型例題為載體,引導學生利用已有知識和學習經驗,深刻理解運算對象,科學設計運算程序,明晰運算機理,熟練掌握運算法則,準確求得運算結果,有效解決實際問題,如本文探討的分式函數的值域.