函數零點問題的求解路徑分析

摘要： 含參的函數零點討論問題，是近些年來函數壓軸的常見題型，本文中借此題型分享了幾個含參函數零點問題的解題感悟，找到了使得函數值異號的點大致的三種路徑.路徑一，分離出代數式中已經能判定符號的式子，將剩余部分視作“零”，通過解方程找到所需定號的“點”；路徑二，利用自變量取值范圍將某些超越式放縮為常數；路徑三，利用 y=ex在x=0處的切線進行放縮，也即利用ex≥x+1及其變形式進行放縮.

關鍵詞： 函數找“點”；定號；放縮

眾所周知，極限與導數（微積分）緊密相關，很多導數問題與極限思想都息息相關.蘇教版教材在高中數學課程中不涉及極限的知識，這給很多涉及導數的函數問題的求解帶來了重重困難.例如，含參的函數零點討論問題，這是近些年來函數壓軸的常見題型，筆者就借此題型來分享幾個含參函數零點問題的解題感悟.

1 引例

討論f（x）= x ex －ax+1的零點個數.

1.1 分析

初見此題，感覺數形結合較為容易.由于x=0不是函數的零點，故分離參數之后，問題等價轉化為方程的根的個數問題.令 x ex -ax+1=0，則有

1 ex + 1 x =a. "①

數形結合，如圖1我們發現：

當a≤0時，方程①僅有一解，即f（x）= x ex －ax+1有一個零點；

當agt;0時，方程①有兩解， 即f（x）= x ex －ax+1有兩個零點.

再細想，一來學生對函數圖象的趨勢（極限思想）不一定能準確把握，二來作為解答題，這樣的解答似乎略顯蒼白，因此，需要用文字和數學表達式來準確證明上面的結論，即用零點存在定理來證明零點的存在性.那么，如何取點就變成了學生解決此題的難點.許多學生“為題消得人憔悴”，但依舊不得.重新審視此題，筆者略談一二，希望能夠給此類題型提供一些解題思路.

1.2 解析

首先考慮特值：當a=0時，若x≥0，則f（x）gt;0恒成立，故f（x）無正數零點；若xlt;0，則f′（x）= 1－x ex gt;0恒成立，即f（x）在（-∞，0）上單調增，又f（－1）=1－elt;0，f － 1 2 "=－ "e "2 +1gt;0，所以f（x）在（-∞，0）上僅有一個零點.故a=0時，f（x）= x ex -ax+1有一個零點.

再考慮非特值：

由于x=0不是函數f（x）的零點，故分離參數后可等價轉化為g（x）= 1 ex + 1 x －a的零點個數問題.

因為g′（x）=－ 1 ex － 1 x2 lt;0恒成立，所以函數g（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞減.

（i）alt;0時，若xgt;0，則g（x）gt;0恒成立，故g（x）無正零點；若xlt;0，則g "1 a "= 1 e "1 a ""gt;0.

取x0=max{－1， 1 a－e }，則 g（x0）≤e－a+ 1 x0 ≤0.

故g "1 a "·g（x0）≤0，此時g（x）在定義域內僅有一個零點，即f（x）僅有一個零點.

（ⅱ）agt;0時，g（x）= 1 ex + 1 x －a.若xgt;0，則

g "1 a "= 1 e "1 a ""+a－a= 1 e "1 a ""gt;0，

g "2 a "= 1 e "2 a ""+ a 2 －alt; a 2 + a 2 －a=0.

故g "1 a "·g "2 a "lt;0，此時g（x）在（0，+∞）內僅有一個零點，即f（x）在（0，+∞）內僅有一個零點.

若xlt;0，g － 1 2 nbsp;= e －2－alt;0，且

g － a+ a2+4 "2 "gt;－ － a+ a2+4 "2 "+ 1 － a+ a2+4 "2 "－a=0.

故g － 1 2 "·g － a+ a2+4 "2 "lt;0，此時g（x）在（-∞，0）內僅有一個零點，即f（x）在（-∞，0）內僅有一個零點.

綜上：當a≤0時，f（x）= x ex －ax+1有一個零點；

當agt;0時， f（x）= x ex －ax+1有兩個零點.

1.3 總結

從上述解題過程看，找到使得函數值異號的點大致可以選擇以下三種路徑.

路徑一：把代數式中已經能判定符號的式子取出，再將剩余部分視作“零”，通過解方程找到所需定號的“點”.

例如上例中，在alt;0時，若xlt;0，則g（x）= 1 ex + 1 x －a中 1 ex 的符號已經能夠判定為正，則只需將剩余的“ 1 x －a”視為零，從而找到所需的“點”，即g "1 a "= 1 e 1 a "+a－a= 1 e "1 a ""gt;0.

路徑二：利用自變量取值范圍將某些超越式放縮為常數，將超越式不等式放縮為分式不等式或多項式不等式，通過解不等式找到所需定號的“點”.例如上例中，在alt;0時，若xlt;0，則g（x）在（-∞，0）上單調遞減，在g（x）= 1 ex + 1 x －a中，當x∈［－1，0）時， 1 ex ∈（1，e］，不妨取x0=max{－1， 1 a－e }， 則 g（x0）≤e－a+ 1 x0 ≤0.

路徑三：利用y=ex在x=0處的切線進行放縮（即利用ex≥x+1及其變形式進行放縮），將所有的超越式放縮為分式或多項式，將所求不等式轉化為分式不等式或多項式不等式進行求解，找到所需定號的“點”.例如上例中，agt;0時，g（x）= 1 ex + 1 x －a，當xgt;0時，利用ex≥x+1進行放縮，即由exgt;x得到e "2 a "gt; 2 a ，又因為e "2 a "gt; 2 a gt;0，則 1 e "2 a ""lt; a 2 ，故g（ 2 a ）= 1 e "2 a ""+ a 2 －alt; a 2 + a 2 －a=0；agt;0時，g（x）= 1 ex + 1 x －a，當xlt;0時，利用ex≥x+1進行放縮，即由exgt;x得e－xgt;－x，則g（x）gt;－x+ 1 x －a=－ x2+ax－1 x =－ "x－ －a+ a2+4 "2 ""x－ －a－ a2+4 "2 ""x ，故不妨取x=－ a+ a2+4 "2 ，有g － a+ a2+4 "2 "gt;0.

2 三種路徑在壓軸題中應用

經過上題的研究，筆者有些“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”之感.下面利用這三種路徑來解決如下高考壓軸題.

［2022·全國乙卷（文）20題］ 已知函數f（x）=ax－ 1 x －（a+1）ln x.若f（x）恰有一個零點，求a的取值范圍.

解析： 由f（x）=ax－ 1 x －（a+1）ln x，xgt;0，得

f′（x）=a+ 1 x2 － a+1 x = （ax－1）（x－1） x2 .

當a≤0時，ax－1≤0.所以，當x∈（0，1）時，f′（x）gt;0，f（x）單調遞增；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）lt;0，f（x）單調遞減.

故f（x）max=f（1）=a－1lt;0，此時函數f（x）無零點，不合題意.

當0lt;alt;1時， 1 a gt;1，f（x）在（0，1）， "1 a ，+∞ 上單調遞增；f（x）在 1， 1 a "上單調遞減.

又因為f（1）=a－1lt;0，所以存在m= a+1+ （a+1）2+a "a gt;1，使得f（m）gt;0.

故0＜a＜1時，f（x）僅在 "1 a ，+∞ 有唯一零點，符合題意.

當a=1時，f′（x）= （x－1）2 x2 ≥0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增.又f（1）=a－1=0，所以f（x）有唯一零點，符合題意.

當agt;1時， 1 a lt;1，f（x）在 0， 1 a "，（1，+∞）上單調遞增；f（x）在（ 1 a ，1）上單調遞減.此時f（1）=a－1gt;0，則f "1 a "gt;f（1）gt;0，存在n= 1 4（a+1）2 lt; 1 a ，使得f（n）lt;0.

所以f（x）在 0， 1 a "有一個零點，在 "1 a ，+∞ 無零點.故a＞1時，故f（x）有唯一零點，符合題意.

綜上，a的取值范圍為（0，+∞）.

評析： "通過該題的解析不難發現，在討論當0lt;alt;1時，可先利用路徑二由xgt;1得到－ 1 x gt;－1，再利用路徑三由ex≥x+1的變形式eln x≥ln x+1得到ln x≤x－1，進而得到ln xlt;x，用 x 替換x，得ln xlt;2 x ，則f（x）gt;ax－1－2（a+1） x =a "x － a+1－ （a+1）2+a "a ""－ a+1+ （a+1）2+a "a + x "，則存在m= a+1+ （a+1）2+a "a gt;1，使得f（m）gt;0.

而在討論當agt;1時，可先利用路徑二由xlt; 1 a 得到axlt;1，再利用路徑三由ln xlt;x－1（x≠1）用 1 "x "替換x得到－ 1 2 ln xlt; 1 "x "－1（x≠1），則f（x）lt;1－ 1 x +2（a+1）（ 1 "x "－1）=－2a－1－ 1 x + 2（a+1） "x ".由于－2a－1lt;0恒成立，因此通過路徑一，可知存在n= 1 4（a+1）2 lt; 1 a ，使得f（n）lt;0.

3 結束語

通過上文兩題所述，大多數的函數“找點”問題都可從上述三種路徑中摸索出一些解題思路，雖不一定能“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”，但也希望通過此文為一些“為題消得人憔悴”的朋友們，在解決此類問題時點亮一絲“燈火”.

正如波利亞所說：“如果你有一個念頭，你就夠幸運的了；如果你走運的話，你或許能找到另一個念頭；真正糟糕的事是，我們根本就沒有念頭，……，這時任何一個可能指明問題新方向的問題，都值得歡頌，因為它可以引起我們的興趣，可以使我們繼續工作，繼續思索.”所以，解題永無止境，收獲永無止境，愿看過此文的朋友在解決壓軸題時，總能經歷三境，不斷升華.