例析求函數(shù)解析式的方法與技巧

“求函數(shù)解析式” 是《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修一》（人教版）的重要內(nèi)容，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)“基本初等函數(shù)”和“函數(shù)的應(yīng)用”的基礎(chǔ).在高考中，通常不會直接考查函數(shù)的解析式，但解析式往往是解函數(shù)題的基礎(chǔ)，所以學(xué)習(xí)和掌握求函數(shù)解析式的方法與技巧非常重要.在具體解題中，可以嘗試運(yùn)用以下六種方法.

1 配湊法

配湊法是一種結(jié)構(gòu)化的方法，即根據(jù)已知函數(shù)的類型及解析式的特征，配湊出復(fù)合變量的形式，從而求出解析式.具體方法是：由已知條件f［g（x）］=F（x），可將F（x）改寫成關(guān)于g（x）的表達(dá)式，然后以x替代g（x），即可得到f（x）的表達(dá)式.使用配湊法時，要注意定義域的變化.

配湊法的關(guān)鍵在于如何“配”和“湊”，讓題目的條件轉(zhuǎn)化為容易求解的形式，方法靈活多樣，不同的題目，配湊的方法不同.

例1 ""已知f（x+1）=x2－3x+2，求函數(shù)f（x）的解析式.

解： "因?yàn)閒（x+1）=x2－3x+2=（x+1）2－5（x+1）+6，所以f（x）=x2－5x+6.

方法與技巧： 配湊法的技巧大多是配湊公式，例如本題中就是化用了公式（a-b）2=a2-2ab+b2，只需把原復(fù)合函數(shù)解析式配湊成關(guān)于x+1的多項(xiàng)式即可.

例2 ""已知f x+ 1 x "=x2+ 1 x2 ，求f（x）的解析式.

解： 因?yàn)閒 x+ 1 x "=x2+ 1 x2 = x+ 1 x "2－2（x≠0），且 x+ 1 x "≥2所以f（x）=x2－2（x≥2，或x≤－2）.

方法與技巧： 本題的方法是把原復(fù)合函數(shù)解析式的右邊配湊成關(guān)于x+[SX（]1[]x[SX）]的多項(xiàng)式，同時注意函數(shù)的定義域.

2 換元法

換元法即變量替換，其實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化.通過轉(zhuǎn)化達(dá)到“化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉”的目的.對于形如y=f［g（x）］的函數(shù)解析式，令t=g（x），從中求出x=φ（t），然后代入表達(dá)式求出f（t），最后將t換成x，得到f（x）的解析式.換元時要注意新元的取值范圍.

例3 ""已知af（4x－3）+bf（3－4x）=2x，a2≠b2，求函數(shù)f（x）的解析式.

解： 令4x－3=t，則2x= t+3 2 ，所以

af（t）+bf（－t）= t+3 2 . ①

將①中的t換成－t，得

af（－t）+bf（t）= －t+3 2 . ②

①×a-②×b，得

（a2－b2）f（t）= a+b 2 ·t+ 3 2 （a－b）.

由a2≠b2，得a2-b2≠0.

所以f（t）= 1 2（a－b） t－ 3 2（a+b） .

故f（x）= 1 2（a－b） x－ 3 2（a+b） .

方法與技巧： 因?yàn)楸绢}的左邊有多項(xiàng)式4x－3，所以首先將4x－3換為t，然后再將t換成－t，求出f（t）后再將t換成x，最后得到f（x）的解析式.

例4 ""已知f（x）是對除x=0及x=1以外的一切實(shí)數(shù)都有意義的函數(shù)，且f（x）+f "x－1 x "=1+x，求函數(shù)f（x）的解析式.

解： "f（x）+f "x－1 x "=1+x. "③

③式中令x= t－1 t （t≠0，t≠1），則 x－1 x = 1 1－t ，所以

f "t－1 t "+f "1 1－t "= 2t－1 t . "④

③式中令x= 1 1－t （t≠0，t≠1），則t=[SX（]x-1[]x[SX）]，所以

f "1 1－t "+f（t）= 2－t 1－t . "⑤

由③式，可得

f（t）+f "t－1 t "=1+t. "⑥

由④⑤⑥，消去f "t－1 t "+f "1 1－t "，得

f（t） = 1 2 "t+1+ 2－t 1－t － 2t－1 t

=[SX（]1[]2[SX）] t-[SX（]1[]t（t-1）[SX）] .

所以f（x）= 1 2 "x- 1 x（x-1） ".

方法與技巧： 本題通過對③式的兩次換元，巧妙地消去f "t－1 t "+f "1 1－t "，求出f（t）后再將t換回x，最后得到f（x）的解析式.緊扣表達(dá)式的特征設(shè)元、變形、消元是換元法常用的技巧.

3 待定系數(shù)法

如果已知所求函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)），可先設(shè)出所求函數(shù)的解析式，再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù).具體方法是：先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程（組），通過解方程（組）求出相應(yīng)的待定系數(shù).

例5 ""已知f（x）是二次函數(shù)，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求函數(shù)f（x）的解析式.

解： 設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.由f（0）=0可知c=0，所以f（x）=ax2+bx.

又f（x+1）=f（x）+x+1，所以

a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+x+1.

即ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1.

所以 2a+b=b+1，

a+b=1， 解得a=b= 1 2 .

故f（x）= 1 2 x2+ 1 2 x.

方法與技巧： 由已知條件可知f（x）是二次函數(shù)，所以設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.由于推知c=0，于是得出ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1，進(jìn)而根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等的關(guān)系，求出a，b的值即可.

例6 ""若二次函數(shù)f（x）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），其與x軸的交點(diǎn)為（－1，0），試求函數(shù)f（x）的解析式.

解法1： "設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），則有

－ b 2a =1，

4ac－b2 4a =4，

a－b+c=0，

解得 a=－1，

b=2，

c=3.

所以f（x）=－x2+2x+3.

解法2： ""設(shè)f（x）=a（x+m）2+k，因?yàn)楫?dāng)m=-1時，

k=4，所以f（x）=a（x－1）2+4.

由f（－1）=0 ，得a（－1－1）2+4=0，則a=－1.

故f（x）=－x2+2x+3.

方法與技巧： 本題的兩種解法都運(yùn)用了待定系數(shù)法.解法1運(yùn)用二次函數(shù)的一般式f（x）=ax2+bx+c（a≠0），通過解方程組求出a，b，c的值代入獲解;解法2運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式f（x）=a（x+m）2+k來求解.它們有異曲同工之妙.

4 解方程組法

已知關(guān)于f（x）與f "1 x "或f（x）與f（-x）的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組，求出f（x）.

例7 ""已知f（x）滿足2f "x－1 x "+f（ x+1 x ）=1+x（x≠0），求f（x）.

解： ""2f "x－1 x "+f "x+1 x "=1+x. ⑦

⑦式中用－x代替x，得

2f "x+1 x "+f "x－1 x "=1－x. "⑧

聯(lián)立⑦⑧，解得

f（ x+1 x ）= 1 3 -x. "⑨

令 x+1 x =t，則x= 1 t－1 ，將其代入⑨式，得

f（t）= 1 3 － 1 t－1 = t－4 3（t－1） .

所以f（x）= x－4 3（x－1） .

方法與技巧： 本題根據(jù)題設(shè)條件用-x代替x，構(gòu)造一個對稱方程組，通過解方程組即可得到f（x）的解析式.

例8 ""已知函數(shù)f（x）滿足f（-x）+2f（x）=2x，求f（x）的解析式.

解： 將f（-x）+2f（x）=2x中的-x用x代換，得

f（x）+2f（－x）=2－x.

聯(lián)立兩式，解得3f（x）=2x+1－2－x.

所以f（x）= 2x+1－2－x 3 .

方法與技巧： 常以f（x）與f（-x），f（x）與f "1 x "，f（x）與f（x+a）等構(gòu)成方程組，消元的目的是為了解方程組.

5 賦值法

賦值法的解題思路是對變量取適當(dāng)?shù)奶厥庵担箚栴}具體化、簡單化，進(jìn)而依據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)找出一般規(guī)律，求出函數(shù)解析式.

例9 ""已知f（0）=1，f（a－b）=f（a）－b（2a－b+1），求函數(shù)f（x）的解析式.

解： 令a=0，

得

f（－b）=f（0）－b（1－b）=b2－b+1.

令－b=x，得f（x）=x2+x+1.

方法與技巧： 從本題可以看出賦值法的解題規(guī)律.①當(dāng)所給函數(shù)方程含有兩個變量時，可以考慮對這兩個變量交替用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再運(yùn)用已知條件，即可求出函數(shù)解析式；②根據(jù)題目的具體特征來確定取什么特殊值；③取特殊值代入的目的，是為了使問題具體化、簡單化，進(jìn)而找出規(guī)律，求出函數(shù)解析式.

例10 ""已知f（x+y）+f（x－y）=2f（x）cos y，且f（0）=a，f "π 2 "=b，求函數(shù)f（x）的解析式.

解： 令x=0，y=t，得

f（t）+f（－t）=2acos t. "⑩

令x= π 2 +t，y= π 2 ，得

f（π+t）+f（t）=0. "B11

令x= π 2 ，y= π 2 +t，得

f（π+t）+f（－t）=－2bsin t. "B12

⑩+B11-B12，得f（t）=acos t+bsin t.

所以f（x）=acos x+bsin x.

方法與技巧： 本題所給的條件中出現(xiàn)了f（x），f（x+y），f（x－y）三種函數(shù)表達(dá)式，情況比較復(fù)雜，又已知f（0），f "π 2 "及考慮到還有cos y，所以在運(yùn)用賦值法的過程中，充分挖掘和利用了題設(shè)中的隱含條件，做到了化隱為顯、化繁為簡.本題在運(yùn)用賦值法的同時，還用到了構(gòu)造方程、換元、配湊等多種手段.

6 代入法

代入法求函數(shù)解析式的特點(diǎn)是，知道已知函數(shù)圖象或者方程曲線的一個點(diǎn)A，通過題目中的關(guān)系，用所求的函數(shù)圖象或者方程曲線上點(diǎn)B的坐標(biāo)表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入已知的函數(shù)或者方程中，即可求出所需的函數(shù)解析式或曲線方程.

例11 ""已知定義在實(shí)數(shù)集 R 上的函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=2對稱，并且在［0，2］上的解析式為y=2x－1，求函數(shù)f（x）在［2，4］上的解析式.

解： 設(shè)M（x，y）x∈［2，4］在函數(shù)f（x）的圖象上，點(diǎn)M′（x′，y′）與M關(guān)于直線x=2對稱，則

x′=4－x，

y′=y.

又y′=2x′－1.

所以y=2（4－x）－1，即y=7－2x.

故函數(shù)f（x）在［2，4］上的解析式為y=7－2x.

方法與技巧： 從本題的求解過程可以看出，求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時，采用代入法比較簡捷.

例12 ""如圖1，某地有一座形如拋物線的石拱橋，已知其跨度為37.4 m，拱高為7.2 m，求此石拱橋所在拋物線的解析式.

解： 如圖2，以拋物線的對稱軸為y軸，以寬AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，令拋物線的解析式為y=ax2+7.2.

將點(diǎn)B（18.7，0）代入，得

0=（18.7）2a+7.2.

解得a=－ 7.2 18.72 =－ 720 34 969 .

所以，此石拱橋所在拋物線的解析式為y=－ 720 34 969 x2+[SX（]36[]5[SX）].

方法與技巧： 本題屬于拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，解題技巧在于把拋物線放在合適的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)出相應(yīng)的解析式，這樣能夠使解題過程變得簡潔.

通過對上述典例的解析，我們可以看到，嫻熟地運(yùn)用“六法”可以應(yīng)對絕大多數(shù)求函數(shù)解析式類的題型，“六法”各自既有其獨(dú)特性，相互之間又有聯(lián)系，有時一種題型可以用幾種方法來求解，達(dá)到一題多解的效果.