幾何，模型，坐標：幾何體外接球問題的“三大”破解策略

摘要： 空間幾何體的外接球問題是高考中的一個基本考點與難點.從幾何策略、模型策略、坐標策略等常見應試策略入手，結合實例剖析，歸納問題類型，理解并掌握破解幾何體外接球問題的基本技巧與策略，有效指導數學教學與復習備考.

關鍵詞： 空間幾何體；外接球；定義；幾何；模型；坐標

空間幾何體的外接球問題，一直是立體幾何的學習與綜合應用中的一個重點與難點，也是模擬聯考和高考中的一個命題熱點.在具體破解幾何體外接球的相關問題時，關鍵是結合空間幾何體的結構特征，以及對應外接球的定義、幾何性質等，合理加以聯系，從球的定義與幾何結構視角（幾何策略），幾何體的模型構建視角（模型策略）以及空間直角坐標系的構建與應用視角（坐標策略）等技巧策略方面來分析與處理，合理歸類，巧妙應用.

1 幾何策略

幾何策略是借助空間幾何圖形，利用對應的空間幾何體與外接球之間的位置關系與結構特征，進行必要的點的構建、輔助線的引入，結合空間幾何圖形的幾何性質、相關定理及對應的邏輯推理與數學運算來分析與處理.

例1 ""已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五個點，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=PA=4，PA⊥平面ABCD，那么球O的體積為（ "）.

A. 64 2 "3 π

B. 16 2 "3 π

C.16 2 π

D.16π

分析： 抓住空間幾何體的結構特征與對應的數量關系，合理構建相關的點、輔助線等，結合空間圖形的幾何性質、定理等的應用與邏輯推理，確定幾何體的外接球的球心O所在的直線與對應平面的垂直關系，進而引入參數并結合關系式的建立，即可確定球的半徑與體積.

解析： 如圖1所示，取BC的中點E，連接AE，DE，BD.

因為AD∥BC且AD= 1 2 BC=EC=BE， 所以四邊形ADCE，ABED均為平行四邊形，故AE=DC，AB=DE.

又DC= 1 2 BC，所以AE= 1 2 BC=AB，即AE=DE=BE=EC，所以E為四邊形ABCD外接圓的圓心.

設O為外接球的球心，則由球的性質可知OE⊥平面ABCD.

作OF⊥PA，垂足為F，則四邊形AEOF為矩形，于是OF=AE=2.

設AF=x，OP=OA=R，則4+（4－x）2=4+x2，解得x=2， 所以R= 4+4 =2 2 .

所以球O的體積為V= 4 3 πR3= 64 2 "3 π.

故選擇答案：A.

點評： 利用幾何策略破解幾何體外接球問題時，往往是結合空間圖形的幾何性質、定理等進行必要的推理，合理確定外接球的球心所在的直線或平面，在此基礎上結合所有頂點到球心的距離都相等來確定關系式，進而得以分析與求解.如對于一般的錐體的外接球問題，具體應用時的思路過程如圖2所示.

2 模型策略

模型策略是借助特殊空間幾何體，通過合理的補形處理，使得補形后的特殊幾何體（一般是正方體或長方體等）的外接球與原空間幾何體的外接球一致，進而轉化為利用特殊幾何體的外接球性質來分析與解決問題.

例2 ""在四面體A＼|BCD中，AB=CD=5，AC=BD= 34 ，AD=BC= 41 ，則四面體A＼|BCD外接球的表面積為（ "）.

A.50π

B.100π

C.150π

D.200π

分析： 抓住特殊四面體的結構特征，結合其四個面均為全等的三角形這一特征，合理借助模型策略，進行數學建模.采用補形法，構建一個與四面體相對應的長方體，二者的外接球一致，進而利用長方體進行合理轉化.

解析： 由于四面體A＼|BCD的四個面為全等的三角形，因此可在其每個面補上一個以5， 34 ， 41 為三邊的三角形作為底面，且分別以a，b，c為兩兩垂直的側棱長的三棱錐，

從而可得到一個長、寬、高分別為a，b，c的長方體，如圖3所示，則有a2+b2=25，a2+c2=34，b2+c2=41.

設所求外接球的半徑為R，則有（2R）2=a2+b2+c2=50.

解得4R2=50.

所以所求外接球的表面積為S=4πR2=50π.

故選擇答案：A.

點評： 利用模型策略破解幾何體外接球問題時，往往以構建與題設空間幾何體相對應的正方體或長方體的特殊模型為主.以特殊錐體為例，可以通過以下基本模型加以合理構建與應用，如圖4所示.

3 坐標策略

坐標策略是借助空間直角坐標系的構建，利用空間向量的相關知識與運算來分析與解決問題，巧妙將“形”的問題轉化為“數”的運算，實現“形”與“數”的合理結合與轉化，通過代數方法來解決幾何問題，適當降低立體幾何的思維難度.

例3 ""已知三棱錐A＼|BCD中，AB=BD=DA=2 3 ，DC=2 2 ，BC=2 5 ，二面角A＼|BD＼|C的大小為135°，則三棱錐A－BCD外接球的表面積為（ "）.

A.64π

B.52π

C.40π

D.32π

分析： 抓住空間幾何體的結構特征，利用直角三角形的判定，為合理構建空間直角坐標系提供條件.而空間直角坐標系的構建，實現了“形”向“數”的視角轉化，合理應用數學運算，有效減少嚴謹的邏輯推理與抽象的空間想象，對問題的解決有很好的提升與促進作用.

解析： 由于BD=2 3 ，CD=2 2 ，BC=2 5 ，因此BC2=BD2+CD2，則有CD⊥BD.

如圖5所示，以D為坐標原點，DB，DC所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，則B（2 3 ，0，0），C（0，2 2 ，0）.

過點A作BD的垂線AE，由二面角A＼|BD＼|C的大小為135°，可知A "3 ，－ 3 2 "2 ， 3 2 "2 ".

而Rt△BCD外接圓圓心為BC的中點，則知三棱錐A＼|BCD外接球的球心O在過BC的中點且垂直于平面BCD的直線上，設O（ 3 ， 2 ，h）.

由于OD2=OA2，因此（ 3 ）2+（ 2 ）2+h2=0+ "2 + 3 2 "2 "2+ h－ 3 2 "2 "2，解得h=2 2 .

所以，三棱錐A＼|BCD的外接球的半徑R=OD= （ 3 ）2+（ 2 ）2+（2 2 ）2 = 13 ，外接球的表面積為S=4πR2=52π.

故選擇答案：B.

點評： 利用坐標策略破解幾何體外接球問題時，基本解題步驟分為五步.（1）尋找合適的坐標原點構建相應的空間直角坐標系；（2）確定各對應點的坐標；（3）設出相關點的坐標；（4）利用向量等的應用來構建關系式，分析并求解對應的參數；（5）結合所求進一步分析與求解等.這里構建空間直角坐標系時，往往結合直角三角形、垂直關系、中點等常規視角進行切入與應用.

解決幾何體外接球的相關問題，可以根據不同場景，借助幾何策略、模型策略、坐標策略等常見技巧方法與應試策略，綜合球的定義與幾何性質等，結合空間圖形與空間想象，做到“心中有圖”，科學構建，“串聯”起空間不同元素之間的關系，合理邏輯推理，巧妙數學運算，進而實現空間想象與數學運算能力的提升，以及直觀想象與邏輯推理核心素養等的養成.