基于APOS理論促進學生深度理解概念

蔡靜

［摘 要］APOS理論是一種具有數學學科特色、以建構主義為基礎的學習理論。APOS理論可用于指導小學數學的概念教學。文章以“圖形的認識”教學為例，提出關于小學數學圖形概念教學的四個建議，助力“圖形的認識”概念課教學的真正落地，促使學生發展空間觀念。

［關鍵詞］APOS理論；圖形概念；幾何教學

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）26-0059-04

APOS理論是美國數學家杜賓斯基等人提出的數學教學理論。它將學生的數學概念學習過程科學地劃分成活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四個階段，同時指出每個階段對學生的教學要求：活動階段是學生經歷學習活動的過程，目的是更好地感知概念、建立表象；過程階段是學生在經歷活動階段后對活動進行思考和反思的過程，目的是抓住概念的本質；對象階段是學生在經歷活動和過程這兩個階段后，能夠自己對要學習的數學概念賦予定義和符號化的過程，目的是達到精致化；圖式階段是學生將原有認知結構中相關的概念與新獲得的概念進行聯系的過程，目的是形成新的概念圖式。

一、APOS 理論有助于指導小學數學圖形概念的教學

圖形與幾何在小學階段包括“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩大主題。本文主要研究圖形的認識。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，圖形的認識主要是對圖形的抽象。具體表現為：學生經歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關系；積累觀察和思考的檢驗，逐步形成空間觀念。

APOS理論是針對數學概念學習的建構學習理論，能夠很好地幫助教師規劃“圖形的認識”概念課教學的順序和過程，對教學具有指導意義。例如，活動階段，強調通過學生外顯的觀察和動手操作或內隱的思維活動，實現對概念的自主探究和初步感知；過程階段，強調反思總結，實現對概念的理性認識；對象階段，強調通過同化或順應，用自己的語言或數學語言對圖形進行表征，實現概念的精致化；圖式階段，強調建構總體的知識網絡，建立圖形與圖形之間、圖形內部元素之間的聯系。通過這四個階段，讓學生經歷動手操作、自主探究、解決問題、創造應用等過程，將概念形成與概念同化有機地結合在一起，揭示概念本質屬性，建構系統化的概念圖式，達到對概念的深度理解。

二、APOS 理論視角下小學數學圖形概念教學建議

1.活動階段，現實入學

（1）創設真實情境，激發學習興趣

小學生對圖形的感知多來源于生活情境。而圖形的原型在生活中的呈現方式會附帶一些無關數學研究的特征，這就需要教師進行選擇，既要創設真實情境，激發興趣，又要與圖形的特征緊密相連。如設計認識三角形時，課前可以播放實驗視頻“三根火柴吊起一瓶水，是真的嗎？”。

師：我們來看實驗中這張非常關鍵的圖（如圖1），這里有你認識的圖形嗎？

生（齊）：三角形。

師：看來大家都知道什么樣的圖形是三角形了，那在生活中還有哪些地方能見到三角形？

（教師引導學生舉例，并引入本課題）

學生對生活中的三角形有一定認識，導入環節如果只是生活中的三角形圖片會比較枯燥，通過實驗視頻導入，能使課堂更加鮮活，同時也為后續介紹三角形的穩定性埋下伏筆。

（2）精準設計問題，突出本質特征

小學生掌握圖形的概念需要經歷思維過程，教師要合理設計問題。問題太大，容易造成學生對概念學習浮于表面、無從下手；問題太小，容易造成學生對概念的認識呈離散點狀。對此，教師需要聚焦概念的本質特征，精準設計問題。如在認識三角形的高時，筆者出示研究對象——“人”字梁（如圖2），并設計三個問題：①如果要測量“人”字梁的高度，你認為該從哪里量到哪里？②實際上是量圖中的哪條線段？③量的線段和底邊的線段有什么關系？

小組討論，匯報交流。從“‘人’字梁的高”自然抽象出“三角形的高”，使學生對三角形的高定義的理解水到渠成，也使學生對高的本質特征“點到對邊的垂直線段”形成深刻印象。

（3）操作方式多樣，體現手腦并用

操作是學生認識圖形最有效的方法之一。在教學中，為了更有序、更高效地進行操作，教師可以設計有步驟、有目的、有成果的操作活動來提高課堂效率。如教學認識長方形和正方形時，可以設計三個活動來進行操作。

【活動1】

①拿出一張長方形紙片，量一量、折一折、比一比。

②小組討論：長方形的邊和角各有什么特點？

【活動2】

①拿出一張正方形紙片，根據剛才的方法驗證正方形的邊和角的特點。

②小組討論：正方形的邊和角各有什么特點？

【活動3】

①另外拿出一張長方形紙片，在這個長方形中剪出一個最大的正方形。

②同桌合作，交流方法。

三個活動在設計上具有層次性、目標性，讓學生在探索的過程中一步一步觸及知識的本質。

2.過程階段，強調反思

（1）堅持學生主體，自主探索知識

APOS理論重視學生主體地位。因此，教師可將學生的自學環節設計在教學環節中。如在認識梯形時，組織學生先自學教材內容，并與同桌交流，再請學生介紹梯形各部分的名稱。筆者隨機將梯形轉動一定角度，再請學生指認梯形的上底、下底和腰。學生總結：不管怎樣轉動，梯形的上底、下底總是平行的，兩條腰不平行。這樣“自學+匯報+反思”的學習方式，鍛煉了學生自主學習的能力。

（2）注重反省思考，提升理性思維

APOS理論強調只有不斷反思，學生才會對知識有深度的認識。如在研究圓的半徑與直徑的關系時，針對個別學生提出的“兩條半徑等于一條直徑”，組織學生討論這樣的說法是否恰當。學生認為，從長度的角度來說，兩條半徑的長度等于一條直徑的長度，即d=2r，但從位置的角度來說，這種說法是錯的。再如學生通過研究提出“直徑是圓內最長的線段”，教師可鼓勵學生利用三角形的三邊關系“兩邊之和大于第三邊” （如圖3）進行思辨。

（3）重視多維互動，促進概念建構

APOS 理論注重為學生創建氛圍良好的學習環境。課堂教學離不開討論、表達、傾聽等互動方式。如教學圓柱的表面積時，學生動手操作，主動探究圓柱的側面積。在匯報交流時學生發現，圓柱的側面雖有兩種剪法（沿著高線剪、不沿高線剪），但是圓柱的側面展開圖都可轉化成長方形。通過對比觀察圓柱的側面與展開圖，學生找到圓柱的底面周長、高與側面展開圖之間的對應關系。最后，學生總結出圓柱的側面積及圓柱的表面積計算公式。整個過程環環相扣，層層遞進，師生互動，生生互動，共同促進了思維的發展。

3.對象階段，引導深學

（1）關注練習設計，把握圖形特征

對象階段要求學生將前兩個階段獲得的新知在頭腦中進行加工和整合（同化或順應）。如何推動這樣的加工有效進行？練習的設計就顯得尤為重要。教材上的練習題都是精心設計的，教師可以充分挖掘其價值，創造性地進行練習設計。如在軸對稱圖形的練習中，將原來單一層次的練習改編成四個層次的練習（如圖4）。學生在這樣有層次的練習活動中，根據軸對稱圖形的特點進行聯想，促進空間觀念自然成長。

（2）引導說理辨析，觸及圖形本質

學生在認識圖形中容易犯的錯誤主要集中在對圖形外觀的認識和對本質特征的理解上。教師可以多創造一些機會，針對學生學習新概念時可能產生的誤解設計一些判斷題、選擇題，引導學生說理辨析，用語言表達自己的思考。這樣能使學生的思維外顯，讓教師不僅能夠看到學生思考問題的過程，還能及時地給予指導，同時讓更多的學生發表自己的看法，讓學生在師生交流、生生交流的過程中對自己已有的認識進行修正和完善。

（3）聚焦核心素養，發展空間觀念

空間觀念是一種重要的核心素養表現，要想落實在日常教學中，教師應思考設計相應的教學活動和評價任務。如在圓的認識練習中，將生活與圓的有關知識聯系起來。

師（出示圖5）：你們研究半徑的時候，畫過這樣的圖嗎？聯想一下，生活當中你見過類似的物體圖形嗎？

生1：比薩餅。

生2：切好的蛋糕。

生3：攔腰切檸檬時形成的切面。

生4：從高空看螺旋槳旋轉的樣子。

師：同學們都有一雙善于發現的眼睛，有的同學還想到了動態的圓，真棒！

數學來源于生活。課始由生活中的圓形物體抽象得到數學中的圓，課中由數學中的圓聯想到生活中鮮活的實例，如此來回呼應，讓學生的思維由具象到抽象，再由抽象到具象，讓學生真正學會用數學的眼光觀察現實世界。

4.圖式階段，注重聯學

（1）注重概念聯系，靈活對比遷移

APOS理論注重概念之間的聯系，強調要充分挖掘學生的已有知識，通過對比遷移，更好地將新概念納入已有的圖式結構，形成新圖式。如在教學梯形時，可以設計“變一變”環節，幫助學生動態感受平行四邊形、梯形、三角形之間的聯系。

師（出示圖6）：怎樣移動點D，使平行四邊形變成梯形？

（學生將點D移到和點C齊平的位置）

師：這樣移動后，哪一組邊互相平行？哪兩條是腰？用手勢比畫一下。為什么這樣移動點D，平行四邊形就變成了梯形？

生1：平行四邊形是兩組對邊平行且相等的圖形，移動點D后就只有一組對邊平行，變成了梯形。

（學生將點D移到接近點A的位置停下）

師：怎么不繼續往前移了？

生2：再移就變成三角形了。當梯形的上底長度變成0時，就成三角形了。

在動態移動過程中，學生充分感受到新舊概念之間的動態聯系，促進了圖形概念間的相互遷移。

（2）打破知識阻隔，構建心理圖式

APOS 理論指出，概念學習的最終目標就是要讓學生建立知識圖式。這需要教師引導學生學會總結，幫助學生在相關聯的內容之間建立多樣化的聯系，形成清晰、穩定的知識結構。在方法上，教師可以采取一些結構化的圖式促進知識的聯系性建構，如集合圖、流程演示圖等。如教學認識梯形時，筆者設計了“猜一猜”環節。

師：魔法袋里藏著一個四邊形，你們猜可能是什么圖形？

師：你能用今天學過的數學語言說一句話，使魔法袋里的圖形是梯形嗎？

師：若已知這個圖形有兩組對邊互相平行，猜一猜，可能是什么圖形？

師（出示部分是直角的圖形）：現在你覺得會是什么圖形？

師（課件出示文字“每條邊長度都相等”）：現在你覺得是什么圖形？

（學生小結，并畫出如圖7所示的四邊形的關系圖示）

（3）重視知識梳理，提升結構思維

APOS理論認為，無論是單個圖式還是多個圖式的建立，都是為了促進圖式間的遷移。因此，在教學中，教師可以提問的方式引導學生對知識進行自我梳理。如“我們今天學習了哪些內容？”“我們是如何學習的？”“我們用了哪些方法進行探索？”等問題。利用這些問題引導學生將復雜的、碎片化的知識以一定的邏輯進行整理，使學生的學習變得有序化、結構化。這樣的教學有利于學生心理圖式的真實展現，也有利于教師了解學生的學習情況。

綜上所述，在APOS理論下的教學中，學生是學習的主體，教師的教學設計要聯系學生的實際，精心選擇利于教學數學圖形概念的內容，使教學內容具有探究性，讓學生在探究的過程中促進對數學圖形概念的學習。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 鄭毓信.小學數學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

[3] 李晨曦. APOS理論視角下小學數學“圖形的認識”概念教學研究[D].漳州：閩南師范大學，2022.

【本文系無錫市“十四五”規劃立項重點課題“基于APOS理論促進深度理解的小學數學概念教學研究”（編號：G/B/2021/03）的階段性研究成果。】

（責編 覃小慧）