碟形彈簧內錐角的計算

□ 季 樂 □ 彭 亮 □ 吳智科

南京三眾彈性技術研究院有限公司 南京 210031

1 研究背景

碟形彈簧具有軸向空間緊湊、緩沖能力強的優點,在越來越多的領域獲得了應用,在很多地方可以代替螺旋彈簧[1-3]。目前,對碟形彈簧的研究主要集中在力學特性,以及緩沖減振、控制運動的應用上[4-8]。但是,對于碟形彈簧幾何特征中的內錐角,精確計算一直未見報道,常見的計算方法均為近似值[9-10]。對此,筆者提出一種計算碟形彈簧內錐角的方法。

2 碟形彈簧幾何尺寸

給定碟形彈簧的外徑D、內徑d、厚度t、高度H0,即可確定碟簧尺寸,如圖1所示。內錐角為α。

圖1 碟形彈簧尺寸

3 普通碟形彈簧內錐角計算

由圖1可得如下關系:

(1)

整理后可得:

(D-d)/2×sinα-tsin2α=H0cosα-tcos2α

(2)

令x=sinα,于是有:

(3)

整理后得到:

(4)

可見,這是一個一元四次方程,可用牛頓迭代法求解,記:

y=Ax4+Bx3+Cx2+Ex+F

(5)

式中:A、B、C、E、F為對應項的因數。

其導函數為:

y′=4Ax3+3Bx2+2Cx+E

(6)

(7)

(8)

一般經三次迭代,即可獲得滿意精度,內錐角為:

α=arcsin(x3)

(9)

例一:某碟形彈簧的外徑為31.5 mm,內徑為16.3 mm,厚度為1.75 mm,高度為2.45 mm,求這一碟形彈簧的內錐角。

初值為:

進行迭代,見表1。

表1 例一內錐角計算迭代

則內錐角為:

α=arcsin(x3)=arcsin 0.094 791 72

=0.094 934 26 rad

換算成角度制,α為5.439 33°。

以上計算過程可編輯成Excel表格,省時便捷。

例二:在AutoCAD軟件中繪制例一所述碟形彈簧的截面。

由于AutoCAD軟件稍早一些的版本無法自約束尺寸,因此需借助上面計算出的內錐角進行繪圖。

從任一點M引一條角度為5.439 33°的直線MN,往下繪制一條與之平行,且距離為1.75 mm的直線PQ,在上方繪制一條距離點P為2.45 mm的水平線P′N,與直線MN交于點N。繪制直線NQ垂直于直線PQ。刪除多余線段,并制作鏡像,即為所得,如圖2所示。可見,測量的數據與碟形彈簧尺寸相同。

圖2 例一碟形彈簧繪制

4 帶圓角的計算

實際生產的碟形彈簧,截面的四個角是圓弧過渡的,圓弧半徑為r,尺寸如圖3所示。

圖3 帶圓角碟形彈簧尺寸

考慮截面去除圓角后的中間矩形部分,矩形部分的內錐角與原碟形彈簧相同,如圖4所示。由此,只要在式(4)中將D、d、t、H0依次以D-2r、d+2r、t-2r、H0-2r代替即可。

圖4 中間矩形部分內錐角

5 有支撐面的計算

有支撐面的碟形彈簧尺寸如圖5所示,b為支撐面寬度,t′為厚度。

圖5 有支撐面碟形彈簧尺寸

與無支撐面碟形彈簧類似,由圖5可得如下關系:

(D/2-d/2-t′sinα-2bcos2α)tanα=

H0-t′cosα

(10)

整理后得:

(D-d)/2×sinα-t′sin2α-2bsinαcos2α=

H0cosα-t′cos2α

(11)

令x=sinα,可得:

(D-d)/2×x-t′x2-2bx(1-x2)=

(12)

整理得一元六次方程:

Ax6+Bx5+Cx4+Ex3+Fx2+Gx+H=0

(13)

A=4b2

(14)

B=-8bt′

(15)

C=4t′2+4[(D-d)/2-2b]b

(16)

E=4bt′-4[(D-d)/2-2b]t′

(17)

(18)

G=2[(D-d)/2-2b]t′

(19)

(20)

也可用牛頓迭代法計算出帶支撐面碟形彈簧的內錐角,記:

y=Ax6+Bx5+Cx4+Ex3+Fx2+Gx+H

(21)

其導函數為:

y′=6Ax5+5Bx4+4Cx3+3Ex2+2Fx+G

(22)

一般經三次迭代,即可獲得滿意精度,內錐角為:

α=arcsin(x3)

例三:碟形彈簧外徑為250 mm,內徑為127 mm,厚度為6.7 mm,高度為14.8 mm,支撐面寬度為1.75 mm,求內錐角。

初值為:

進行迭代,見表2。

表2 例三內錐角計算迭代

則內錐角為:

α=arcsin(x3)=arcsin 0.141 543 66

= 0.142 020 602 rad

換算成角度制,α為8.137 181°。

以上計算過程可編輯成Excel表格,省時便捷。

6 帶圓角有支撐面的計算

帶圓角有支撐面碟形彈簧的尺寸如圖6所示。

圖6 帶圓角有支撐面碟形彈簧尺寸

對此,可將圓角補齊為直角,如圖7所示。

圖7 圓角補齊

對內外徑進行修正,可得:

D*=D+2r(sinx0+cosx0-1)

(23)

d*=d-2r(sinx0+cosx0-1)

(24)

然后在式(16)～式(19)中,用D*、d*代替D、d即可。

由于D*、d*的計算用的是初值x0,因此最終計算的內錐角會有些許誤差。

7 結束語

筆者針對普通碟形彈簧、帶圓角碟形彈簧、有支撐面碟形彈簧、帶圓角有支撐面碟形彈簧,分別推導內錐角計算式,并給出計算示例與應用,具有參考價值。