高考命題解讀，引導復習備考

摘要： 通過比較2021至2023年的新高考數學試卷，從細節入手，以大局視角，結合實例就新高考在數學應用、學科特點、關鍵能力以及育人要求等方面的突出表現加以剖析，以引導教學與復習備考.

關鍵詞： 高考；命題；數學應用；學科特點；關鍵能力；育人要求

比較2021年至2023年新高考（新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷）數學試卷，總體來說，主要圍繞主干知識（數列、三角函數與解三角形、概率統計、立體幾何與空間向量、平面解析幾何、函數與導數）進行考查，大體分數為135分，占全卷的90%，而集合、復數、平面向量等相關知識占15分，不等式融合在其他知識中加以考查.經過細致解讀，發現新高考在數學應用、學科特點、關鍵能力以及育人要求等方面更加關注，因此在數學教學與復習備考中必須高度重視[1].

1 強調數學應用，發揮育人功能

此類數學試題的命制往往以學生熟知的生產生活實際、社會經濟發展等方面為背景素材，借助閱讀理解相應的背景材料，進而構建對應的數學模型，結合數學知識加以分析與應用.此類試題試圖引導教育者與被教育者關注社會主義建設的偉大成果，引導考生用數學的眼光看待世界，同時增強社會責任感，培養愛國情懷.這類試題體現了數學的應用價值以及育人功能.

例1 """（2022年高考數學新高考Ⅰ卷·4） 南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（ 7 ≈2.65）（ "）.

A.1.0×109 m3 """"""B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3 "D.1.6×109 m3

分析： 借助背景材料的閱讀與理解，統一題中數據的單位，合理構建立體幾何模型，結合棱臺體積公式的應用加以運算與求解，即可確定增加的水量，實現數學應用問題的破解.

解析： 由于140 km2=140×106 m2，180 km2=180×106m2，因此

根據題意，結合棱臺體積公式V= "1 3 （S1+ S1S2 +S2）h，可得增加的水量約為 1 3 （140× 106+180×106+ 140×106×180×106 ）×（157.5－148.5）= 1 3 （140+180+60 7 ）×106×9≈（320+60×2.65）×106×3=1437×106≈1.4×109（m3）.

故選擇答案：C.

點評： 此題以我國的重大的南水北調建設工程為背景材料，借助立體幾何中的空間圖形進行數學建模，將實際應用問題轉化為相關棱臺的體積計算問題，難點在于棱臺的體積公式與應用.涉及數學的應用問題，往往可以很好結合時代特色，關注社會熱點，倡導正能量，引導愛國主義教育[2].

2 突出學科特點，彰顯教育功能

此類試題的命制立足數學的基礎知識、基本活動經驗，基本思想方法等，或來自數學基本知識，或源自教材例（習）題、閱讀材料、探究過程等，從數學學科的基本特點入手，合理創設，巧妙編制，源于教材又高于教材.此類試題試圖引導中學數學教學應專注高中數學教材與體驗，以本為本，加強教（教學）考（高考）銜接，發揮高考引導教學的核心功能，充分彰顯教育功能.

例2 """（2021年高考數學新高考Ⅱ卷·7） 已知a=log52，b=log83，c= 1 2 ，則下列判斷正確的是（ "）.

A.clt;blt;a

B.blt;alt;c

C.alt;clt;b

D.alt;blt;c

分析： 以兩個不同底的對數式和一個具體的數字創設問題背景，立足基本初等函數中的對數函數，通過函數的圖象與性質，以及不等式的性質等來綜合與應用，結合對數函數的圖象與性質進行放縮處理，得以判斷三數的大小關系.

解析： 由a=log52=log5 4 lt;log5 5 = 1 2 =c，b=log83=log8 9 gt;log8 8 = 1 2 =c，可得alt;clt;b.

故選擇答案：C.

點評： 涉及對數式的大小比較問題，高中數學教材中也有出現.此類習題涉及不同底的對數式的大小比較，簡捷樸實，同時蘊含著豐富的數學思想方法，對學生理性思維素養的要求較高，可以很好考查數學運算、邏輯推理等核心素養，以及發散思維、探究能力等.

鏈接教材習題 """［普通高中數學必修第一冊（人教A版）第141頁習題4.4第13題第（2）小題］ 比較下列三個值的大小：log23，log34，log45.

3 加強關鍵能力，發揮選拔功能

此類試題的命制深化基礎性，突出主干知識，在問題的分析、求解過程中合理滲透數學能力與數學素養，強調數學思想方法的靈活性，數學內容體系的創新性，并合理引導高中數學教學與學習.基于探究的解題教學，需要重視數學學科核心素養與關鍵能力，以及試題的選拔功能.

例3 """（2023年高考數學新高考Ⅰ卷·20） 設等差數列 an 的公差為d，且dgt;1．令bn= n2+n an ，記Sn，Tn分別為數列 an ，{bn}的前n項和．

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求 an 的通項公式；

（2）若{bn}為等差數列，且S99－T99=99，求d．

分析： 借助等差數列創設背景，利用兩個數列之間的線性代數關系進行合理聯系，在此基礎上巧妙設置數列中的通項與前n項和加以模型構建，進而利用相關知識進行求解．

解析： （1） 由3a2=3a1+a3，可得3（a1+d）=3a1+a1+2d，整理有a1=d，所以an=a1+（n－1）d=dn.

故bn= n2+n an = n2+n dn = n+1 d .

結合S3+T3=21，可得d+2d+3d+ 2 d + 3 d + 4 d =21，整理有（2d－1）（d－3）=0.

解得d= 1 2 ，或d=3.由dgt;1，則d=3.所以an=3n.

（2）由于數列{bn}為等差數列，則有2b2=b1+b3.

由bn= n2+n an ，

得2× 22+2 a1+d = 12+1 a1 + 32+3 a1+2d ，整理有a12－3a1d+2d2=0.

解得a1=d，或a1=2d.

當a1=d時，an=nd，bn= n+1 d ，則數列{an－bn}是首項為d－ 2 d ，公差為d－ 1 d 的等差數列.

所以S99－T99=99 d－ 2 d "+ 99×98 2 "d－ 1 d "=99，解得d=－1或d= 51 50 .

由于dgt;1，則知d= 51 50 .

當a1=2d時，an=（n+1）d，bn= n d ，則數列{an－bn}是首項為2d－ 1 d ，公差為d－ 1 d 的等差數列.

所以S99－T99=99 2d－ 1 d "+ 99×98 2 "d－ 1 d "=99，解得d=－ 50 51 或d=1.由于dgt;1，因此此時無解.

綜上分析，可知d= 51 50 ．

點評： 以數列為問題背景的試題，一改傳統的與數列的定義、通項公式、求和公式相關的數列推理與運算問題，借助數列這一基礎知識，融入邏輯推理與證明，回歸數學基礎知識等創新設置，以基礎試題全面考查學生的創新應用與創新意識，合理引導中學數學知識間的交匯與融合，以及創新意識與創新應用的培養．

4 貫徹育人要求，引導教學方向

此類試題的命制適度創新，以多選題、開放性試題、探究性試題等創新形式出現，突出理性思維與創新意識，給學生更大的思維空間，借助知識之間的聯系與數學思維的靈活性等，創設一個適度創新融合的場景.此類試題試圖以創新新穎的情境，合理引導教師在教學過程中強化對考生創新意識的培養，全面貫徹育人的根本要求，合理引導教學方向.

例4 """（2022年高考數學新高考Ⅰ卷·14） 寫出與圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16都相切的一條直線的方程 """"".

分析： 以圓的標準方程為問題背景，通過兩圓位置關系的判定，結合兩圓公切線的求解，以結論的開放性來創新設置，答案不唯一.考生可以根據自己對題設信息的分析、猜想、探究和推理等，從不同視角得出一個滿足條件的結論即可.

速解視角1： 在確定兩圓位置關系為外切的前提下，將兩圓所對應的方程相減，即得3x+4y－5=0，此時為兩圓的一條內公切線.

速解視角2： 通過兩圓的大體草圖，數形結合，直觀分析，即得x=－1，此直線為兩圓的一條外公切線.

點評： 例4的第三條公切線方程7x－24y－25=0（也是外公切線）的求解就沒有以上這么簡單快捷，需要通過相關的邏輯推理與數學運算來分析與求解.而對于答案不唯一的開放性試題而言，以最快最簡捷的方式得到答案就是關鍵所在，充分體現考生的創新意識與創新應用，這也是平時經驗的積累與知識的融會貫通.

新高考數學試卷以落實立德樹人為根本任務，以服務高校人才選拔、引導中學數學教學為出發點，堅持素養導向，重視數學本質，加強對數學理性思維和關鍵能力的考查，突出選拔功能，同時協同推進高考綜合改革，對引導中學數學教學及落實“雙減”政策起到了積極的作用，助力基礎教育提質增效[2].

參考文獻：

[1] 李素娟.高考命題有依據 復習備考有目標[J].中學數學，2022（15）：51-52.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.