基于CPFS的“等比數列求和公式”教學設計

摘要： 數學命題的學習包括對數學定理、法則、公式等的學習，高中數學命題的學習在整個高中數學學習過程中占據重要地位.本文中主要基于CPFS結構理論，根據學生認知和命題特點，給出等比數列求和公式的教學設計，力求讓學生從等比數列求和公式的七種證明過程中理解命題之間的關系，幫助學生完善個體的CPFS結構.

關鍵詞： 等比數列求和；CPFS結構；教學設計

喻平教授于2003年提出數學學習心理CPFS結構理論，該理論主要研究學習者頭腦中的數學知識網絡，并引入概念域（concept field）、概念系（concept system）、命題域（proposition field）、命題系（proposition system）四個基本單元來刻畫學習者的數學知識表征［1］.CPFS結構理論從學生學習心理和數學命題自身特點出發，將學生學習數學命題的心理過程分為三個階段：命題的獲得、命題的證明、命題的應用［2］.命題域是一組等價命題組成的體系，命題系是指在學習者頭腦中貯存的一組命題，其中一個命題與其他某個或某些命題之間存在推出關系，這些命題之間就形成了一個關系網絡.

學生學習新知時，依托于頭腦中已存在的知識經驗，將舊知作為橋梁，連接新知與舊知.若學生不具備完整的命題域和命題系，在解題過程中就難聯結到其他與之相關的命題，從而知識斷層，思維受限，面對變式題就會無從下手.所以在頭腦中形成完備的CPFS結構體系，有助于數學知識的貯存和提取以及知識遷移，幫助理解數學知識，發展數學能力.

1 教學分析

1.1 教材及學情分析

本文以2019年《普通高中教科書·數學·必修二》（人教A版）第四章第三節“等比數列的前n項和公式”為例.該部分內容對數列知識起到總結凝練的作用，讓學生的數學知識以及數學思維能力都可以進一步拓展［3］.數列知識涉及很多數學符號語言，抽象程度較高，要求學生能夠敏銳地觀察和思考數組之間關系，以及具有較好的邏輯思維能力.通過對數列知識的學習，提高學生數學抽象、邏輯推理等核心素養［4］.

學生學習該部分內容之前，已經掌握了等差等比數列等相關知識.學習等差數列前n項和時，采用倒序相加的方法求和，理解了公式中關鍵的四元素：Sn，a1，n，d.類比到等比數列求和，關鍵四元素：Sn，a1，n，q，但等比數列求和復雜程度相對高于等差數列求和，尋找合適的求和方法還是具有一定困難，需要引導學生從從關鍵的四元素入手，利用等比數列的性質特點，基于學生的“最近發展區”，讓學生從具體實例的求和過渡到對抽象數學符號語言的理解.

1.2 教學目標

理解公式的形成過程，掌握公式推導過程中所運用到的思想方法；能夠靈活運用等比數列求和公式解決問題.

1.3 教學重、難點

教學重點：掌握等比數列求和公式，能夠利用等比數列求和公式解決實際問題.

教學難點：引導學生找到證明等比數列求和公式的方法.

2 教學過程

2.1 情境引入

問題1 ""某種細菌20 min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，1天（24 h）之后產生的后代總數是多少？（如圖1所示）

設計意圖： 創設細胞分裂的情境問題［5］，讓學生發現并思考項數較多的等比數列該如何簡捷求和.

2.2 命題的獲得

針對問題1，先讓學生求出細菌分裂六次之后的細菌總數.學生小組合作討論5分鐘，然后請小組代表分享本組討論結果.

小組1： "在紙上列出了細菌每次分裂后產生的后代個數：2，4，8，16，32，64，其解決方法是將六個數依次加起來.

這種方法對于項數較少的數列求和可以采取，但面臨下列問題3時便不知所措.

小組2： "將每次分裂的細胞數目用數學語言分別表示出來，得S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=2+4+8+16+32+64.通過討論，觀察到等式右邊可以提取公因子2，得到等式S6=2×（1+2+4+8+16+32），進而有S6=2×（1+S6-a6），根據等比數列通項公式得a6=a1q5=26，故S6= 2-2×26 -1 =126 .

該小組一直圍繞所求目標量S6進行轉化，最終求解.

問題2 ""回顧等差數列求和公式，思考等比數列求和公式的幾個關鍵元素會是什么呢？

設計意圖： 從學生已有的知識經驗出發，引導學生由等差數列求和公式當中關鍵的四元素，類比找到等比數列求和的關鍵四元素為Sn，a1，n，q.

問題3 ""當細胞分裂n次后，第n次的通項公式是什么？并嘗試求出Sn.

2.3 命題的證明

根據學生的作答情況，教師指出其中遺漏或考慮不完全的情況，在黑板上展示完整的證明過程.

證明1： ""由a2+a3+……+an=qa1+qa2+……+ qan-1=q（a1+a2+……+an-1） ，得

Sn-a1=q（Sn-an）.

化簡，得Sn= a1（1-qn） 1-q （q≠1）.

追問1： "以上證明出來的公式能否適用于常數列求前n項和呢？常數列的前n項和如何求？

總結： 得出等比數列前n項和公式為

Sn= "a1（1-qn） 1-q ，q≠1，

na1，q=1.

問題4 ""請思考還有其他的證明方法嗎？回顧等差數列求和時是如何變形的，其推導過程中本質是為了得到什么？

設計意圖： 引導學生回顧等差數列求和公式的推導過程，利用倒序相加法對兩個等式進行處理，其本質就是利用合并同類項、消元的思想［6］.

追問2： "兩個等式之間經過怎樣的運算可以消元呢？如果將兩個等式相減，那么另外一個等式該如何書寫呢？

對于等式Sn=a1+a2+……+an-1+an，根據學生的反應情況，適當給出思考方向（思考相鄰項的關系），抓住等比數列求和的四要素進行思考，得到第二個等式qSn=qa1+qa2+……+qan-1+qan=a2+a3+……+an+an+1，隨即讓同桌之間一起合作，嘗試計算Sn-qSn.（注：以下證明前提為q≠1.）

針對學生出錯的地方給予及時引導，五分鐘后，教師帶領學生一同在黑板上呈現證明過程.

證明2： "設Sn=a1+a2+……+an-1+an，等式兩邊同時乘q，得qSn=a2+a3+…+an+an+1.

兩式相減，得（1-q）Sn=a1-an+1=a1-a1qn.

化簡，得Sn= a1（1-qn） 1-q "（q≠1）.

一個命題的證明都要以某些已經證明為真的命題為基礎，證明過程中會與很多命題產生聯系，運用多種方法證明一個命題，可以幫助完善學生的命題域和命題系.教師根據學生的接受情況，盡量給出多種等比數列求和公式的證明方法.以下將介紹另外五種證明方法.

證明3： "因為 a2 a1 = a3 a2 =……= an an-1 =q，所以由等比定理，可得 a2+a3+……+an a1+a2+……+an-1 =q，即

Sn-a1 Sn-an =q.

故Sn= a1（1-qn） 1-q （q≠1）.

證明4： "當q≠1時，由（1-q）（1+q+q2+……+qn-1）=1-qn，得

Sn=a1（1+q+……+qn-1）= a1（1-qn） 1-q （q≠1）.

證明5： "（以1= a a 為思路突破點.）

[JP4]Sn= 1 1-q ［（1-q）（a1+a2+……+an）］

= 1 1-q ·［a1+q（a1+a2+……+an-1）-q（a1+a2+……+an）］= "a1（1-qn） 1-q （q≠1）.[JP]

證明6： "Sn=a1+a2+……+an

=a1+q（a1+a2+……+an-1）=a1+qSn-1. ①

由Sn-Sn-1=an，可得

Sn-1=Sn-an=Sn-a1qn-1. "②

將②代入①，得Sn=a1+q（Sn-a1qn-1）.

化簡，得Sn= a1-anq 1-q （q≠1）.

證明7： "因為Sn-Sn-1=an=a1qn-1· 1-q 1-q = a1qn-1 1-q - a1qn 1-q ，

所以Sn+ a1qn 1-q =Sn-1+ a1qn-1 1-q .

令bn=Sn+ a1qn 1-q ，則bn=bn-1，即 bn 是常數列.

由bn=b1，得Sn+ a1qn 1-q =S1+ a1q 1-q =a1+ a1q 1-q .

故Sn=a1+ a1q 1-q - a1qn 1-q = a1-anq 1-q （q≠1）.

證明7利用了1= a a 和Sn-Sn-1=an，涉及到數列當中的一個重要方法——構造法.

2.4 命題的應用

例1 ""某人存入銀行a元，存期為20年，年利率為r，那么按照復利，20年后他可以獲得本金利息共多少？

設計意圖： 例1貼近現實生活，既可以鞏固學生對新知的掌握，也能夠讓學生感受數學的應用價值，認識數學的科學價值［7］.

例2 ""已知數列 an 的首項a1=1，且滿足an+1+an=3·2n.

（1）求證： an-2n 是等比數列.

（2）求數列 an 的前n項和Sn.

教師適當給出思路引導：根據等比數列的性質，要證明數列 an-2n 是等比數列，可以轉化為證明什么呢？觀察數列 an 的前n項和Sn的形式，如何變形Sn可以簡化計算呢？

設計意圖： 第（1）問證明 an-2n 為等比數列考查學生的數列構造能力和觀察能力，其中涉及轉化思想，幫助學生完善等比數列的命題域.

例3 ""記Sn為等比數列 an 的前n項和．已知S2=2，S3=－6.

（1）求 an 的通項公式；

（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數列．

設計意圖： 第（1）問根據已知數列某幾項的和反過來求解數列通項公式，應用等差、等比數列的通項公式、前n項和公式求解；第（2）問將等差與等比數列聯系起來，在證明a，b，c成等差或等比數列時，教師可引導學生利用等差中項“ a+c 2 =b”或等比中項“ac=b2”來證明．整個解題過程將新舊知識聯結在一起，讓學生對等比數列以及求和公式的命題域和命題系有更深刻的理解.

2.5 課堂總結及作業布置

筆者通過提出如下問題，引導學生回顧本堂課所涉及的知識、思想方法：等比數列求和公式中的幾個關鍵元素是什么？等比數列求和公式的證明過程中采用了哪些數學思想方法？錯位相減法在應用的過程中需要注意哪幾點？

最后給學生布置精練且有代表性的課堂作業，讓學生加深對新知的理解，鞏固學生對等比數列求和公式的命題域和命題系的認識.

3 結束語

本文中主要分為命題的獲得、命題的證明、命題的應用三部分，在“等比數列求和公式”的教學設計過程中，更多篇幅放在公式的推導證明上.數學命題學習過程如圖2所示.

從數學學習的角度看，有的命題的證明價值高于它的發現價值.命題的證明過程是多個命題之間的聯結，學生要以已經獲得的若干命題為邏輯基礎，同時將新命題納入認知結構.遵循學生學習命題的心理特征.學生學習知識如同在頭腦中構建一張知識網，知識網之間的知識節點都要環環相扣.教師在命題教學過程中，要關注學生的數學學習心理，讓學生經歷命題的形成過程，并對相應命題給出變式訓練，加強學生的命題網絡，讓學生能夠在不同情境中應用命題，幫助完善學生個體的命題域和命題系.

參考文獻：

［1］ 喻平.CPFS結構與數學命題教學［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2016（2）：5-10.

［2］ 喻平.數學學習心理的CPFS結構理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

［3］林雅馨.CPFS理論視角下高中生學習數列的認知分析［D］.漳州：閩南師范大學，2020.

［4］鐘志華，唐悅，凌皓嵐.基于模式觀的“等比數列的前n項和”教學設計［J］.數學教學通訊，2021（27）：13-17.

［5］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］冀建軍.透視核心素養 創新教學設計——以等差（比）數列求和公式推導為例［J］.數學通訊，2018（6）：23-26.

［7］ 顧向忠，郭衛華.基于CPFS理論的等比數列應用教學［J］.高中數學教與學，2015（24）：36-37.