巧用源于教材的變式拓展提升學生素養

摘要： 尋源頭，深挖教材，在學生最近發展區內串聯教材各考點的知識，及時總結，強化知識的系統認識，活用教材結論解決綜合問題，讓學生學會探索和研究，能夠舉一反三，觸類旁通，培養學生的分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞： 教材；探源；拓展；素養

數學教學離不開解題，掌握數學就意味著要善于解題. 解題不僅僅是單純的解答或推證出結果，更重要的是如何探源溯流，找尋試題結論的本質，挖掘試題背后蘊藏的思想，通過解題引發學生思考與交流，提升數學思維能力，形成和發展學生的數學學科核心素養.

1 從源頭探究

例1 "求直線l1：3x+4y－2=0和l2：2x+y+2=0的交點坐標.

解析： l1和l2的交點為M（－2，2）.過程略.

評注： 這是人教A版普通高中數學選擇性必修第一冊第70頁例1，基礎題，主要考查兩條直線的交點問題，考查學生的“數學運算”核心素養，其實質就是聯立直線方程，求解方程組.

思考： 交點為M（－2，2）的直線l1和l2唯一嗎？，若不唯一，如何表示？

眾生：不唯一.

師：我們把過該點的直線叫直線系，如何用方程來表示，請先看下面的探究.

拓廣探究： 已知λ為任意實數，當λ變化時，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示什么圖形？圖形有何特點？

分析1： "令3x+4y－2=0且2x+y+2=0，則方程組的解是x=－2，y=2，即方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示過點M（－2，2）的一族直線系.

分析2： "令λ=0，1時，分別得到方程3x+4y－2=0和x+y=0，聯立方程并解得x=－2，y=2，即方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示經過點M（－2，2）的一族直線系.

變式 ""不論λ為何值，直線（3+2λ）x+（4+λ）y－（2+2λ）=0都恒過定點 """"".

在教學中從典例出發，適時改編設問方式換一副“新面孔”，有助于學生創新意識和創新精神的培養，在變式中抓住題源，似曾相識，更能充分調動學生的積極性，開闊視野，發展核心素養.這種含參直線恒過定點的問題在實際應用中較為廣泛，如在圓錐曲線有關定點、定值問題中常常用到這種方法.

2 從特殊到一般拓展探究

例2 ""已知直線l1：A1x+B1y+C1=0與直線l2：A2x+B2y+C2=0相交，證明方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0 （λ∈ R ）表示過l1與l2交點的直線.

證明： 設P（x0，y0）是直線l1與l2的交點，則有A1x0+B1y0+C1=0且A2x0+B2y0+C2=0.于是A1x0+B1y0+C1+λ（A2x0+B2y0+C2）=0（λ∈ R ），所以D（x0，y0）也是直線A1x+B1y+C1+λ·（A2x+B2y+C2）=0（λ∈ R ）上的點.問題得證.

評注： 本題涉及過兩條相交直線交點的直線系方程如何寫；反之，如何求出含參的直線系的交點坐標. 特別地，若P（x0，y0）是兩條互相垂直的直線l1與l2的交點，則過點P的直線系方程是y－y0=k（x－x0），即（y－y0）－k（x－x0）=0，應用十分廣泛.

先從直線方程的特殊性（x，y的系數及常數項已知）到直線方程一般式（x，y的系數及常數項未知）的變式，再到用變化的觀點去學習教材知識，抓住直線“變”與交點“不變”的核心，培養學生的創新意識.同時，這種變式的方法為發揮教材中習題的典型性、示范性提供了可借鑒的方法［1］.

3 類比聯想，拓展圓系方程探究

由直線系方程是否可以聯想到圓系方程呢？回答是肯定的.把“兩條直線相交”改為“兩圓相交”，可以類比寫出圓系方程，這樣可獲得同類知識的相關結論并靈活加以運用.

例3 ""求圓心在直線x－y－4=0上，并且經過圓x2+y2+6x－4=0與圓x2+y2+6y－28=0的交點的圓的方程.

解析1： "聯立兩圓方程，求解得交點坐標A（－1，3）， B（－6，－2）.又圓心在AB中垂線上，所以聯立方程x+y+3=0與x－y－4=0，得圓心C "1 2 ，－ 7 2 "，求得|CA|= "89 2 "，進而求出所求圓的方程為x2+y2-x+7y-3=0.

解析2： "設經過兩圓交點的圓系方程為x2+y2+6x－4+λ（x2+y2+6y－28）=0，即（1+λ）x2+（1+λ）y2+6x+6λy－4－28λ=0，其圓心 － 3 1+λ ，－ 3λ 1+λ "在直線x－y－4=0上，求得λ=－7，進而求出所求圓的方程為x2+y2-x+7y-3=0.

評注： 解析2正是例2結論的推廣，利用此結論解題能打破常規思維（如解析1），方法簡便，過程簡潔.

4 類比聯想，拓展曲線系方程探究

除直線系方程和圓系方程外，我們大膽地聯想還會有“橢圓系”“雙曲線系”以及“拋物線系”方程，而這些方程可用“曲線系”方程代表.聯想、類比獲得同類知識的相關結論，能使學生在解題過程中體會、理解解決這類問題方法和區別所在，提高學生分析問題的能力.

例4 """已知曲線C1：f1（x，y）=0與C2：f2（x，y）=0相交，證明方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0 （λ∈ R ）表示過C1與C2交點的曲線.

本題仿照例2容易得證，利用此結論易求教材第98頁習題2.5的第7題：求經過M（2，－2）以及圓x2+y2－6x=0與x2+y2=4交點的圓的方程.

解法1 "： 聯立兩圓方程，得 x2+y2－6x=0，x2+y2=4， 解得 x= 2 3 ，y= 4 2 "3 ， 或 x= 2 3 ，y=－ 4 2 "3 ，

即兩圓交點為 "2 3 ， 4 2 "3 "和 "2 3 ，－ 4 2 "3 ".由此可知，所求圓的圓心必在x軸上，設其為（a，0），則有

（x－a）2+y2=r2.將交點 "2 3 ， 4 2 "3 "與點M代入，得 "[SX（]2[]3[SX）]－a 2+ [SX（]4[KF（]2[KF）][]3[SX）] 2=r2，

（2－a）2+（－2）2=r2，[JB）]解之得a= 3 2 ，r2= 17 4 .

故所求圓的方程為 x－ 3 2 "2+y2= 17 4 .

解法2： "設所求圓的方程為x2+y2－6x+λ（x2+y2－4）=0.因為M（2，－2）在圓上，將它代入方程，得λ=1，所以所求圓的方程為x2+y2－3x－2=0.

評注： 本題還可以設出圓的一般方程，將三點坐標代入求解. 這兩種解法比較，顯然解法2簡捷明了，精彩紛呈. 解題的關鍵是正確設出圓的方程.這是過兩條曲線交點的曲線系方程的標準形式，也給出了求該曲線恒過某一定點的方法.由易到難、由簡單到復雜的變化，能使學生從變中發現數學題之間的聯系與本質區別以及題目“難”與“易”的辯證關系.

5 直線與圓位置關系中的定點、定值問題

例5 ""已知圓C：（x－1）2+（y－2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0.

（1）求證：直線l恒過定點.（2）直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短弦長.

（1） "證明： "直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0可化為

x+y－4+m（2x+y－7）=0.

令 x+y－4=0，2x+y－7=0， 解得 x=3，y=1.

所以直線l恒過定點A（3，1）.

（2） "解： "直線l被圓C截得的弦長最長時，直線l過圓心；直線l被圓C截得的弦長最短時，弦心距最大，此時CA⊥l.

因為圓心C的坐標為（1，2），所以kCA=－ 1 2 .當直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的斜率為2.

于是－ 2m+1 m+1 =2，解得m=－ 3 4 .

又|CA|= （3－1）2+（1－2）2 = 5 ，所以直線l被圓C截得的弦長的最小值為2 25－5 =4 5 .

評注： 本題考查直線恒過定點與弦長的計算問題.第（1）問利用例2的結論可以獲解；第（2）利用圓的特殊性，明確過圓內定點的弦何時最長，又何時最短，然后利用弦心距、弦之半、半徑構成直角三角形獲解.

如果本題第（1）問證明“不論m為何值時，直線l和圓C恒有兩個交點”，那么只需判斷直線l恒過的定點在圓內即可，或聯立直線和圓的方程，得到含參的關于x的一元二次方程，再用判別式即可判斷.

6 高考真題再現及其結論的應用

我們發現教材基礎題與高考選拔題確實有一定的差異，但不能因此拋開教材，而應更加熟練地掌握教材內容及其中蘊含的方法，這樣才能從容應對“源于教材而高于教材”的高考題.

例6 ""（ 2020年高考數學課標Ⅰ卷理科 ）已知A，B分別為橢圓E： x2 a2 +y2=1（agt;1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG ·GB =8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

解析： （1）如圖1所示.所求橢圓方程為 x2 9 +y2=1（過程略）.

（2） 證明： 設P（6，y0），則直線AP的方程為y= y0－0 6－（－3） （x+3），即y= y0 9 （x+3）.

聯立直線AP的方程與橢圓E的方程，可得 "x2 9 +y2=1，y= y0 9 （x+3）， 消去y，整理得

（y20+9）x2+6y20x+9y20－81=0.

解得x=－3，或x= －3y20+27 y20+9 .

將x= －3y20+27 y20+9 代入直線y= y0 9 （x+3），可得 y= 6y0 y20+9 .

所以點C的坐標為 "－3y20+27 y20+9 ， 6y0 y20+9 ".

同理可得，點D的坐標為 "3y20－3 y20+1 ， －2y0 y20+1 ".

所以，直線CD的方程為

y－ "－2y0 y20+1

= "6y0 y20+9 － －2y0 y20+1 ""－3y20+27 y20+9 － 3y20－3 y20+1 ""x－ 3y20－3 y20+1 ".

整理，得y+ 2y0 y20+1 = 8y0 6（3－y20） "x－ 3y20－3 y20+1 ".

即y= 4y0 3（3－y20） x+ 2y0 y20－3 .

所以y= 4y0 3（3－y20） "x－ 3 2 ".

故直線CD過定點 "3 2 ，0 .

評注： 本題第（1）問主要考查了橢圓的簡單性質及方程思想.第（2）問欲證明直線CD過定點，首先要求出直線CD的方程，這個方程是用點P的縱坐標y0作為參變量表示的；其次，需要分別求出C，D兩點的坐標，而C，D兩點的坐標已知條件說得很清楚；最后，用直線方程的點斜式寫出方程，化為y－y0=k（x－x0）的形式，即可說明直線恒過點（x0，y0）.證明的目標很明確，需要轉化思想和推理論證能力，對學生計算能力的要求較高.學生往往對含字母的運算望而生畏，心有余而力不足，導致證明半途而廢.

7 結束語

挖掘教材知識、串聯教材各考點的知識，根本目的在于讓學生能夠觸類旁通、融會貫通，學會探索和研究，在交流探究過程中，培養分析問題和解決問題的綜合品質.圓錐曲線中一個重要考點就是定點、定值問題，由于隱去題析增強了探索性，所以增加了試題的難度.因此，教師應引導學生打牢基礎，教會學生能夠把教材前后之間的知識點、考點、相互關聯點交織成網，掌握解題過程中“動中求靜，靜中窺動”的思維特點.通過分析圖形找定點、探索共性尋定點、巧賦值找定點、仔細觀察猜定點等方法培養學生綜合運用知識的能力.這類問題正因為探索性強［2］，因而是發展學生創新思維、全面提升學生素質的好題材，教學中一定要充分利用其教學價值.

參考文獻：

［1］ 何偉軍.基于教材提升學生數學素養的變式教學［J］.中學數學，2019（5）：3-5.

［2］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學·選擇性必修·第一冊（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.