高考類型剖析，線性回歸應(yīng)用

線性回歸模型及其應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)重要考點(diǎn).對(duì)于兩個(gè)變量之間的線性回歸模型與相關(guān)關(guān)系，全面把握相關(guān)概念，正確進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理，準(zhǔn)確確定線性回歸方程，利用線性回歸方程進(jìn)行合理決策應(yīng)用等，都是線性回歸模型及其應(yīng)用的重要組成部分.因此，應(yīng)全面系統(tǒng)理解與掌握相關(guān)線性回歸模型的概念，進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提升應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1 概念理解

例1 """［2023屆湘豫名校聯(lián)考高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（8月份）］ "在研究線性回歸模型時(shí)，樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，3，……，n）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線y= 1 2 x+3 上，用R2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，則R2=（ "）.

A.－1

B.－ 1 2

C.1

D.2

分析： 根據(jù)題意，用解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率R2來(lái)表示擬合效果，通過(guò)概念的理解，以及R2的性質(zhì)特征，R2越大表示模型的擬合效果越好，即可確定正確答案為C.

2 信息解讀

例2 """（多選題）［2023屆福建省莆田市涵江區(qū)錦江中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷］ 在“3·15”前，某市物價(jià)部門對(duì)本市5家商場(chǎng)的同一商品的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，其對(duì)應(yīng)的售價(jià)x元和銷售量y件對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示：

結(jié)合散點(diǎn)圖，可以確定其銷售量y與價(jià)格x之間滿足較好的線性回歸直線方程：y "＾ "=－3.2x+a "＾ "（參考公式：回歸方程y "＾ "=b "＾ "x+a "＾ "，a "＾ "=y "- "－b "＾ "x "- "），則下列說(shuō)法正確的有（ "）.

A.a "＾ "=40

B.當(dāng)x=1時(shí)，y的估計(jì)值為36.8

C.當(dāng)售價(jià)為5元時(shí)，銷售量一定是24件

D.樣本中心點(diǎn)為（10，8）

分析： 利用題目的數(shù)據(jù)，求出對(duì)應(yīng)的均值與相關(guān)的參數(shù)，并確定對(duì)應(yīng)的回歸方程，再結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可解讀相關(guān)信息，給出判斷.

答案：ABD.

3 關(guān)系判斷

例3 """［2023屆四川省眉山市仁壽縣文宮中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）］ 某專營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了近五年來(lái)的創(chuàng)收利潤(rùn)yi（單位：萬(wàn)元）與時(shí)間ti（單位：年）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表2所示：

依據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)rty，并結(jié)合計(jì)算結(jié)果說(shuō)明能否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？（結(jié)果精確到0.01，若|rty|＞0.8，則表明可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.）

附：相關(guān)系數(shù)

rty=

∑ n i=1 （ti－t "- "）（yi－y "- "）

∑ n i=1 "（ti－t "- "）2

∑ n i=1 "（yi－y "- "）2

= ""∑ n i=1 tiyi－nt "- "y "-

∑ n i=1 （ti－t "- "）2 """∑ n i=1 （yi－y "- "）2 """.

可能用到的參考數(shù)據(jù)： 56.95 ≈7.547，∑ 5 i=1 tiyi=85.2，

∑ 5 i=1 （ti－t "- "）2 "= 10 ， "∑ 5 i=1 （yi－y "- "）2 "= 22.78 .

例4 """（2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科·17） 某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為x1，y1（i=1，2，……，10），試驗(yàn)結(jié)果如表3：

記zi=xi－yi（i=1，2，……，10），記z1，z2，……，z10的樣本平均數(shù)為z "- "，樣本方差為s2.

（1）求z "- "，s2；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z "- "≥2 """s2 10 "，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

分析： 例3和例4都是根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可給出判斷，過(guò)程略.

4 決策應(yīng)用

例5 """［2022—2023學(xué)年陜西省榆林十中高二（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷］ 公交公司為增設(shè)一個(gè)公交起點(diǎn)站，研究某地車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，得出以下表4中相應(yīng)的數(shù)據(jù)：

從中選取四組數(shù)據(jù)作線性回歸分析，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

（1）試求剩下的兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率.

（2）若選取的數(shù)據(jù)是表3中的后面四組數(shù)據(jù)，試求y關(guān)于x的線性回歸方程y "＾ "=b "＾ "x+a "＾ ".

（3）創(chuàng)新定義“最佳回歸方程”：借助線性回歸方程預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)相差不超過(guò)1人，則所求的的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.試判斷（2）中所求的是“最佳回歸方程”嗎？同時(shí)為了使等候的乘客不超過(guò)35人，則發(fā)車的間隔時(shí)間為18 min，是否合適？

附：回歸直線y "＾ "=b "＾ "x+a "＾ "的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b "＾ "= "∑ n i=1 （xi－x "- "）（yi－y "- "） ""∑ n i=1 （xi－x "- "）2

= "∑ n i=1 xiyi－nx "- "y "- """"∑ n i=1 x2i－nx "- "2 "，a "＾ "=y "- "－b "＾ "x "- ".另外，∑ 6 i=3 xiyi=1 546.

分析： （1）記這六組數(shù)據(jù)分別為1，2，3，4，5，6，利用列舉法和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式能求出剩下的兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率；（2）求出x "- "與y "- "，進(jìn)而利用公式求得b "＾ "與a "＾ "，由此能求解對(duì)應(yīng)的線性回歸方程；（3）結(jié)合創(chuàng)新定義“最佳回歸方程”，進(jìn)行合理決策與判斷.

解析： （1）設(shè)這六組數(shù)據(jù)分別為1，2，3，4，5，6，

那么剩下的兩組的所有可能為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共有15種.

其中“剩下的兩組數(shù)據(jù)相鄰”的有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），共5種.

故剩下的兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率P=1－ 5 15 = 2 3 .

（2）由x "- "=13.5，y "- "=28.5，可得

∑ 6 i=3 （xi-x "- "）（yi-y "- "）=（-1.5）×（-2.5）+（-0.5）×0.5+0.5×（-0.5）+1.5×2.5=7，

∑ 6 i=3 （xi-x "- "）2=（-1.5）2+（-0.5）2+0.52+1.52=5.

所以b "＾ "=1.4，a "＾ "=y "- "－b "＾ "x "- "=28.5－1.4×13.5=9.6.

故y關(guān)于x的線性回歸方程為y "＾ "=1.4x+9.6.

（3）當(dāng)x=10時(shí)，y "＾ "=23.6，23.6－23=0.6＜1；當(dāng)x=11時(shí)，y "＾ "=25，25－25=0＜1.

所以（2）中所求出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.

由1.4x+9.6≤35，解得x≤18.14.

故間隔時(shí)間設(shè)置為18 min比較合適.

點(diǎn)評(píng)： 借助線性回歸方程的求解，并利用條件中相關(guān)問(wèn)題的設(shè)置（本題中為“最佳回歸方程”），合理求解對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)并加以正確決策與判斷.特別在對(duì)一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行決策與判斷時(shí)，要有數(shù)據(jù)依據(jù)與基礎(chǔ).

線性回歸模型及其應(yīng)用是根植于現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，綜合統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)信息與數(shù)據(jù)分析，對(duì)線性回歸的相關(guān)概念、數(shù)據(jù)處理、關(guān)系判斷以及決策應(yīng)用等巧妙設(shè)置問(wèn)題，考查線性回歸的相關(guān)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新應(yīng)用.