從不同教科書看直觀想象素養的滲透

摘 要： 直觀想象素養可以幫助學生借助幾何直觀和空間想象感知抽象理論，從而降低學習難度，提高解決數學問題的能力，因此將直觀想象素養滲透于教材中格外必要.教科書是教師教學的主要資源和重要依據，是學生學習的載體，是無數專家學者的心血，因此教師可以將其他版本教材作為教輔材料使用，不僅可以豐富教學內容，還能讓學生從多角度理解知識，打開思路.本文中以基本不等式為例，分析直觀想象素養在人教A版、人教B版、蘇教版三個版本教材中的不同呈現，并進一步思考三個版本的異同，為未來教學提供方向.

關鍵詞： 教材比較；基本不等式；直觀想象

基本不等式是高中階段不等式學習的核心內容和重要節點，具有承上啟下的作用[1].從數學素養的角度來看，基本不等式的學習過程中蘊含著多種核心素養.首先，提到基本不等式我們就會想到數學運算和邏輯推理素養，因為與不等式有關的題目基本上都要運用計算或證明.其實，基本不等式的學習中還蘊含著其他數學核心素養，比如，從情境中抽象出基本不等式要用到數學抽象素養、提煉基本不等式的幾何意義時要用到直觀想象素養，等等.基本不等式的抽象性導致不少學生產生了畏難情緒，而直觀想象素養可以化抽象為直觀，幫助學生理解基本不等式，從而降低學習難度.因此，直觀想象素養在基本不等式學習中非常重要.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數學問題的一種素養[2].從課程標準可以看出，直觀想象包含兩點，分別是幾何直觀與空間想象.幾何直觀是借助圖形清晰直觀地描述和分析數學問題，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，進而解決問題的能力.空間想象是直接通過感知去理解圖形及其性質的能力.直觀想象主要表現在四個方面：（1）建立數與形的聯系；（2）借助幾何圖形描述問題；（3）借助幾何直觀理解問題；（4）運用空間想象認識事物[3].

下文將對基本不等式在人教A版、人教B版、蘇教版三個版本教材中的呈現方式進行分析，討論不同教科書中直觀想象素養的滲透方式及異同點.

1 教材分析

1.1 人教A版

基本不等式位于人教A版必修一第二章第二節.

這里教材用舊知重要不等式a2+b2≥2ab來引入基本不等式.首先定義了算術平均數 a+b 2 和幾何平均數 ab ，緊接著用代數法證明基本不等式，但這樣不僅難以理解和記憶，還無法體現基本不等式的幾何意義.因此在代數證明之后，教材設置了一個探究活動，通過讓學生自主探究以加深對基本不等式的印象并得到其幾何意義.在“探究”欄目中，課本利用圓的內接直角三角形，得到半弦長小于等于半徑長，即 a+b 2 ≥ ab ，課本中的圖其實是對古希臘數學家帕普斯的半圓模型[4]的改造（如圖1）.圖中沒有畫出半徑，因此需要學生進行一些思考.在這一過程中，學生解決問題的能力得到提高，直觀想象素養也有所發展.

該版本在例題與習題部分通過基本不等式的實際應用培養學生的直觀想象素養：讓學生從實際問題中抽象出圖形，訓練幾何直觀能力；讓學生通過各圖形的性質找出周長與面積的關系，訓練空間想象能力.

1.2 人教B版

基本不等式在人教B版中稱為均值不等式，位于必修一第二章第二節“不等式”中.

與人教A版相似，B版首先定義了算術平均值 a+b 2 和幾何平均值 ab ，但并沒有直接進行代數證明，而是提出問題“幾何平均值有什么幾何意義？”引導學生從幾何角度建立幾何平均值與圖形的聯系.在此基礎上，教材設置了“嘗試與發現”板塊，引導學生利用矩形的周長和面積得出算術平均值和幾何平均值的幾何意義.這一部分雖未正式證明基本不等式并說明其幾何意義，但毋庸置疑地向學生滲透了直觀想象素養，同時為之后從幾何角度證明基本不等式奠定了基礎.在嚴格的代數證明之后，教材根據之前得到的平均數的幾何意義，引導學生得到了基本不等式的幾何意義，即“所有周長一定的矩形中，正方形的面積最大”這一結論.

這一版本中，教材先建立了幾何平均值的圖形聯系，接著探究幾何平均值和算術平均值的幾何意義，在此基礎上得出了基本不等式的幾何意義，環環相扣，層層推進.在本節最后的“探索與研究”環節，給出帕普斯的半圓模型，讓學生自主探究基本不等式的另一種幾何意義，如圖2所示.這將進一步加深學生對基本不等式的理解和記憶.B版給出的兩種幾何意義，充分滲透了直觀想象素養.

人教B版在例題與習題部分與人教A版相似，也是通過實際問題，如“菜地的周長和面積”來引導學生發展直觀想象素養.

1.3 蘇教版

蘇教版的基本不等式位于必修一的第三章的第二節中.

和人教B版一致，首先給出了算術平均數 a+b 2 和幾何平均數 ab 的定義.但是，這一版的引入方式較為新穎：同一個物品放在不精確的天平兩端時得到的質量不相同，分別是a和b，通過表示物品質量的平均值讓學生思考幾何平均數與算術平均數的關系.從與學生生活密切相關的實際問題引入，不僅可以快速激發學生的興趣，還可以讓學生更直觀地感受到兩個平均數的不同，這樣的引入方法雖然不明顯，但同樣滲透著直觀想象素養.因為很多學生對直觀想象的認識比較模糊、抽象，這樣的現實情境問題可以驅動教學，促進學生直觀想象素養的發展[5].

證明方式上，蘇教版和人教A版一致，通過帕普斯的半圓模型，得出了 a+b 2 和 ab 的大小關系（如圖3）.接下來，教科書還采用了三種代數方法嚴格證明了基本不等式.教材將幾何意義放在代數證明之前，可以讓學生對枯燥的代數法產生興趣，既發展了學生的直觀想象素養，還通過幾何直觀發展了學生邏輯推理能力.此外，在課后練習題中，該版本教材引用了我國古代趙爽的“弦圖”來引導學生自主探究 a+b 2 和 ab 的不等關系，這個方法在人教A版中用來引出重要不等式.

2 對比分析

“基本不等式”之所以基本，是因為它表示了代數平均數 a+b 2 與幾何平均數 ab 兩個基本量之間的關系，且結構簡單，變化多樣[6].“基本不等式”的教學難點是發現和證明基本不等式，但由于它具有豐富的幾何意義，無論是發現還是證明，都可以借助幾何圖形降低難度.直觀圖形能調動學生的多重感官，使其獲得直觀感知，還能促使學生多角度、多層次認識新知，滲透直觀想象素養.通過前面的分析，可以看出各個版本教科書對于基本不等式的證明和引入都做了一番設計.下面從發現（引入）基本不等式、證明基本不等式、例題習題三個方面進一步思考三個版本的異同.

2.1 引入

幾何圖形可以激發學生的直觀想象素養[7].三個版本教科書為了在基本不等式的學習中滲透直觀想象素養，均設置了一些帶有幾何特點的情境引入（見表1）.人教A版教科書選擇了趙爽弦圖，“弦圖”不僅結構簡潔優美，還具有數學文化的特點，能夠體現數學學科的育人價值.人教B版采用矩形引入，矩形作為學生最熟悉的圖形方便學生理解和遷移.蘇教版采用實際情境引入，不僅直觀還具有趣味性.

2.2 證明

各版本教材都對基本不等式從幾何角度進行了證明，即通過圖形動態地展示基本不等式從“不等”到“相等”的過程[8].從幾何角度證明不等式，有兩種方法：一是直接給出幾何圖形，根據圖形做出基本不等式的幾何解釋（根據圖來證明）；另一種方法則是不給出圖形，讓學生自己構造圖形進行證明.縱觀各個版本教科書，均直接給出幾何圖形讓學生利用幾何圖形去驗證基本不等式（見表2），并沒有出現讓學生構造幾何模型去驗證基本不等式，可能是考慮到這種要求對于學生來說還是很難達到的.各版本教科書給出的圖形基本是帕普斯半圓模型，但不同的教科書在使用半圓模型時也略有區別.比如，人教A版中，沒有給出半徑，只是給出了半弦，此時還需要學生去構造出半徑，增加了難度.

2.3 例題與習題

直觀想象核心素養的培養依賴于數學問題[9]，因此例題和習題對于培養學生的直觀想象素養發揮著不可或缺的作用.例習題方面，三個版本教材均設置了一些幾何問題讓學生借助圖形進一步理解基本不等式.不管是人教A版、B版還是蘇教版，幾乎所有例題習題都需要學生發揮幾何直觀能力和空間想象能力將數與形相聯系，借助圖形解決問題.這一過程不僅加強了學生對基本不等式的理解，還有助于培養學生的直觀想象素養.在蘇教版的習題中還出現了趙爽弦圖，這進一步體現出了趙爽弦圖的重要性.總之，各個版本在例習題上差別不大，都設置了幾何問題，幫助學生鞏固基本不等式，發展直觀想象素養.

通過對各版本教科書的研究，可以發現直觀想象素養貫穿了基本不等式學習的各個環節（不等式的引入、不等式的證明、習題鞏固）.教科書的設計在結合學生認知規律的同時，還為不同層次學生直觀想象素養的發展提供了平臺，為學生直觀想象的發展營造了氛圍，創造了契機.

直觀想象是數學思維能力在解決問題中的重要體現，憑借直觀想象可以培養學生的數形結合能力，實現化抽象為具象，從而有效降低知識的難度，使學生認知和理解數學知識的本質，進而促進學生理性認識的生成，使學生體會到數學的價值[10]，最終實現“學生愛上數學”的目的.雖然直觀想象素養的概念是相同的，但是各個版本在其體現方式上有所不同，所以教師使用教材時應多對比，取眾家之長.本文中通過比較各個教材對于基本不等式的呈現方式，發現各版本教材在培養學生直觀想象素養上都有其不同的特色和優勢，教師在教學中可以借鑒其他版本教材內容，豐富學生課堂體驗.比如，學習基本不等式時，蘇教版可以引入人教A，B版的幾何解釋來發展學生直觀想象素養.

參考文獻：

［1］ 黃婭，張波.中學數學教師“基本不等式”部分MKT調查研究[J].數學教育學報，2016，25（4）：84-88.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］ 張小英.近三年高考“立體幾何”考點分析——直觀想象核心素養的視角[J].福建中學數學，2021（2）：1-3.

［4］汪曉勤.帕普斯的幾何命題與三角公式[J].中學數學教學參考，2006（11）：54-55.

［5］劉金旺，陳穎.高中數學教學中直觀想象素養的培養[J].當代教育理論與實踐，2022，14（2）：1-5.

［6］龐志雷，吳登文.核心內容類單元教學設計案例——以“基本不等式”為例[J].中學數學教學參考，2020（19）：51-55.

［7］崔文.直觀想象素養在高中數學課堂教學中的落實——以立體幾何、解析幾何、代數的解法為例[J].中小學課堂教學研究，2019（5）：38-43.

［8］宋莉莉.在回顧、梳理基礎上提煉、遷移，發展一般性的思想方法——《普通高中教科書·數學（人教A版）》（第一冊）第二章“一元二次函數、方程和不等式”的教材設計與教學思考[J].中學數學教學參考，2019（31）：19-22.

［9］朱立明，胡洪強，馬云鵬.數學核心素養的理解與生成路徑——以高中數學課程為例[J].數學教育學報，2018，27（1）：42-46.

［10］王成麗.布盧姆教育目標分類學指導下的高中數學學科核心素養之直觀想象研究——以“橢圓及其標準方程”為例[J].中國數學教育，2019（6）：28-34.