第三定義創設，軌跡性質應用

摘要： 基于教材中同類型的三道例（習）題，通過反思，發展思維，類比拓展，結合相應的邏輯推理與數學運算，得到“有心圓錐曲線”背景下過中心的弦兩端點與異于端點的動點連線的斜率之積為常數的軌跡問題，總結規律，挖掘本質，鏈接高考，指導數學教學與數學學習.

關鍵詞： 圓錐曲線；橢圓；雙曲線；直線；斜率

蘇聯數學教育家奧加涅相說過：“必須重視很多習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性.”特別是高中數學教材，是高中數學教學與學習的根源所在，也是高考命題的背景與根基.認真鉆研教材，領悟教材的意圖與內涵，對教學資源進行必要的整合與拓展是高中數學教學與學習的關鍵所在.

1 源于教材

例題 """［普通高中數學必修一（人教A版）第三章“3.1橢圓”中第108頁例3］

設A，B兩點的坐標分別是（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是- 4 9 ，求點M的軌跡方程.

以上例題對應的答案：點M的軌跡方程為 x2 25 + y2 "100 9 "=1（x≠±5）.

探究 ""［普通高中數學必修一（人教版A版）第三章“3.2雙曲線”中第121頁“探究”］ 點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是 4 9 ，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與3.1例3比較，你有什么發現？

以上探究對應的部分答案為：點M的軌跡方程為 x2 25 - y2 "100 9 "=1（x≠±5）.

習題 ""［普通高中數學必修一（人教A版）第三章“圓錐曲線的方程”中第146頁復習參考題第11題］ 已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡.

以上習題的答案：軌跡方程為 x2 25 - y2 25m =1（x≠±5），當mlt;-1或-1lt;mlt;0時，對應軌跡為除A，B兩點外的橢圓；當mgt;0時，對應軌跡為除A，B兩點外的雙曲線；當m=-1時，對應軌跡為除A，B兩點外的圓.

以上三道例（習）題研究的都是：平面上異于兩定點的動點，其與兩定點所構成的直線的斜率之積等于非零常數，根據常數取值的變化情況，對應的軌跡為橢圓（或雙曲線）問題.

而不同問題中具體常數的取值情況，與對應的軌跡（橢圓或雙曲線）之間存在何種關系或對應聯系呢？其是否與圓的方程之間存在某種關系？是否與初中學習過的涉及圓的圓周角定理、圓的垂徑定理等存在某種關系？

2 探究拓展

以上展示的是求動點軌跡方程的問題，而問題實質與背景就是橢圓（或雙曲線）的“第三定義”，以及與之對應的軌跡方程和相應的性質問題等.

2.1 第三定義

橢圓（或雙曲線）第三定義：平面內與兩個定點A（-a，0），B（a，0）連線的斜率的乘積等于常數e2-1的點的軌跡叫做橢圓（或雙曲線）.其中兩個定點A（-a，0），B（a，0）分別為橢圓（或雙曲線）的頂點.

當常數e2-1小于0且不等于-1時，對應動點的軌跡為橢圓；當常數e2-1大于0時，對應動點的軌跡為雙曲線.

2.2 軌跡問題

定理1 ""與兩定點A（-a，0），B（a，0）連線的斜率的乘積為定值λ

定理1 ""與兩定點A（-a，0），B（a，0）連線的斜率的乘積為定值λ

（λ

≠0）的動點P的軌跡為有心圓錐曲線（其中除兩定點A，B外），其對應的軌跡方程為 x2 a2 - y2 a2 =λ

（x≠±a）.

（1）若λ

＜-1或-1lt;λ

lt;0，則動點P的軌跡為橢圓（除A，B兩點外）；

（2）若λ

gt;0，則動點P的軌跡為雙曲線（除A，B兩點外）；

（3）若λ

=-1，則動點P的軌跡為圓（除A，B兩點外）.

2.3 性質問題

定理2 ""已知A，B是橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（agt;bgt;0）上關于坐標原點O對稱的兩個點，若M是該橢圓上異于點A，B的任意動點，則AM，BM所在直線的斜率之積為定值，且kAM·kBM=e2-1=- b2 a2 .

定理3 ""若A，B是雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（agt;0，bgt;0）上關于坐標原點對稱的兩個點，M是該雙曲線上異于點A，B的任意動點，則AM，BM所在直線的斜率之積為定值，且kAM·kBM=e2-1= b2 a2 .

推論1 """（圓周角定理的推廣） 若AB為“有心圓錐曲線”（圓e=0，橢圓0lt;elt;1，雙曲線egt;1）的“直徑”（過對稱中心的弦），M為曲線上異于點A，B的任意動點，則kAM·kBM=e2-1.

推論2 """（圓的垂徑定理的推廣） 若M為“有心圓錐曲線”（圓e=0，橢圓0lt;elt;1，雙曲線egt;1）的弦AB的中點，其中弦AB不過曲線中心O且不平行于對稱軸，則kAB·kOM=e2-1.

3 鏈接高考

高考真題1 """（2022年高考數學全國甲卷理科·10） 橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為 1 4 ，則C的離心率為（ "）.

A. "3 "2

B. "2 "2

C. 1 2

D. 1 3

解析： 設Q關于x軸的對應點為M，則kAP·kAQ=-kAP·kAM.

由定理2，可得kAP·kAM=e2-1=- 1 4 .結合0lt;elt;1，解得e= "3 "2 .故選擇答案：A.

高考真題2 """（ 2022年高考數學新高考Ⅱ卷·16 ）已知橢圓 x2 6 + y2 3 =1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|MN|=2 3 ，則直線l的方程為 """"".

解析： 設直線l的方程為 x m + y n =1（m＞0，n＞0），則M（m，0），N（0，n）.

取線段AB的中點E，由|MA|=|NB|，可知點E是線段MN的中點，即E（ m 2 ， n 2 ）.

由推論2，可得kOE·kAB=e2-1=- b2 a2 =- 1 2 ，則有- n m · n m =- 1 2 ，即m2=2n2.

又|MN|=2 3 ，即m2+n2=12，解得m=2 2 ，n=2.

所以直線l的方程為 x 2 2 "+ y 2 =1，即x+ 2 y-2 2 =0.故填答案：x+ 2 y-2 2 =0.

點評： 高考題常常源于教材而高于教材，是在高中數學教材的基礎上合理創設，并進一步加以變式拓展與能力提升，很好地考查學生的“四基”落實情況，以及數學能力與數學品質.

4 教學啟示

4.1 回歸教材，深挖內涵

教材中的例（習）題等，都是不同時期背景下教學與研究的精華與積累，具有很好的示范與引領作用.新高考命題方針下，更多的高考真題都出自高中數學教材中的例（習）題，借助教材中例（習）題加以背景創設、情境改編、變式應用、拓展提升等，并進一步綜合此類例（習）題的背景、知識、思想、方法、技巧與策略等，既源于教材，又高于教材，充分體現了傳承與發展.

4.2 以“本”為“本”，提升能力

在高中數學教學中，回歸教材，以其為藍本，以“本”為“本”，吃準吃透，鏈接教材前后相關知識，合理并正確構建起高中數學相關知識的網絡體系與知識框架，不斷挖掘數學知識的本源與內涵，滲透數學思想方法和核心素養，讓平時的數學教學真正為高考提供有效的動力與能力支持，全面提升學生數學能力，促其養成良好的數學品質與習慣.