Mathematica交互式程序在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

摘" 要：本文針對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中現(xiàn)有的幾類教學(xué)難題，介紹了Mathematica交互式程序在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理三個(gè)不同層面的數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。通過(guò)Mathematica中的Manipulate函數(shù)的動(dòng)畫(huà)演示功能，將概念、公式、定理直觀形象地展示出來(lái)，豐富了教學(xué)內(nèi)容，改善了教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：Mathematica軟件；Manipulate交互式；高等數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：O13；TP346文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：2095-9052（2023）10-0100-04

作者簡(jiǎn)介：解小蕓（1993.01—" ），女，浙江省杭州市人，研究生，助教。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

引言

Mathematica是一款做數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)的軟件，其內(nèi)容豐富、功能強(qiáng)大，內(nèi)置函數(shù)覆蓋了眾多數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包含了多個(gè)數(shù)學(xué)方向的新技術(shù)、新方法［1］。它直觀的圖像繪制功能、動(dòng)畫(huà)演示功能是幫助抽象概念可視化的理想工具，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用［2-4］，在物理［5-6］、化學(xué)［7-8］等其他學(xué)科的教學(xué)研究中也有一些應(yīng)用。該軟件的交互式操作功能，可以將抽象的數(shù)學(xué)思想以動(dòng)態(tài)的方式呈現(xiàn)，將枯燥的數(shù)學(xué)概念、嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定理、繁雜的數(shù)學(xué)公式以生動(dòng)形象的方式展現(xiàn)出來(lái)，有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想，提高課堂教學(xué)效果。

一、高等數(shù)學(xué)的課程特征和教學(xué)現(xiàn)狀

俄國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫把一切數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)分支的特點(diǎn)歸結(jié)為三大點(diǎn)：高度的抽象性、結(jié)論的精確性和廣泛的應(yīng)用性［9］。高等數(shù)學(xué)課程作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一部分，自然具有上述全部特征。高等數(shù)學(xué)的抽象性主要在于，它的理論舍棄實(shí)際意義只保留數(shù)量關(guān)系和空間形式，定理和公式只有在邏輯上被嚴(yán)格地推理證明出來(lái)才能被承認(rèn)和使用。并且證明定理的過(guò)程通常是，從這個(gè)定理中引用的概念所固有的原始性質(zhì)出發(fā)，用推理的方法導(dǎo)出這個(gè)定理。因此數(shù)學(xué)所達(dá)到的抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)自然科學(xué)中的一般抽象。而且在高等數(shù)學(xué)中不僅數(shù)學(xué)概念是抽象的，數(shù)學(xué)方法也是抽象的。當(dāng)然也正是這種高度的抽象性，導(dǎo)致了很多學(xué)生在高數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中除了感到莫名其妙以外什么都不能理解。

二、交互式函數(shù)Manipulate在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)和功能

高等數(shù)學(xué)所研究的自然規(guī)律是不斷發(fā)展變化的，高等數(shù)學(xué)為各種變化的過(guò)程、運(yùn)動(dòng)過(guò)程以及一個(gè)量與另一個(gè)量相倚而變的過(guò)程提供了進(jìn)行數(shù)量上研究的方法。既然高等數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容總是動(dòng)態(tài)的，那么我們總是以傳統(tǒng)的靜態(tài)的方式去傳授知識(shí)，必然不能取得好的教學(xué)效果。而Mathematica中的交互式函數(shù)Manipulate功能強(qiáng)大，僅需輸入幾行命令即可快速的創(chuàng)建完整的動(dòng)態(tài)界面，可以實(shí)現(xiàn)高數(shù)理論的動(dòng)態(tài)化。

Manipulate輸入格式為：

Manipulate［expr，{x，xmin，xmax}］

上述命令產(chǎn)生一個(gè)帶有控件的expr的版本，該控件允許對(duì)變量x進(jìn)行交互式操作。expr是程序設(shè)計(jì)區(qū)，用于完成程序的書(shū)寫(xiě)，實(shí)質(zhì)是一種函數(shù)式的編程語(yǔ)言［10］。x是程序的控制變量，（xmin，xmax）是變量x的取值范圍。把Manipulate函數(shù)引入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，可以通過(guò)程序設(shè)計(jì)將高等數(shù)學(xué)中抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式通過(guò)動(dòng)態(tài)圖像的方式具象化，同時(shí)可以通過(guò)改變控制變量的取值，實(shí)現(xiàn)概念公式的動(dòng)態(tài)演示

三、Mathematica交互式程序在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）輔助概念理解

案例1" 無(wú)窮小量的比較的動(dòng)態(tài)演示

無(wú)窮小量是高等數(shù)學(xué)極限部分的重要知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于抽象思維不夠的學(xué)生而言，無(wú)窮小量的比較這個(gè)概念一直以來(lái)都是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，無(wú)窮小的比較實(shí)際上比的是兩個(gè)不同無(wú)窮小量在同一變化趨勢(shì)上趨近于零的速度。顯然，這其實(shí)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，如果僅僅通過(guò)語(yǔ)言和符號(hào)的描述，學(xué)生很難體會(huì)其中的規(guī)律，無(wú)法把握其中的核心思想。而借助Mathematica中的交互式函數(shù)Manipulate可以將無(wú)窮小量在趨于零的過(guò)程中進(jìn)行演示，幫助學(xué)生直觀地理解無(wú)窮小量比較這一抽象的概念。

下面我們選取x、x2、x2、sinx四個(gè)函數(shù)對(duì)無(wú)窮量比較的概念進(jìn)行演示，交互式程序?qū)崿F(xiàn)如下：

Manipulate［Column［{Labeled［Style［a，Pink］，x，Left］，Labeled［Style［a2，Green］，x2，Left］，

LabeledStylea2，Brown，x2，Left，Labeled ［Style［Sin［a］，Blue］，Sinx，Lef］，

Show［Plot［{x，x2，x2，Sin［x］}，{x，1，0}，PlotRange

→{{0，b}，{0，b}}，PlotStyle

→{{Pink，Thick}，{Green，Thick}，{Brown，Thick}，{Blue，Thick}}，Epilog

→{PointSize［0.03］，Point［{{a，a}，{a，a2}，{a，a2}，{a，Sin［a］}}，VertexColors

→{Pink，Green，Brown，Blue}］}，PlotLegends

→″Expressions″，AxesLabel

→{x，y}，AxesStyle－gt;Arrowheads［0.03］］，ContourPlot［x==a，{x，0，1}，{y，0，a}，ContourStyle→Dashed］，ImageSize

→Medium］}］，{a，b，0}，{b，1，0.1}，ControlPlacement→Top］

執(zhí)行上述程序，輸出結(jié)果如圖1：

輸出結(jié)果有兩個(gè)滑塊：（1）滑塊a表示x的取值，當(dāng)拖動(dòng)滑塊a時(shí)，圖像中的四個(gè)點(diǎn)會(huì)沿著四條曲線向零無(wú)限逼近，通過(guò)觀察動(dòng)態(tài)過(guò)程可以讓學(xué)生體會(huì)無(wú)窮小量無(wú)限逼近零的含義。（2）滑塊b表示區(qū)間的大小變化，當(dāng)拖動(dòng)滑塊b時(shí)，圖像的坐標(biāo)軸刻度發(fā)生變化，x的取值范圍發(fā)生改變，函數(shù)圖像隨之改變，此時(shí)可以讓學(xué)生通過(guò)觀察四條曲線的貼近程度，來(lái)感受不同的無(wú)窮小量在同一變化過(guò)程中趨于零的速度。

（二） 輔助公式記憶

案例2" 第二重要極限的動(dòng)態(tài)演示

第二重要極限limx→SymboleB@1+1xx=e是高等數(shù)學(xué)極限理論中的重要公式，是計(jì)算1SymboleB@型未定式極限的重要工具，在推導(dǎo)指數(shù)函數(shù)y=ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的導(dǎo)數(shù)公式中發(fā)揮著重要作用，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域具有很好的實(shí)用價(jià)值。由于第二重要極限的證明過(guò)程比較復(fù)雜，教材通常對(duì)第二重要的極限的證明不做要求，但是跳過(guò)證明直接給出公式就會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得突兀，難以記住公式的結(jié)論，理解不透公式的實(shí)質(zhì)。因此，如何更好地給學(xué)生展現(xiàn)第二重要極限的結(jié)論，一直都是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難題。針對(duì)這個(gè)難題，解決方法通常是先引入復(fù)利模型，然后通過(guò)對(duì)復(fù)利模型這個(gè)特殊問(wèn)題進(jìn)行分析和計(jì)算，給出第二重要極限的結(jié)論。在對(duì)復(fù)利模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，傳統(tǒng)方式都是靜態(tài)列表，但是如果能將計(jì)算過(guò)程動(dòng)態(tài)展示，課堂效果會(huì)更好。

下面我們利用Mathematica軟件對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行計(jì)算，討論當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，y的值如何變化，交互式程序?qū)崿F(xiàn)如下：

f［x_］：=（1+1/x）x；m=Limit［f［x］，x-gt;Infinity］；

Manipulate［Row［{\"y=（1+1/x）x=\"，（Inactive［Plus］［1，F(xiàn)ramed［1/a］］）^Framed［a］，\"=\"，F(xiàn)ramed［SetPrecision［（1+1/a）^a，10］］}］，{a，1，100000}，ControlPlacement-gt;Top］

執(zhí)行上述程序，輸出結(jié)果如圖2：

移動(dòng)上述輸出結(jié)果中的滑塊a，學(xué)生可以看到當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，y的值在無(wú)限接近一個(gè)常數(shù)，并且我們也能夠從這個(gè)動(dòng)態(tài)的結(jié)果中直觀地發(fā)現(xiàn)，“1+”后面的方框里的值無(wú)限接近0，括號(hào)外面的指數(shù)值無(wú)限增大，這種動(dòng)態(tài)演示有利于學(xué)生理解第二重要極限的實(shí)質(zhì)，從而幫助學(xué)生更好地記憶公式。

案例3" 定積分幾何意義的動(dòng)態(tài)演示

定積分是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它可以用來(lái)求曲線下的質(zhì)心、弧長(zhǎng)、面積、體積等。定積分的幾何意義則與被積函數(shù)y=f（x）的曲線和x軸所圍成的面積有關(guān)，如果函數(shù)曲線在x軸上方，則定積分的值與面積相等，如果函數(shù)曲線在x軸下方，則定積分的值與面積互為相反數(shù)。但是在日常教學(xué)中，對(duì)于函數(shù)曲線在x軸下方的情況，學(xué)生總是忘記定積分的值與面積互為相反數(shù)這個(gè)結(jié)論。為了幫助學(xué)生更好地記住定積分的幾何意義的公式，我們借助Mathematica軟件，將定積分幾何意義做成動(dòng)畫(huà)，加深印象。

交互式程序?qū)崿F(xiàn)如下：

Manipulate［Module［{area1，area2，k，pt，pt2，curve，fill}，

area1=Integrate［f［x］，{x，－5，p1}］；area2=積分值 =lt;

gt;ToString［Round［area1，.01］］；If［f［p1+.00001］gt;0，k=1，k=－1］；k；

pt=Graphics［{PointSize［Medium］，Point［{p1，f［p1］}］}］；

pt2=Graphics［Point［{p1，area1}］］；

curve=Plot［f［t］，{t，－5，5}，Ticks→{Table［i，{i，－7.5，7.5，2.5}］}，PlotLabel

→Row［{″被積函數(shù)″}］，AxesLabel→{x，y}，AxesStyle－gt;Arrowheads［0.03］］；fill=Plot［f［t］，{t，－5，p1+.00001}，F(xiàn)illing→{1

→{0，{RGBColor［.80，0，0］，RGBColor［.25，.43，.82］}}}，F(xiàn)illingStyle

→RGBColor［.25，.43，.82］］；Labeled［Column［{Text@Row［{Style［″藍(lán)色面積正值″，RGBColor［.25，.43，.82］，Bold，Medium］，\"\"，Style［″紅色面積負(fù)值″，RGBColor［.80，0，0］，Bold，Medium］}］，\"\"，Show［{curve，fill，pt}，ImageSize

→{375，200}］}，Alignment→Center］，Text@Style［area2，Bold］，Top］］，{{p1，－5，″積分區(qū)間″Invisible［π/4］}，－5，5，1，Appearance

→″Labeled″，ImageSize→Tiny}，ControlPlacement

→Top，TrackedSymbols{p1}，Initialization（f［x_］：=x－2Sin［x］；）］

執(zhí)行上述程序，輸出結(jié)果如圖3：

上述輸出結(jié)果畫(huà)出了被積函數(shù)f（x）=x－2sinx的曲線，并計(jì)算了定積分的值，當(dāng)曲線在x軸下方時(shí)，選擇用紅色填充曲線與x軸圍出的圖形，當(dāng)曲線在x軸上方時(shí)，選擇用藍(lán)色填充曲線與x軸圍出的圖形。當(dāng)拖動(dòng)滑塊時(shí)，積分區(qū)間發(fā)生改變，從動(dòng)態(tài)的圖像中學(xué)生可以清楚地觀察，當(dāng)f（x）=x－2sinx在區(qū)間上小于零時(shí)，得到的積分值是負(fù)的，而當(dāng)f（x）=x－2sinx在區(qū)間上大于零時(shí)，得到的積分值是正的。通過(guò)這種動(dòng)態(tài)的演繹可以加深學(xué)生對(duì)定積分幾何意義的理解，從而幫助學(xué)生更好地記憶定積分幾何意義的公式。

（三）輔助定理教學(xué)

案例4" 拉格朗日中值定理的可視化

拉格朗日中值定理內(nèi)容如下：

如果函數(shù)f（x）滿足，在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，那么（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c（alt;clt;b），使等式f（b）－f（a）=f′（c）（b－a）成立。

拉格朗日中值定理作為微分中值定理的重要成員之一，在整個(gè)高等數(shù)學(xué)微分學(xué)中占據(jù)重要地位，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)高數(shù)課程的理論基礎(chǔ)。教師在講解這部分內(nèi)容時(shí)，通常都是直接給出定理的內(nèi)容，然后通過(guò)簡(jiǎn)單的圖像說(shuō)明定理的幾何意義，最后利用已有的知識(shí)對(duì)定理加以證明。這種教學(xué)方式略顯枯燥，不利于學(xué)生掌握拉格朗日定理的內(nèi)容，也不利于學(xué)生理解定理的幾何意義，更不利于學(xué)生使用定理解決問(wèn)題。

下面我們以f（x）=x－3cosx、f（x）=13x2－15ex、f（x）=4sinx三個(gè)函數(shù)為例，借助Mathematica軟件中的Manipulate函數(shù)將動(dòng)態(tài)的拉格朗日定理展現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生更好地理解拉格朗日定理。交互式程序?qū)崿F(xiàn)如下：

f［1，x_］=x-3*Cos［x］；

f［2，x_］=（1/3）x2-（1/5）Ex；

f［3，x_］=4*Sin［x］；

Manipulate［Column［{Labeled［（f［m，b］-f［m，a］）/（b-a），Style［\"k=\"，Italic］，Left］，Show［Plot［f［m，x］，{x，-5，5}，PlotRange-gt;{{-6，6}，{-8，8}}，PlotLegends-gt;\"Expressions\"，PlotStyle-gt;{Thickness［0.008］}，AxesLabel-gt;{x，y}，AxesStyle-gt;Arrowheads［0.03］，Epilog-gt;{PointSize［0.03］，Point［{{c，f［m，c］}，{a，f［m，a］}，{b，f［m，b］}}，VertexColors-gt;{Orange，Black， Black}］， Style［Text［StringJoin［\"f\"，\"（\"，\"c\"，\"）\"］，{c，f［m，c］-1}］，Orange，F(xiàn)ontSize-gt;18，F(xiàn)ontFamily-gt;\"Times\"］}，PlotLabel-gt;Style［Row［{Style［\"f'\"，Italic］，\"（\"，c，\"） = \"，D［f［m，x］，x］/.x-gt;c}］，12，Orange］］，Plot［Evaluate［（D［f［m，x］，x］/.x-gt;c）*（x-c）+f［m，c］］，{x，-4，4}，PlotStyle-gt;Orange］，Graphics［{{Thickness［0.002］，Dashed，Line［{{a，0}，{a，f［m，a］}}］，Text［Row［{Style［\" a\"，15，F(xiàn)ontFamily-gt;\"Times\"］}］，{a，-0.5}］}，{Thickness［0.002］，Dashed，Line［{{b，0}，{b，f［m，b］}}］，Text［Row［{Style［\" b\"，15，F(xiàn)ontFamily-gt;\"Times\"］}］，{b，-0.5}］}，{Red，Dashed，Thickness［0.006］，Line［{{a，f［m，a］}，{b，f［m，b］}}］}}］，Ticks-gt;None，ImageSize-gt;Medium］}］，{a，-4，-1}，{b，4，1}，{c，a，b}，Grid［{{Control［{{m，1，Row［{Style［f，Italic］，\"（\"，Style［\"x\"，Italic］，\"） =\"}］}，{1-gt;TraditionalForm［Expand［f［1，x］］］，2-gt;TraditionalForm［Expand［f［2，x］］］，3-gt;TraditionalForm［f［3，x］］}，ControlType-gt;PopupMenu}］，Spacer［40］}}］，SaveDefinitions-gt;True，ControlPlacement-gt;Top］

執(zhí)行上述程序，輸出結(jié)果如圖4：

輸出結(jié)果有三個(gè)滑塊：滑塊a用來(lái)控制區(qū)間左端點(diǎn)的位置，滑塊b是用來(lái)控制區(qū)間右端點(diǎn)的位置，當(dāng)我們移動(dòng)滑塊a或滑塊b時(shí)，可以改變區(qū)間的長(zhǎng)度；而移動(dòng)滑塊c可以用來(lái)尋找切線與過(guò)兩端點(diǎn)的弦平行的點(diǎn)。這個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程可以更好地展現(xiàn)拉格朗日中值定理的幾何意義，加深定理在學(xué)生腦海中的印象。而且，我們也可以通過(guò)f（x）的位置來(lái)更改函數(shù)，通過(guò)觀察不同的函數(shù)的動(dòng)態(tài)演示，使結(jié)果更有普遍意義。

結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)利用Mathematica的交互式程序，將高等數(shù)學(xué)中的無(wú)窮小量比較的概念、第二重要極限公式和拉格朗日中值定理以動(dòng)態(tài)的形式展示出來(lái)。這種教學(xué)方式既可以改善教師的教學(xué)質(zhì)量，又可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。Mathematica除了Manipulate函數(shù)具有動(dòng)態(tài)演示的功能，Table函數(shù)和Animate函數(shù)也同樣具有動(dòng)態(tài)可視化效果，如果能夠有效發(fā)揮各個(gè)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，可以極大提高高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)效果，因此Mathematica交互式程序在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中仍有很大的應(yīng)用前景。

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