空心脈沖發電機的電感計算與數學模型

婁振袖,程 源

(1.杭州正弦電機科技有限公司, 杭州 310015;2.合肥工業大學 電氣與自動化工程學院,合肥 230009)

0 引 言

空心脈沖發電機是一種新型的脈沖功率電源,它具有高能量密度和高功率密度的特點,廣泛應用于電磁發射領域[1-3]。世界各國學者對該電機做過多方面的深入研究,包括繞組設計、結構設計、勵磁控制等[4-7]。由于該電機采用的是空心結構,而且其放電過程是一個瞬態過程,所以其分析計算方法與常規鐵心電機有很大不同[8-9]。為了準確分析脈沖發電機的相關性能,大部分研究者采用的是有限元分析法,其優點是準確性高,但是建模過程復雜,尤其是三維模型,計算時間較長[10-11]。而且通過有限元模型很難獲得電機性能跟電機參數之間的函數關系。而電機的解析模型可以對電機性能做快速準確的分析計算,其中電機電感參數的計算就是一個關鍵的問題。

對于常規鐵心電機而言,電感有主電感和漏電感之分,特別對主電感而言,它不是一個常數,需要考慮鐵心飽和的影響。而空心電機的磁導率是恒定的(等于空氣的磁導率),磁場本身是發散的,所以與鐵心電機不同,空心電機呈現一個三維的磁場分布。從電感計算上來說,空心電機的電感是恒定不變的,即磁導率是常數,計算的難點在于需要考慮三維磁場的分布特點。文獻[12]給出了一種空心補償脈沖發電機繞組電感的解析計算方法,但它僅僅研究了單層同心式繞組,有一定的局限性,對于多種形式的繞組并沒有一個通用的電感計算方法。

為了準確快速分析不同繞組形式空心脈沖發電機的相關性能,本文提出了一種空心脈沖發電機繞組電感的通用計算方法;并且以一種無補償繞組空心脈沖發電機為例,利用電機的幾何模型計算其電感參數,根據電機的數學模型分析其空載和放電特性;最后將解析法的計算結果同有限元法的計算結果進行比較,以驗證電機數學模型的準確性。

1 電感計算

對于空心脈沖發電機而言,因為空氣的磁導率是常數,不用像鐵心電機一樣需要考慮飽和對電機參數的影響,所以空心脈沖發電機的電感跟繞組電流的大小沒有關系。在本節中,我們計算的電感都是繞組的直流電感,而低頻下的交流電感和直流電感基本相等。如果要準確計算高頻下繞組的交流電感,則需要考慮集膚效應和鄰近效應,這是比較困難的。集膚效應和鄰近效應對脈沖發電機而言是有害的,它會增加電機繞組的內電阻,從而使電機的損耗和溫升增加,降低脈沖發電機的放電性能,所以從電機設計的角度就需要最大限度地削弱導體的集膚效應和鄰近效應。我們在進行電機繞組設計時,會采用增加繞組并繞根數的方法盡量減小集膚效應和鄰近效應的影響,并繞根數越多,削弱作用就越明顯。本節在進行電感計算時均不考慮集膚效應和鄰近效應對電感參數的影響。

1.1 單個線圈的自感

無論空心脈沖發電機采用哪種繞組形式,線圈總是組成繞組的基本單元,我們首先分析單個線圈的自感。如圖1所示,線圈A,B是由n個導體并聯而成的,電流從A端流出從B端流入。

圖1 線圈AB截面圖

線圈A,B的電感可由下式計算:

(1)

式中:gA和gB表示復合導線A和B自身的幾何平均距離;gAB表示復合導線A和B之間的幾何平均距離;l表示導線長度。參考文獻[13],幾何平均距離可由下面的方程組進行計算:

(2)

式中:sk表示導體k的截面積;gk表示面積sk自身的幾何平均距離;gki表示面積sk和si之間的幾何平均距離。gB的計算方法同gA的計算方法相同。式(1)計算的是單匝線圈的電感,如果線圈AB的匝數為N,此時線圈AB的電感需要用式(1)的計算結果乘以N2。

1.2 兩個線圈之間的互感

如圖2所示,線圈A1,B1的匝數為N1,電流從A1端流出從B1端流入;線圈A2,B2的匝數為N2,電流從A2端流出,從B2端流入,那么這兩個線圈之間的互感:

(3)

圖2 線圈A1B1和A2B2截面圖

式中:gA1B2,gB1A2,gA1A2,gB1B2表示相應的導線截面積sA1,sB1,sA2,sB2相互之間的幾何平均距離。需要指出的是,這些導線截面既可以是單個導體,也可以是多個導體并聯組成,它們相互之間幾何平均距離的計算方法同式(2)中gAB的計算方法相同。

1.3 線圈組的電感

如圖3所示,線圈組C1由n個線圈串聯組成,這n個線圈可以完全相同,也可以不盡相同。令Lk表示線圈kk′的自感,Mki表示線圈kk′和線圈ii′之間的互感,那么線圈組C1的自感:

(4)

圖3 線圈組C1和C2截面圖

在圖3中,線圈組C2由m個線圈串聯組成,線圈組C2自感的計算可參照式(4),線圈組C1和C2的互感可由下式計算:

(5)

式(4)和式(5)對任意形式的繞組都是適用的,不管是單層繞組還是雙層繞組,同心式繞組還是鏈式繞組,而且每個線圈的節距和匝數都可以不同。

本節根據電機的二維模型,推導出了繞組的電感公式。這意味著計算方法是針對繞組的有效部分。因為空心電機采用的繞組形式也是同心式、鏈式或者疊繞組,所以其端部的形狀跟傳統異步或者同步電機的繞組端部形狀一樣。如果要分析線圈端部的磁場效應,我們可根據傳統電機的繞組端部漏電感計算公式,計算出空心電機的端部電感。因此,如果需要計算空心電機三維模型的繞組電感,只需將二維模型的繞組電感計算結果與繞組端部電感計算結果相加即可。

2 電機的數學模型

空心脈沖發電機的結構多種多樣,有的有補償繞組,有的沒有補償繞組;繞組有單相的也有多相的;有的是有刷結構,有的是無刷結構。不同結構空心脈沖發電機的數學模型也互不相同。本節以一種無補償繞組空心脈沖發電機為例,首先推導出電機的數學模型,然后采用第1節提出的電感計算方法計算電機數學模型中的相關參數。

圖4給出了一種無補償繞組空心脈沖發電機的截面圖,其中勵磁繞組和電樞繞組均為單相繞組。勵磁繞組采用單層同心式結構,安裝在轉子上,極對數為2;電樞繞組采用單層同心式結構,安裝在定子上,極對數為2;雖然沒有獨立的補償繞組,但是勵磁繞組在放電過程中有一定的補償作用。脈沖發電機及兩套繞組的相關參數如表1所示。兩套繞組具體的接線方式如圖5所示,勵磁繞組采用一路串聯的連接方式,相繞組串聯匝數為140,電樞繞組采用兩路并聯的連接方式,相繞組串聯匝數為4。

圖4 無補償繞組空心脈沖發電機截面圖

表1 電機及繞組參數

圖5 無補償繞組空心脈沖發電機繞組接線圖

令Lf表示勵磁繞組自感,La表示電樞繞組自感,M表示勵磁繞組與電樞繞組互感幅值,勵磁繞組和電樞繞組極對數為p。令θ表示勵磁繞組軸線和電樞繞組軸線之間的夾角(機械角度),ω表示轉子機械角速度,則無補償繞組空心脈沖發電機的磁鏈方程:

(6)

則式(6)可寫成:

(7)

由磁鏈方程式(7)可得出無補償繞組空心脈沖發電機的電壓方程:

(8)

若發電機內的磁共能為W,根據虛位移法,電磁轉矩Te應等于磁共能對轉子轉角θ的偏導數,那么無補償繞組空心脈沖發電機的電磁轉矩:

(9)

電機的轉矩方程:

(10)

通常當脈沖發電機處于放電工作狀態時,ua=0,TL=0,則根據式(8)～式(10)可得無補償繞組空心脈沖發電機的狀態方程:

(11)

式(11)即為無補償繞組空心脈沖發電機的數學模型,只要知道模型中的電感參數,就能對脈沖發電機的相關性能進行分析計算。

3 仿真分析

3.1 電感計算結果

我們以電樞繞組為例來計算繞組的自感。首先計算電樞繞組每條串聯支路的自感,從圖4中可以看出,線圈的截面為矩形,矩形面積自身的幾何平均距離可由式(12)確定:

(12)

式(12)中b和c為矩形的邊長,圖4中b=12 mm,c=24 mm,則gA=8.05 mm。由圖5(b)可知,電樞繞組每條串聯支路由4個線圈串聯組成,這4個線圈共有8個截面,它們相互之間的幾何平均距離如表2所示。

表2 電樞繞組各截面之間的幾何平均距離(單位:mm)

接下來利用文中式(1)、式(3)、式(4)以及表2來推導計算電樞繞組的自感。由于電樞繞組是由2個相同的支路并聯組成,所以我們先算其中一條并聯支路的自感。它由4個線圈串聯組成,采用同心式結構,分別是2′11′、3′10′、4′9′、5′8′,令這4個線圈分別為A,B,C,D,則根據式(1)線圈A的自感:

那么線圈A,B,C,D自感之和:

根據式(3),線圈A,B之間的互感:

同理可計算MAC=0.219 6 μH,MAD= 0.120 3 μH,MBC=0.331 2 μH,MBD=0.167 6 μH,MCD=0.263 3 μH,根據表2中線圈A、B、C、D各截面之間的幾何平均距離以及式(4)可得電樞繞組其中一條并聯支路的自感:

L=LA+LB+LC+LD+2(MAB+MAC+MAD+MBC+MBD+MCD)=5.55 μH

而通過有限元模型計算的結果為5.56 μH,可以看出,解析法的計算結果同有限元法的計算結果誤差很小。采用類似的方法和步驟通過式(5)可以計算出電樞繞組兩條并聯支路之間的互感Ma=-1.19 μH,則電樞繞組每條并聯支路的總電感為L+Ma=4.36 μH,所以電樞繞組的總自感La=(L+Ma)/2= 2.18 μH。

通過式(3)、式(5)可計算出電樞繞組和勵磁繞組之間的互感幅值M=61.1 μH,采用相同的方法,我們可以計算出勵磁繞組的自感Lf=2.27 mH。

為了驗證電感計算結果的準確性,作者將解析法的計算結果同有限元法的計算結果進行比較,如表3所示。

表3 電感計算結果的比較

通過表3可以看出,解析法所得的電感計算結果同有限元法計算結果之間的誤差是非常小的,基本控制在2%以內。為了進一步驗證電機數學模型的有效性,我們采用解析法及有限元方法對無補償繞組空心脈沖發電機空載及負載放電特性做更深入的分析。

3.2 空載分析

當脈沖發電機轉速為12 000 r/min時,給勵磁繞組通入恒定的勵磁電流,大小為7 kA,由于該脈沖發電機采用轉場式結構,勵磁磁場與轉子保持同步,這個旋轉的4極磁場就在電樞繞組中感應出電壓。圖6為電樞繞組的空載電壓波形,其中實線表示解析法的計算結果,虛線表示有限元法的計算結果。兩種方法計算的電壓頻率均為400 Hz,通過解析法所得的電壓幅值為1 075 V,有效值為760.1 V,通過有限元法所得的電壓幅值為1 080 V,有效值為752.2 V,其中有效值的誤差為1.1%。

圖6 空載電壓波形

從圖6中可以看出,解析法的計算結果是沒有諧波的,而有限元法的電壓波形含有少量的諧波成分,我們對有限元法得到的電壓波形進行諧波分析,分析結果如圖7所示。從圖7中可以得出,基波電壓的幅值為1 057 V,諧波電壓幅值超過20 V的只有600 Hz(26 V)和4 400 Hz(20 V),其他次諧波均很小。而電機中諧波磁場的存在是產生諧波電壓的根本原因,有限元法能夠考慮到諧波磁場的影響,而解析法卻不能,這是造成兩種計算方法之間產生誤差的原因。但從計算結果中也可以看出,諧波磁場對幅值和有效值計算影響不大,誤差很小。

圖7 空載電壓諧波分析

3.3 負載放電分析

當脈沖發電機初始轉速為12 000 r/min,初始勵磁電流為7 kA時,給電樞繞組接上大小為9.5 mΩ的阻性負載,電機就會對負載放電。圖8給出了3個周期的放電電流波形。由于脈沖發電機的電樞繞組一般外接二極管,所以電樞繞組只在電壓的正半周對負載放電,負載中只能流過正向電流。從圖8中可以看出,兩種方法的計算結果非常吻合,通過解析法獲得的3個脈沖電流的峰值為109 kA、96.8 kA和85.7 kA,通過有限元法獲得的3個脈沖電流的峰值為104 kA、92.1 kA和82.1 kA,誤差分別為4.8%、5.1%和4.4%。

圖8 負載放電電流波形

圖9給出了負載放電過程中的勵磁繞組電流波形。勵磁繞組的初始電流為7 kA,由于勵磁繞組自身的補償作用,勵磁繞組在負載放電過程中也會出現3個峰值,而且產生3個峰值的時間跟圖8中3個脈沖電流的峰值時間是一致的。圖9中,通過解析法獲得的3個勵磁電流的峰值為8.8 kA、7.8 kA和7 kA,通過有限元法獲得的3個勵磁電流的峰值為8.6 kA、7.7 kA和6.8 kA,誤差分別為2.3%、1.3%和2.9%。

圖9 勵磁繞組電流波形

脈沖發電機是利用慣性儲能技術將電機轉子中儲存的動能在很短的時間內轉換成電能釋放出來,巨大的放電電流必然會產生巨大的電磁轉矩,電機轉速在放電過程中是不斷變化的。圖10和圖11給出了放電過程中電機的轉速以及轉矩隨時間變化的關系曲線。圖10中,電機轉速從12 000 r/min開始下降,經過3個放電脈沖后達到最低值,通過解析法算得的最低轉速為11 805 r/min,通過有限元法算得的最低轉速為11 815 r/min,誤差僅為0.1%。從圖11中可以看出,脈沖發電機在放電過程中的轉矩為制動性質的。電磁轉矩在電機放電過程中也會產生3個峰值轉矩,通過解析法算得的峰值轉矩分別為-84.5 kN·m、-66.6 kN·m和-52.6 kN·m,通過有限元法算得的峰值轉矩分別為-80.4 kN·m、-64.1 kN·m和-50.3 kN·m,誤差分別為5.1%、3.9%和4.6%。

圖10 轉速變化曲線

圖11 轉矩變化曲線

4 結 語

本文首先給出了空心脈沖發電機繞組電感計算的一般方法,該方法對各種形式的繞組都是適用的,只要知道繞組中每個線圈的幾何尺寸以及它們之間的連接方式,就能準確計算其電感值;接著,以一種無補償繞組空心脈沖發電機為例,建立了該電機的數學模型,并利用解析法計算了脈沖發電機勵磁繞組和電樞繞組的自感以及互感值,通過與有限元法計算結果的比較,證實了電感計算方法的準確性。

最后利用數學模型以及有限元模型,分析了脈沖發電機的空載及放電特性,通過比較兩種方法的計算結果,可以看出數學模型的計算精度與有限元模型十分接近,從而驗證了數學模型的正確性。