專注素養(yǎng)差異化，提升高考創(chuàng)新性

《中國高考評價體系》中的“一核四層四翼”是高考命題的指導(dǎo)思想與基本命題要求，近兩年的高考數(shù)學(xué)試卷也是圍繞這個指導(dǎo)思想，同時基于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)進(jìn)行一些具有學(xué)科特色的創(chuàng)新與改變，圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)呈現(xiàn)出創(chuàng)新與差異;數(shù)學(xué)文化的滲透更加合理自然，數(shù)學(xué)應(yīng)用的構(gòu)建更加貼近生活，而且加大了數(shù)學(xué)探索與理性思維的考查題量與試題難度.

1 數(shù)學(xué)文化適當(dāng)滲透

將數(shù)學(xué)史中的經(jīng)典問題或中國傳統(tǒng)文化作為試題背景，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家探究問題、解決問題的過程，潛移默化地對學(xué)生進(jìn)行理想信念教育，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與愛國主義情懷.因而，數(shù)學(xué)文化成為近幾年高考的一個關(guān)注點(diǎn)， 2022年高考試題也有相應(yīng)的體現(xiàn).數(shù)學(xué)文化滲透的“影子”出現(xiàn)在各類試題中，如中國古建筑的屋頂結(jié)構(gòu)（新高考I卷第3題），“會圓術(shù)”（全國甲卷理科第8題《夢溪筆談》的記載），以及下面的問題.

例1 """（2022年高考數(shù)學(xué)浙江卷·11） 我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是S= "1 4 "c2a2－ "c2+a2－b2 2 "2 "，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊a= 2 ，b= 3 ，c=2，則該三角形的面積S= """"".

分析： 借助數(shù)學(xué)文化的情境創(chuàng)設(shè)，由秦九韶公式，代入對應(yīng)的參數(shù)值，直接計(jì)算可得所求的面積.

解析： 由a= 2 ，b= 3 ，c=2，結(jié)合題設(shè)中的面積公式，可得

S= "1 4 "c2a2－ "c2+a2－b2 2 "2 ""= 1 2 × 22×（ 2 ）2－ "22+（ 2 ）2－（ 3 ）2 2 "2 = "23 "4 .

故填答案： "23 "4 .

點(diǎn)評： 該試題以秦九韶發(fā)現(xiàn)的“三斜求積”法為問題背景，主要考查閱讀理解與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等.“三斜求積”與海倫公式等價，從中可以看到我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，這在一定程度上合理引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注我國古代的一些優(yōu)秀科學(xué)技術(shù)成果，同時進(jìn)行必要的愛國、愛民族的教育等.

2 數(shù)學(xué)應(yīng)用貼近實(shí)際

數(shù)學(xué)應(yīng)用往往以貼近生活實(shí)際的實(shí)例為背景，結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識來合理創(chuàng)新設(shè)置.近兩年的高考數(shù)學(xué)試卷中，

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的設(shè)置主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）從考題數(shù)量來看，新高考Ⅰ卷只有1個解答題，全國甲卷理科有2個題，其中1個選填題1個解答題，其余4套全國卷均為3個題，其中2個選填題和1個解答題等；（2）從考查場景來看，主要針對考生比較熟悉的生活生產(chǎn)場景，如排隊(duì)、比賽、植樹造林以及這兩年比較熱門的流行病調(diào)查等相關(guān)問題；（3）從試題考查難度來看，大多題目是中等或簡單題，以保證大多數(shù)考生能比較輕松解決.

例2 """（2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·10） 某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（ "）.

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

分析： 根據(jù)生活實(shí)際中的應(yīng)用問題，結(jié)合棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，可以判斷概率p受比賽次序影響，由此判斷選項(xiàng)A錯誤；再計(jì)算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率，比較大小即可得以判斷.

解析： 由題設(shè)知，棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率各不相等，所以判定p受比賽次序影響，故選項(xiàng)A錯誤.

設(shè)棋手在第二盤與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率分別為P甲，P乙，P丙，那么

P甲=p1[p2（1－p3）+p3（1－p2）]=p1p2+p1p3－2p1p2p3；

P乙=p2[p1（1－p3）+p3（1－p1）]=p1p2+p2p3－2p1p2p3；

P丙=p3[p1（1－p2）+p2（1－p1）]=p1p3+p2p3－2p1p2p3.

所以P丙－P甲=p2（p3－p1）＞0，P丙－P乙=p1（p3－p2）＞0，

故P丙最大.

故選擇答案：D.

點(diǎn)評： 該試題以創(chuàng)新情境的設(shè)置，考查概率的求法，以及數(shù)值的大小比較等.解題時要認(rèn)真審題，注意實(shí)際問題的分析與理解，以及相互獨(dú)立事件概率乘法公式的靈活運(yùn)用.學(xué)以致用是高考數(shù)學(xué)試卷的基本命題方向與思路，要引起高度重視，要合理交匯與融合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系.

3 數(shù)學(xué)探索體現(xiàn)差異

數(shù)學(xué)探究類的學(xué)科素養(yǎng)考查，可以有效區(qū)分考生的能力水平與知識差異，方便不同高校有針對性地選拔人才，因此，數(shù)學(xué)探究類試題也是高考命題者比較關(guān)注與青睞的一類問題，近年其高考中的考查力度有所提升.數(shù)學(xué)探究類的學(xué)科素養(yǎng)考查在高考試卷中的表現(xiàn)層面與展示形式主要有以下幾個方面：（1）開放性命題，（2）結(jié)論不良問題，（3）探索解題思路等形式.

例3 """（2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科·15） 記雙曲線C： x2 a2 － y2 b2 =1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個值 """"".

分析： 根據(jù)題設(shè)條件，求出雙曲線的漸近線方程，利用已知直線與雙曲線無公共點(diǎn)的條件，構(gòu)建對應(yīng)的不等式，進(jìn)而確定離心率的取值范圍，結(jié)合開放性命題確定一個值即可.

解析： 依題可得雙曲線C： x2 a2 － y2 b2 =1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=± b a x，又直線y=2x與C無公共點(diǎn)，所以0＜ b a ≤2，則 b2 a2 ≤4，即 c2－a2 a2 ≤4.

所以e2－1≤4.結(jié)合雙曲線的離心率egt;1，解得1＜e≤ 5 .

故可以填答案：2.（答案不唯一，e∈（1， 5 ]內(nèi)的任意一個值都滿足題意.）

例4 """（2023年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·15） 已知直線x－my+1=0與⊙C：（x－1）2+y2=4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為 8 5 ”的m的一個值 """"".

具體解析略，參考答案：2或 1 2 或－ 1 2 或－2（只要填其中一個即可）.

4 理性思維貫穿始終

理性思維是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中最本質(zhì)、最核心的基本內(nèi)容之一，也是數(shù)學(xué)學(xué)科中嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思維能力最重要的一種體現(xiàn)方式，是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).主要表現(xiàn)在以下幾個方面：（1）增加考題題量，（2）加強(qiáng)論證性問題，（3）數(shù)形相互印證等.

例5 """（2022年高考數(shù)學(xué)北京卷·9） 已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區(qū)域的面積為（ "）.

A. 3π 4

B.π

C.2π ""D.3π

分析： 根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)O，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得OA的長，并由勾股定理求得OP的長，結(jié)合幾何直觀可知動點(diǎn)Q表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，從而得以分析與求解.

解析： 如圖1，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)O，連接PO，AO.

依題可得AO=BO=CO= 2 3 .又PA=PB=PC=6，所以PO= 62-（2 3 ）2 =2 6 .

若PQ=5，則OQ= 52-（2 6 ）2 =1，所以動點(diǎn)Q表示的區(qū)域?yàn)橐設(shè)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，

其對應(yīng)的面積為π.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評： 該試題通過集合語言與立體幾何知識相交匯與融合，通過數(shù)量間的關(guān)系得到圖形的幾何特征，又利用圖形的幾何特征得到數(shù)量間的關(guān)系，相互轉(zhuǎn)化，是理性思維中考查的一個重點(diǎn).高考數(shù)學(xué)試題中特別強(qiáng)調(diào)“畫好圖”對尋求解題思路的作用，但“畫好圖”需要數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)力支撐.

近兩年的高考數(shù)學(xué)試題整體上圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本思想方法，以基本題型為主，合理滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化場景，巧妙設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，以及數(shù)學(xué)探索的深入開展與理性思維的創(chuàng)新應(yīng)用等，對于引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，合理根除“題海戰(zhàn)術(shù)”，規(guī)避“題型套路”和“機(jī)械刷題”等頑瘴痼疾，做到了有效“反刷題、反套路”，擊中了當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的“痛點(diǎn)”.