從四個維度對課堂進行評價提升素養

課標指出，高中數學教學要以發展學生數學學科核心素養為導向，啟發學生思考，掌握數學內容的本質，落實數學核心素養的形成與發展.課堂學習評價有利于教師進行反思，改進教學，提高學生學習的興趣.判斷一節課是否能達到課標的學業水平要求，筆者認為可以從知識技能、思想方法、核心素養和關鍵能力四個維度進行評價.筆者結合自身教學實踐，以“立體幾何軌跡問題”教學為例，對課堂進行學習評價.

1 擬定課堂評價標準

為了落實課標所提出的學業水平要求，根據課標要求從四個維度擬定本節課的課堂評價標準：

知識技能：（1）關注學生運用圖形概念描述圖形的基本關系和基本結果，及常見曲線的軌跡定義，評價學生對軌跡的認知水平；

（2）關注學生能否運用定義法或坐標法求軌跡，評價學生對立體幾何軌跡的運用水平.

思想方法：（1）關注學生能否借助圖形尋找幾何元素與數量之間的關系，評價數形結合思想的理解水平；

（2）關注學生能否將空間問題轉化為平面問題，評價轉化與化歸思想的理解水平.

核心素養：（1）關注學生能否借助圖形尋找幾何元素與數量之間的關系，評價直觀想象、數學建模與數學抽象素養；

（2）關注學生表述立體幾何軌跡問題的過程，評價邏輯推理素養；

（3）關注學生運用定義法或坐標法求軌跡，評價數學運算素養.

關鍵能力：（1）關注學生表述立體幾何軌跡問題的過程，評價推理論證能力；

（2）關注學生運用定義法或坐標法求軌跡，評價運算求解能力.

2 復習回顧，創設問題

在空間中，與一定直線的距離為定長的點的軌跡是一個沒有高度的圓柱.用一個平面截圓錐，如圖1，根據平面與軸線夾角的不同，得到不同的截口曲線，設圓錐母線與軸線夾角為α，平面與圓錐軸線夾角為θ.當θ= π 2 ，得截口曲線為圓；當α＜θ＜ π 2 ，得截口曲線為橢圓；當θ=α時，得截口曲線為拋物線；當0≤θlt;α，得截口曲線為雙曲線.

問題1 ""求平面軌跡問題，大家一般用什么方法處理？

生：定義法，直接法（在平面直角坐標系下找到點的橫縱坐標之間的關系式），設元消參法.

問題2 ""能否類比平面軌跡問題來處理立體幾何中的軌跡問題？

評價： 通過復習回顧，關注學生對常見曲線的軌跡定義掌握情況.若學生能在課堂上比較流暢地回答截口曲線軌跡，則可進入下一問題；若學生比較陌生，教師可通過作圖展示或嚴謹推證引導學生認識截口曲線軌跡.評價學生對曲線軌跡的認知水平，發展學生直觀想象及數學抽象核心素養.

3 例題探析

例1 nbsp;"已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點，N為平面ABCD內一動點.請思考下列問題1～5.

問題1 ""若MN與平面ABCD所成的角為 π 4 ，則點N的軌跡是什么？

生：直線與平面所成的角即為直線與它在這個平面內的射影所成的角，MN在平面ABCD內的射影為DN，則|DN|=2.根據圓的定義，可知點N的軌跡是以D為圓心，半徑為2的圓.

追問1：若求線段MN中點P的軌跡呢？

生：在△DMN中，取DM中點Q，則|PQ|=1，且PQ⊥DD1，則點P的軌跡以Q為圓心，半徑為1的圓.

追問2：若以頂點A為球心， 8 3 "3 為半徑作一個球，求球面與正方體表面相交所得到的曲線長.

解：[STBZ][HTF]在球面與正方體六個表面的交線中，平面ADD1A1中的交線是以A為圓心，AE= 8 3 "3 為半徑的弧EF，如圖2.由AD=4，得∠DAE= π 6 ，則∠A1AF= π 6 ， 所以∠FAE= π 6 ，故弧EF的長度為 8 3 "3 × π 6 = 4 3 "9 π，這樣的弧共有三條且長度都相等.其中，在平面A1B1C1D1中的交線需將球心投影到點A1，交線是以A1為圓心，A1F= 4 3 "3 為半徑的弧GF，∠GA1F= π 2 ，弧GF的長度為 4 3 "3 × π 2 = 2 3 "3 π，這樣的弧共有三條且長度都相等.故所得到的曲線長為3× 4 3 "9 π+3× 2 3 "3 π= 10 3 "3 π.

評價： 問題1關注學生能否將線面所成角轉化為線線所成角，從而將空間問題轉化為平面問題進行處理.追問1關注學生能否將空間點P的軌跡問題轉化為繞DD1旋轉的圓柱被一個垂直于軸的平面截得的圓.追問2通過球面與正方體表面相交引導學生想象曲面與平面相交的問題，關注學生能否將交線問題轉化為平面截球面所得截口曲線問題.截口曲線并不是完整的圓，需要通過角度判斷曲線的長度；若學生能較好地回答，則可以順利通過，若學生比較難理解，可以將球被平面截得的截口曲線作出.培養轉化與化歸、數形結合的數學思想，發展學生的空間想象、邏輯推理核心素養，提高運算求解能力.

問題2 ""若△AC1N的面積為定值，則點N的軌跡是什么？

生：若S△AC1N為定值，又線段AC1長度已知，則點N到直線AC1的距離為定值，即點N在以AC1為軸，定長為半徑的圓柱（圓柱沒有高度）上.又因為點N在平面ABCD內，所以用一個與旋轉軸AC1不垂直的平面截圓柱，截口曲線為橢圓，即點N的軌跡.

問題3 ""若點N到直線BB1與直線DC的距離相等，則點N的軌跡是什么？

生：由題意知點N到點B與直線DC的距離相等，根據拋物線的定義知點N的軌跡是拋物線.

追問3：若平面A1BCD1內一動點P到直線AB1和BC的距離相等，則點P的軌跡是什么？

生：設AB1∩A1B=O，則PO表示點P到直線AB1的距離.因為平面A1BCD1內一動點P到直線AB1和BC的距離相等，所以PO與點P到直線BC的距離相等.根據拋物線的定義，可得點P的軌跡為拋物線．

問題4 ""若直線D1N與AB所成的角為 π 3 ，則點N的軌跡是什么？

生：直線D1N與AB所成的角為 π 3 ，即直線D1N與D1C1所成的角為 π 3 ，此時點N在以D1C1為軸的圓錐（去除頂點上的點）上，又平面ABCD與軸D1C1平行，點N在平面ABCD內，所以所得到的截口曲線是雙曲線，即點N的軌跡.

追問4：若點P在平面CDD1C1內，滿足∠A1BD1=∠PBD1，則動點P的軌跡是什么？

生：點P在以B為頂點，BD1為對稱軸，A1B為母線的圓錐與平面CDD1C1的交線上，又A1B∥平面CDD1C1，所以與圓錐母線平行的平面截圓錐得到的截口曲線是拋物線，即點P的軌跡．

評價： 關注學生對圓錐曲線定義的掌握情況，評價學生對軌跡的認知，發展學生數學建模、空間想象、邏輯推理核心素養.

問題5 ""對于問題4，還可以用什么方法來處理？

解： 如圖3，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A（4，0，0），B（4，4，0），D1（0，0，4）.設N（x，y，0），則AB[TX→]＝（0，4，0），D1N[TX→]＝（x，y，－4）.

因為直線D1N與直線AB所成的角為 π 3 ，所以可得|cosAB ，D1N |=cos π 3 ，則| 4y 4 x2+y2+16 "|= 1 2 ，化簡得 3y2 16 － x2 16 =1.

所以點N的軌跡為雙曲線．

評價： 關注學生用幾何法處理問題不容易時，能否想到可通過坐標法實現，對比各自的優缺點，評價轉化與化歸的數學思想；關注學生能否運用定義法或坐標法求軌跡問題，評價學生對立體幾何軌跡問題的運用水平；關注學生能否借助圖形尋找幾何元素與數量之間的關系及將空間問題轉化為平面問題，評價數形結合思想及轉化與化歸思想的理解水平；關注學生通過不同方法表述軌跡的過程，發展學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養，培養學生推理論證及運算能力.

例2 ""如圖4，設點M是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點，AD=AA1=4，AB=5，點P在面BCC1B1上，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1

所成的銳二面角相等，則點P的軌跡為（ "）.

A．橢圓的一部分 "[WB]

B．拋物線的一部分

C．一條線段[DW]

D．一段圓弧

解：[STBZ][HTF]如圖5，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.設P（x，5，z），D1（0，0，4），M（2，0，0），則

MD1 =（－2，0，4），MP =（x－2，5，z）.

設平面MD1P的法向量為n1 =（a，b，c），

則 n1 ·MD1 =－2a+4c=0，n1 ·MP =（x－2）a+5b+cz=0. 不妨取a=2，則b= 4－2x－z 5 ，c=1，故n1 = 2， 4－2x－z 5 ，1 .

由題意可得，平面ABCD的一個法向量為n2 =（0，0，1），平面BCC1B1的一個法向量為n3 =（0，1，0）.

故 "n1 n2 "|n1 ||n2 | "= "n1 ·n3 "|n1 |·|n3 | "，則 4－2x－z 5 =1，整理得2x+z+1=0，即點P的軌跡為一條線段．

例3 ""在棱長為2 2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱AB，AD的中點，P為線段C1D上的動點，則直線A1P與平面D1EF的交點Q的軌跡長度為[CD#3].

解：[STBZ][HTF] 如圖6，連接B1D1.因為E，F分別為棱AB，AD的中點，所以B1D1∥EF，則B1，D1，E，F四點共面．連接A1C1，A1D，設A1C1∩B1D1=M，A1D∩D1F=N，連接MN，則點Q的軌跡為線段MN.易得A1D= "A1D21+DD21 =4，△A1ND1∽△DNF，且 A1D1 FD =2，所以A1N= 2 3 A1D= 8 3 .易知A1C1=C1D=A1D=4，所以∠C1A1D=60°.又A1M=2，所以在△A1MN中，由余弦定理得MN2=A1N2+A1M2－2A1N·A1Mcos 60°= 52 9 ，

則MN= 2 13 "3 .故點Q的軌跡長度為 2 13 "3 .

評價： 例2、例3關注學生求解軌跡問題的方法選擇，坐標法中坐標的正確書寫，幾何法中量的正確表達以及運算求解能力.通過方程的形式判斷軌跡及表述軌跡的過程，關注學生能否將線面交點問題轉化為線線交點問題，例3中交點Q的軌跡是平面與平面的交線，尋找這條線的關鍵是找出兩個交點.評價數形結合及轉化與化歸數學思想的理解水平；發展學生直觀想象、邏輯推理核心素養，培養推理論證、運算求解能力.

4 課堂練習

（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡為（ "）.

A．線段B1C

B．線段BC1

C．BB1的中點與CC1的中點連成的線段

D．BC的中點與B1C1的中點連成的線段

（2）已知異面直線a，b成60°角，其公垂線段為EF，|EF|=2，長為4的線段AB的兩端點分別在直線a，b上運動，則AB中點的軌跡為（ "）.

A．橢圓[DW]

B．雙曲線

C．圓[DW]

D．以上都不是

（3）正四面體ABCD的棱長為1，點P是該正四面體內切球球面上的動點，當PA ·PD 取得最小值時，點P到AD的距離為[CD#4].

評價： 通過課堂鞏固練習，加深對立體幾何軌跡問題的認知，反饋學生對本節課內容的掌握情況，進一步發展學生的能力.

5 課堂小結與課后練習

本文從略，可掃碼觀看具體內容.

根據學生的認知規律，合理地設計教學過程，再進行學習評價，這樣不僅可以提高學生的學習興趣，提高他們的自我認知，更好地落實數學核心素養，也有利于教師進行教學反思，改進教學，提高教學質量.