數學化歸思想在小學數學解題中的應用

數學是極富思維的一門學科，衡量學生數學思維品質的指標之一是解題能力。那么，如何展開小學數學解題教學？如何啟發學生？我們可以從波利亞探索法中蘊含的化歸思想得到啟發。

一、題目呈現

題目一：

（1）媽媽買了體積是11200 cm3的假山、水草等飾物，放進長80 cm、寬50 cm的玻璃魚缸，完全浸入水中，水面升高了多少？

（2）有一個長方體魚缸，從里面量得長是8 dm，寬是6 dm，水深是6 dm，放進去一塊珊瑚石，水面升高了5 cm，這塊珊瑚石的體積是多少？

（3）一個長方體玻璃缸，從里面量長是15 cm，寬是10 cm，把一個體積是300 cm3的西紅柿浸入水中后，水面上升到12 cm，原來的水深是多少厘米？

（4）任選一個不規則物體（如蘋果、桃子、土豆等），想辦法計算出它的體積。把活動過程記錄下來，并寫成一篇數學日記。

題目二：一個酸奶瓶（如圖1），它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是32.4 cm3，當瓶子正放時，瓶內酸奶高為8 cm，瓶子倒放時，空余部分高為2 cm（如圖2），則瓶內酸奶體積是多少？

題目三：

兩個相同的分數應用類型的數學題目：

（1）六年級原有女生人數是男生人數的80%，后來轉來女生3人，現在女生人數是男生人數的5/6，請問原來六年級有多少人？

（2）小芳在看一本文學著作，晚飯前，已看的頁數是未看的3/7，晚飯后，她又看了17頁，這時已看的頁數是未看的5/6，這本文學著作有多少頁？

二、題目解法與分析

（一）題目解法

對于題目一：

（1）問：

已知假山、水草等飾物體積為11200 cm3，玻璃魚缸的長為80 cm，寬為50 cm。魚缸的形狀為長方體。所以，完全浸沒飾物后水面上升的高度為：50×80=4000，11200÷4000=2.8（cm），所以浸沒飾物后水面上升了2.8 cm。

（2）問：

已知長方體魚缸的長為8 dm，寬為6 dm。投入珊瑚石后水面上升了5 cm，5 cm=0.5 dm，8×6×0.5=24。所以，珊瑚石的體積為24 dm3。

（3）問：

已知長方體玻璃缸的長為15 cm，寬為10 cm，西紅柿體積為300 cm3，所以，在水中浸沒后水面上升的高度為：300÷（15×10）=2（cm），因此，原來的水深為：12-2=10（cm）。

（4）問：

要測量如蘋果、桃子、土豆等的體積，根據前面三個問題的解決思路：首先，找到一個體積易求的規則容器，測量其長、寬和高；其次，在容器中加入能夠淹沒所求物體的水，然后觀察并記錄物體淹沒前后水面高度的變化；最后，用變化的高度同容器的長和寬相乘，不規則物體的體積即求解完成。

對于題目二：已知38bc0597c8599832b3fb00ac0cf5455b左右兩個酸奶瓶形狀和大小一致，體積相等，但左邊是正放，右邊是倒放，設瓶子的體積為V，正放時酸奶體積為V1，倒放時的酸奶體積為V2，分析題目能判斷酸奶的體積前后相等，所以V1=V2，因此V-V1=V-V2，結合圖像觀察得知，左右空余部分的體積相等。不妨將左邊不規則的空余部分替換為右邊空余部分圖形，此時的圖形如圖3所示：

已知酸奶瓶的容積為32.4 cm3，圖3得到的組合圖形是高為10 cm的圓柱形酸奶瓶的正視圖。因此，該酸奶瓶的底面積是：32.4÷10=3.24（cm2），圖3中酸奶的高為8 cm，所以，酸奶體積為：3.24×8=25.92（cm3）。

對于題目三：

（1）女生人數的變化使前后男女學生的人數比發生改變，分析題目中的已知條件：

①全校女生增加3人，全校男生人數不變

②（原有）女生∶男生=80∶100=4∶5=24∶30

③（現在）女生∶男生=5∶6=25∶30

保證男生在人數比中所占份額保持前后不變，則表明全校男生的人數不變。因此，前后女生人數比中份額的變動為25（份）-24（份）=1（份），根據已知條件①得出1（份）=3（人），所以原來的女生人數與男生人數比為24∶30，則女生人數為：24×3=72（人），男生人數為30×3=90（人），原來六年級人數為：72+90=162（人）。

（2）分析題目中的已知條件：

①小芳晚飯后看書17頁

②晚飯前，已看頁數∶未看頁數=3∶7

③晚飯后，已看頁數∶未看頁數=5∶6

因此，晚飯前的總頁數份數應該為：3+7=10（份），晚飯后的總頁數應該為：5+6=11（份），由于該書的總頁數保持不變，所以尋找前后的總頁數份數的最小公倍數：10×11=110。那么，晚飯前，已看頁數∶未看頁數=33∶77，晚飯后，已看頁數∶未看頁數=50∶60，小芳晚飯前后讀書的份數變化為：50-33=17（份），因此1份=1頁，總頁數=110×1=110（頁）。

（二）題目分析

題目一中的前三個問題：第一問是已知不規則物體體積，求解水面上升的高度；第二問是已知水面上升的高度，求解不規則物體的體積；第三問是已知不規則物體體積和水上升后的水面高度，求放入物體前原來水面高度。可以發現（1）問和（2）問中的已知條件和所求結果是相互轉化而得到的，其已知條件和問題都有相似之處，考查學生能否將不規則物體轉化為熟悉的規則物體，從而求其體積。（3）問是對前兩問的變形。對（3）問的求解首先要求解出不規則物體后水面下降的高度，從而高度做差方得原來水深，這一問進一步培養學生思維的靈活性。三個變式問題求解后學生對“變化”會有更深的理解，理解變化有從小到大的上升趨勢，也有從大到小的下降趨勢，培養了學生思維的廣闊性。題目一的（4）問讓學生對前三個問題的理解進行升級。獨立解決相類似的物體體積，學生會對前問進行分析，懂得從問題出發直接測量長、寬、高不易，需要借助其他規則物體來計算，其中自然理解必要的已知條件和數據是什么，從而測量規則物體的長、寬、高和水面的變化高度。根據（3）問的啟示，學生進一步發現可以通過觀察水面下降或者上升的高度兩種測量方法來求解。

對比得知，題目二是對題目一的進一步變式，其同樣是求解不規則物體體積，與題目一對比可知，瓶子放置方向的改變表明作為學生所需思維支架的規則物體變成了會同樣發生變化的不規則物體，此時學生的思維受到阻抑。而波利亞的解題理論可以啟發學生重新審視條件和問題，首先，需要學生思考已知條件是否能夠充分確定未知量。其次，回憶曾經是否有一道與它有關并且解過的題目。為了有可能應用它，思考是否需要引入某個輔助元素將其轉化成熟悉的問題。從這個分析路徑出發，學生會思考需要把作為思維支架的物體即整個酸奶瓶轉換成容易測量其體積的規則物體，這一過程需引入輔助元素，即圖形的整合，將酸奶瓶替換為圓柱形的規則物體。此時，學生的思維由困惑轉為通暢，根據題目一的求解思路自然而然地就能得出所需結果。

題目三看似與題目一和題目二不屬于同一種類型，其側重尋求在現實生活中存在的數量關系基礎上建立起來的份數占比問題，考查因數量變動而導致分數比的變動問題。解決這類問題和解決題目一和題目二有其基本的通性通法，即尋求數量變動中的不變關系和不變量，最終通過用變化的分數占比來表達不變量，即通過已知條件的細分與改變轉換成學生能夠自主加以分析和解決c+8sNzpzFqKpw9fQ0MsjxlMozSmtN/DqS1QePP5oniE=的新的、數學的已知條件。題目三引導學生從生活實際出發來思考該題中存在的不變量。學生能夠發現轉校生中男生人數和閱讀書籍的總頁數都是未改變的量。根據波利亞的解題表，當教師引導學生關注到不變量是兩個問題中均蘊含的特征后，下一步就應該執行波利亞解題中倡導的“你能找出已知數據與未知量之間的聯系嗎”。學生由此思考如何從分數比這一條件與新的條件“不變量的存在”同未知量建立關系，從而思考可以將分數比轉化為分母或分子相同的新分數比。這樣原有問題中的已知條件得到學生的重新敘述，學生的思維從分散、困惑轉為明朗，此時可推出第三個問題“今年小亮的年齡是小英的2倍，10年前小亮的年齡是小英的7倍，小亮和小英今年各多少歲”讓學生思考。這時學生自然會去觀察其已知條件與之前的題目已知條件的類似之處，即兩人之間的年齡差也同樣是不變量，繼續執行波利亞解題表中的步驟：“這里有一道和你曾經解過的題目有關，你能利用它嗎？”此時的利用顯然已經體現出解題思路層次上的化歸思想，將不熟悉的問題情景和數學問題盡可能通過改變已知條件、未知量來轉化成自己熟悉的數學問題。依循這樣的解題思路，學生自然不會認為數學過于靈活而不存在“通性通法”一說。

三、解題反思與啟示

（一）通過“一題多解”貫通學生知識，培養學生良好的思維品質

數學知識是顯性的，但是數學思考方式和思維是隱性的。題目一的求解過程并不煩瑣，但是造成解題困惑的主要原因在于數學知識和數學方法的結合度不夠，需要學生用數學方法把數學知識有機融合，而一題多解可以將學生分散的數學知識整合成有條理的整體。題目一的（4）問中從上升和下降兩個方向求出不規則物體的體積已經初步體現出一題多解的解題思維。在解題過程中訓練學生一題多解的解題思維能夠提升學生思維的靈活性，從而逐漸形成“少算多思”的解題意識，為以后遇到相似的問題情境在尋求結果時，更追求簡便且自然的解題方案。同樣，題目三中的兩個問題情境完全不同，但是其分析思路是相似而又不同的，學生在尋求數量關系中體會到不變量是解題的重要特征，從而發展思維的深刻性。

（二）通過滲透化歸思想強化核心知識，培養學生思維的深刻性

小學圖形與幾何知識領域中對長方體、正方體、圓柱與圓錐的體積進行了研究，學生對規則圖形的體積的運算過程有了研究范式。現實生活中不規則圖形大量存在，同時兩類圖形在一定條件下可以相互轉化，如何根據已有知識在解題中研究不規則圖形的體積是提升學生思維品質的富有意義的問題。題目一和題目二之間有自然且有意義的關聯，題目二的解題方案不是憑空產生的，其中的步驟需要借助以往的解題思路才能順利完成。如果沒有求解過類似題目一中的問題，那么學生在理解將酸奶瓶代表的不規則物體通過拼補組合的方式轉化成熟悉易解的規則物體這一步驟的過程就會產生困惑，因此，教師需要引導學生總結一類相似問題的通性通法，對比其已知條件和所求結果之間的關系，從而讓學生在看似多變的題目中把握其不變的特性，進而培養學生數學思維的深刻性。題目三不再是與圖形緊密結合的題目，但是對培養學生厘清數量關系、轉換數量關系的意識和能力是有益的。

通過以上分析可以看出，教學中最關鍵的問題不在于通過教學能使學生會做多少題目，針對每一個題目會多少種解法，而在于面對一個問題時，教師該如何引導學生正確思維，引導學生在掌握知識、技能、技巧、方法的同時，逐步理解數學的思想和方法，教會學生數學思考的方法，從而有效提升學生的數學素養。

參考文獻：

［1］G·波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2011.

［2］韓龍淑，楊柳.一道中考數學題的不同解法及其啟示［J］.中學數學，2022（2）：80-81，93.

［3］劉明才.波利亞“數學啟發法”在小學數學解題教學中的應用［J］.現代教育，2018（4）：53-54.

［4］宮萬麗.在小學數學綜合應用教學中滲透轉化思想策略的探究［J］.數學學習與研究，2020（7）：57，59.

（作者單位：1.萬榮縣王顯鄉聯合學區范家學校；2.太原師范學院數學與統計學院）

編輯：常超波