立足“三新”背景，強化“四基”應(yīng)用，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

摘要： 在“三新”背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)更加重視改革與創(chuàng)新，強化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與關(guān)鍵能力.“復(fù)數(shù)”大單元知識模塊的復(fù)習(xí)設(shè)計與安排，側(cè)重于本質(zhì)內(nèi)涵，從構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)、重視概念學(xué)習(xí)、強化復(fù)數(shù)公式、開拓數(shù)學(xué)場景、優(yōu)化數(shù)學(xué)思維等層面與視角展開并加以應(yīng)用，總結(jié)復(fù)數(shù)部分教學(xué)與復(fù)習(xí)安排.

關(guān)鍵詞： 復(fù)數(shù)；大單元；復(fù)習(xí)；素養(yǎng)；創(chuàng)新

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂》）、新高考“三新”背景下，“復(fù)數(shù)”大單元的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計更加側(cè)重于“四基”層面，合理創(chuàng)設(shè)知識網(wǎng)絡(luò)與體系，注重復(fù)數(shù)概念的基礎(chǔ)性，凸顯復(fù)數(shù)運算公式的應(yīng)用性，拓展數(shù)學(xué)思維的靈活性，聯(lián)系復(fù)雜創(chuàng)新場景與數(shù)學(xué)文化等，有效進(jìn)行大單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計與安排［1］.

1 構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，厘清單元系統(tǒng)

涉及“復(fù)數(shù)”大單元知識模塊，關(guān)鍵在于構(gòu)建復(fù)數(shù)的概念、運算與應(yīng)用等的知識網(wǎng)絡(luò)，“串聯(lián)”起各個知識點之間的聯(lián)系，形成各個節(jié)點，全面厘清單元系統(tǒng)，為知識的進(jìn)一步理解與深化，以及綜合應(yīng)用等創(chuàng)設(shè)條件［2］.

以上“復(fù)數(shù)”單元的知識網(wǎng)絡(luò)（如圖1）中，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗這“四基”的不同視角來展開，并加以聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生對“四基”的落實情況，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題能力的培養(yǎng)與提升情況，重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成與發(fā)展.

2 重視概念學(xué)習(xí)，辨析區(qū)別聯(lián)系

“復(fù)數(shù)”大單元中涉及較多的概念，正確學(xué)習(xí)并理解對應(yīng)的概念，以及不同概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，特別是相互之間的差異，為解決問題提供條件.

這里主要涉及復(fù)數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等相關(guān)概念，關(guān)鍵在于厘清對應(yīng)的概念與實質(zhì)，并能合理辨析它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.

例1 """（2023年云南省曲靖市高考數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢試卷） 如果一個復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”.若復(fù)數(shù)z=（2+ai）i（其中a∈ R ）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)z －2ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ "）.

A.第一象限 """"B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析： 從創(chuàng)新定義入手，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，確定參數(shù)的值，并結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義等來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

解析： 由z=（2+ai）i=－a+2i，

結(jié)合創(chuàng)新定義“等部復(fù)數(shù)”，可知－a=2，解得a=－2，即z=2+2i.

而復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z =2－2i，則z －2ai=2－2i+4i=2+2i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是（2，2），位于第一象限.

故選擇答案：A.

點評： 這里通過創(chuàng)新定義，巧妙把眾多的復(fù)數(shù)概念融合其中，包括復(fù)數(shù)的實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算加以綜合，合理辨析概念，巧妙求解.

“復(fù)數(shù)”大單元中除了本單元內(nèi)的基本概念外，經(jīng)常會通過數(shù)學(xué)文化場景、創(chuàng)新定義創(chuàng)設(shè)等方式引入一些新的概念.解題時要與已知概念進(jìn)行對比與分析，進(jìn)而加以正確理解與巧妙應(yīng)用，實現(xiàn)知識與思維的全面發(fā)展.

3 強化復(fù)數(shù)“公式”，增強數(shù)學(xué)運算

“復(fù)數(shù)”大單元中，正確理解并掌握復(fù)數(shù)的四則運算的，可為進(jìn)一步的復(fù)數(shù)運算與應(yīng)用奠定基礎(chǔ).這里主要涉及復(fù)數(shù)的加法、減法運算及其幾何意義，以及復(fù)數(shù)的乘法與除法運算等，還有復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程問題等［3］.

例2 ""若實系數(shù)一元二次方程x2－2x+3=0的兩個根為α和β，則|α|+|β|= .

分析： 根據(jù)題目條件，利用實系數(shù)一元二次方程的求根公式直接求解兩個根α和β，再利用復(fù)數(shù)的模的求解來分析與處理；也可以利用實系數(shù)一元二次方程虛根成對（互為共軛復(fù)數(shù)）的性質(zhì)確定兩虛根的和與積，引入?yún)?shù)并結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式來分析與求解.

解法1： ""（求根法）由方程的判別式Δ=b2－4ac=（－2）2－ 4×1×3=－8lt;0，

利用實系數(shù)一元二次方程的求根公式，可得x= 2± ""8 i 2 =1± 2 i.

所以|α|+|β|

=|1+ 2 i|+|1－ 2 i|

=2 3 .

故填答案：2 ""3 .

解法2： "（性質(zhì)轉(zhuǎn)化法）由判別式Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×3=－8lt;0，

知實系數(shù)一元二次方程虛根成對，且互為共軛復(fù)數(shù).

設(shè)α=a+bi，a，b∈ R ，則β=a－bi.

由韋達(dá)定理，可知α+β=2a=2，αβ=a2+b2=3.

所以|α|+|β|=2 ""a2+b2 =2 ""3 .

故填答案：2 ""3 .

點評： 實際解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程問題時，可借助復(fù)數(shù)的四則運算加以剖析與應(yīng)用，也可以直接利用相關(guān)的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.這也是新教材中的一個明確要求.

“復(fù)數(shù)”大單元中，復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實系數(shù)一元二次方程問題，在新教材中直接作為例題來設(shè)置，通過例題的解析，歸納總結(jié)出復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實系數(shù)一元二次方程的求根公式，并給出明確要求，這與原來舊教材中作為課外補充知識形成鮮明的對比.

4 開拓數(shù)學(xué)場景，關(guān)注數(shù)學(xué)文化

“復(fù)數(shù)”大單元中，由于復(fù)數(shù)自身的知識結(jié)構(gòu)特點以及數(shù)學(xué)文化背景，此部分的試題經(jīng)常與數(shù)學(xué)文化加以巧妙融合，以創(chuàng)新情境來合理設(shè)置，成為高考命題中的一道具有基本特色的風(fēng)景線.

例3 ""歐拉公式eiθ=cos θ+i sin θ把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)cos θ和sin θ聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，若復(fù)數(shù)z滿足（e2 023iπ+i）·z=i，則z的虛部是 ，|z|= .

分析： "根據(jù)題設(shè)中的歐拉公式計算出e2 023iπ的值，結(jié)合關(guān)系式的變形，以及復(fù)數(shù)的除法運算得到復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求得z的虛部與復(fù)數(shù)的模|z|.

解析： 由eiθ=cos θ+i sin θ，可得

e2 023iπ=cos 2 023π+i sin 2 023π=－1.

所以，由（e2 023iπ+i）·z=i，得z= i -1+i = i（-1-i） （-1+i）（-1-i） = 1-i 2 = 1 2 － 1 2 i.

所以z的虛部是- 1 2 ，|z|= "2 "2 .

故填答案：－ 1 2 ； "2 "2 .

點評： "以數(shù)學(xué)文化中的創(chuàng)新情境給出歐拉公式，結(jié)合復(fù)數(shù)三角形式與指數(shù)形式來創(chuàng)設(shè)問題，結(jié)合關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算來進(jìn)行運算求解，并結(jié)合相關(guān)的概念來實現(xiàn)問題的融合與創(chuàng)新.

5 優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，關(guān)注推理應(yīng)用

“復(fù)數(shù)”大單元中涉及較多的數(shù)學(xué)思維，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想等，都是解決復(fù)數(shù)問題中比較常用的數(shù)學(xué)思維.全面拓展并應(yīng)用數(shù)學(xué)思維，可以使得數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)更加牢固，數(shù)學(xué)問題的解決更加簡捷.

例4 ""化簡：（cos θ+i sin θ）2，（cos θ+i sin θ）3，（cos θ+i sin θ）4，由此猜想一般的結(jié)論：（cos θ+i sin θ）n= （n∈ Z ）.

分析： 例4其實就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方運算，是高中數(shù)學(xué)教材中的選講內(nèi)容之一，具體解決問題時，可以利用復(fù)數(shù)的四則運算與三角函數(shù)關(guān)系式加以化簡，通過歸納總結(jié)，猜想而得出結(jié)果.

解析： "由（cos θ+i sin θ）2=（cos θ+i sin θ）（cos θ+ i sin θ）=cos 2θ+i sin 2θ，

（cos θ+i sin θ）3=（cos 2θ+i sin 2θ）（cos θ+i sin θ）

=cos 3θ+i sin 3θ，

（cos θ+i sin θ）4=（cos 3θ+i sin 3θ）（cos θ+i sin θ）

=cos 4θ+i sin 4θ，

歸納猜想，可得（cos θ+i sin θ）n=cos nθ+i sin nθ.

故填答案：cos nθ+sin nθ.

點評： 根據(jù)題設(shè)條件先確定前面若干問題，進(jìn)而找到規(guī)律，歸納、猜想出一般性的結(jié)論.同時，這也給我們提供了一種解題思路——當(dāng)“無路可走”時，可考慮多探究前面若干問題，歸納出規(guī)律并大膽猜想后再給出證明.這種解法雖操作簡單，但需較強的觀察、分析和歸納等關(guān)鍵能力.

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進(jìn)一步落實“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求.“復(fù)數(shù)”大單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計與安排，在尋求基礎(chǔ)、本質(zhì)、能力、創(chuàng)新等的基礎(chǔ)上，更多側(cè)重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與關(guān)鍵能力的考查，堅持開放創(chuàng)新與核心素養(yǎng)導(dǎo)向，更加注重數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用［4］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］張俊君.高中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)模式探究［J］.山東教育科研，2019（7）：60-61，70.

［3］徐薇.大單元教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究［J］.職業(yè)，2021（2）：182-183，187.

［4］李素青，邢文杰.大單元教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.理論與實踐探索，2020（8）：112-113.