生態課堂意義下的導數概念課

所謂數學生態課堂是指數學課堂教學做到兩個尊重和把握兩個度，即尊重學生的認識規律，尊重知識的發生、發展規律.兩個度是指思想高度（主要指哲學思想）和文化厚度.

王靚老師這節“導數的概念”課，筆者認為既做到了兩個尊重又把握了兩個度.具體表現在以下幾個方面.

1 精彩引入，一石數鳥

問題從運動學的平均速度過渡到瞬時速度，這是學生熟悉的知識.通過問題2的追問1—4，計算自由落體運動的物體在1到3秒內的平均速度.然后，分解為1到2秒，2到3秒;再把1到2秒分解為1到1.5秒，1.5到2秒；2到3秒分解為2到2.5秒，2.5到3秒.這樣通過不斷縮小時間差得到不同時間內的平均速度，當時間差趨于0時平均速度是什么？怎么求？由此激發學生認知沖突，引導學生深入思考，既體現了尊重學生的認知規律，也體現了知識的發生、發展規律.

由此提出“很短的時間間隔如何表述？”然后在t= 2之前或之后任取一個時刻2+h，將時間段記為［2+h，2］（hlt;0）或［2，2+h］（hgt;0），運用信息技術優勢，讓學生從表格直觀感受逼近過程：h=0.1時，v=20.5；……h=0.000 000 1時，v=20.000 000 5；h=-0.1時，v=19.5；……h=-0.000 000 1時，v=19.999 999 5.由此得到“過程是動態的，結果是確定的”富有哲理的表述.

[JP3]這從一個層面揭示了事物由量變到質變的過程，經過由lim h→0 "d（2+h）-d（2） h =20到lim h→0 "d（t0+h）-d（t0） h =10t0，再到lim h→0 "f（x0+h）-f（x0） h =f′（x0）的抽象，導數的概念呼之欲出.[JP]

這里有哲學思想的指導，有抽象素養的落實，有邏輯推理能力的培養.

2 概念生成，自然有效

王老師在給出t=2 s時平均速度的計算之后，利用極限運算得出了瞬時速度，并讓學生給出數學表達式，接著讓學生計算t=1 s，t=t0 s時的瞬時速度，然后才給出導數定義.

這一教學過程看似慢了，但導數概念的生成自然順暢，學生對導數概念的理解也會比較透徹.同時，由特殊到一般研究問題的方式也會對學生起到很好的引導作用.

3 講練結合，鞏固概念

后續的例題和練習都圍繞導數在各種不同場景的應用展開，目的在于鞏固函數導數的定義，展示導數廣闊的應用前景，讓學生體會學習導數的意義，加深對學習導數的必要性的認識，提高基本運算能力，使學生對導數定義的理解更深刻.

4 思想文化，提高品位

課堂教學中知識教學、能力訓練是顯性的，哲學（數學）思想在則是隱性的，既無處不在又不顯山露水.數學文化的作用在于加深學生對所學知識的理解，同時提高對所學知識的興趣，讓學生感受到數學既有用又有趣.數學文化對提高課堂教學品位是重要的.

本課中有專門一段提及數學文化，說明了王老師對數學文化的重視.但僅介紹牛頓對微積分的貢獻還不夠，是否可以結合本課內容向學生提出“如何看待定義中h→0”，在沒取極限前左邊h（Δx）不等于0，右邊h=0？數學史上第二次危機由此出現，直到嚴格的極限定義產生才使危機得以化解.這會使許多學生感興趣，課后查閱相關資料的積極性會更高，對導數定義的理解也會更深刻.

5 雙邊互動，氣氛活躍

教師備課時往往想到方方面面，既要考慮教學內容的選取，也要考慮學生能否接受，雖然在課堂上有時不能得以完整實施.王老師這節課教學設計充分考慮了學生實際情況，精心選擇教學內容和教學方法，在課堂上留足時間讓學生參與；老師在課堂上就像主持人一樣提出一個個問題，學生在老師的引導下步步深入，水到渠成引入導數定義，并用定義解釋相關問題，既鞏固了概念也體現了導數定義的價值.

6 信息技術，化難為易

“導數的概念”是較難上出彩的概念課，可以從運動學角度引入，也可以從幾何角度引入，但最后都歸結為變化率的問題，不可避免涉及極限，而極限要求比較低，不足以直接用極限去定義導數.因此，王老師通過Excel（不少教師可能不會用）列表，有效化解難點，體現了現代教育技術的應用價值.

7 一點建議，錦上添花

小結是課堂教學的重要一環，高質量的小結能提升課堂教學品位.現在流行的小結方式是讓學生總結，但學生總結往往集中在知識方面，而育人方面則需要教師從教學內容中提煉出來.

王老師小結有兩句話，第一句的一通過、一利用、一引入非常好，后面可再加上：

搭建一個模型——函數變化率.后面一句話改為：由特殊到一般，由量變到質變，由無意義到有意義，感悟數學抽象與邏輯的魅力，從此，人類進入微積分時代，開啟一個新紀元.還可以用一首打油詩作為小結：

從平均到瞬時，

由極限到導數，

認識不斷完善，

歷史進入新元.

這樣，這節課就更完美了.