從多個(gè)角度尋找證明不等式的思路

摘要： 數(shù)學(xué)是一門(mén)非常靈活的學(xué)科，隨著知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累，同一道數(shù)學(xué)題目可以從不同的角度進(jìn)行思考，往往可以得到多種解題方法.多種方法的探討不僅能拓寬中學(xué)生的解題思路，而且還有助于培養(yǎng)發(fā)散性思維能力，避免思維定式.由此可見(jiàn)，在中學(xué)課堂上，提倡和開(kāi)展“一題多解”的訓(xùn)練是很有必要的.本文中以一道不等式證明題為例從多個(gè)角度出發(fā)，尋找解題的思路方法，從而培養(yǎng)中學(xué)生的創(chuàng)造性能力.

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)；不等式證明；多角度解題

1 原題呈現(xiàn)

題目 ""如果a，b，c均為正數(shù)， 則

a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 .

該不等式中有三個(gè)變量，因此本題屬于三變量不等式證明題.首先應(yīng)該仔細(xì)觀察該不等式的特點(diǎn)、左右兩邊變量的關(guān)系，然后將其進(jìn)行合理的變形、轉(zhuǎn)化，進(jìn)而證明不等式.

2 解法探尋

在不等式求解的過(guò)程中，當(dāng)不等式兩邊出現(xiàn)復(fù)雜的關(guān)系式時(shí)，要盡量向相對(duì)簡(jiǎn)單的關(guān)系式轉(zhuǎn)化，這樣有助于找到二者之間的關(guān)系，從而通過(guò)關(guān)系式的整合找到解題思路.

因此，現(xiàn)探討如下思路.

思路一：觀察左右兩邊，左邊存在b+c，a+b，a+c的組合關(guān)系式，為消去左邊分母，對(duì)左邊關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

觀察到不等式左邊每一項(xiàng)都含有分母，因此需要針對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行變形以消去分母.

在原不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，在不等式 x+y 2 ≥ xy （注：x＞0，y＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立）的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸，在解題的過(guò)程中進(jìn)行及時(shí)的調(diào)整.

證明： [JP2]由不等式 x+y 2 ≥ xy ，得 "a2 b+c + b+c 4 + b2 a+c + a+c 4 + c2 a+b + a+b 4

≥2 "a2 b+c ＼5 b+c 4 "+2 "b2 a+c ＼5 a+c 4 "+2 "c2 a+b ＼5 a+b 4 ""=a+b+c，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，等號(hào)成立.所以有

a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b + a+b+c 2 "≥a+b+c.

整理，得 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立.

思路二：對(duì)含有分母的項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整.

在使用基本不等式時(shí)，通過(guò)觀察不等式的和、積之間的關(guān)系，先將 a2 b+c 調(diào)整為 4a2 b+c ，將 b2 a+c 調(diào)整為 4b2 a+c ，將 c2 a+b 調(diào)整為 4c2 a+b ，同時(shí)為保證其值不發(fā)生變化，在不等式左邊加上相應(yīng)的項(xiàng)，然后使用不等式 x+y 2 ≥ xy （x＞0，y＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立），從而證明原不等式成立.

證明： 由基本不等式，可得

4a2 b+c + 4b2 a+c + 4c2 a+b +（b+c）+（a+c）+（a+b） ≥[JP]4（a+b+c） .

[JP2]因此

4× "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b "≥2（a+b+c），

從而有 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立.[JP]

思路三：利用柯西不等式證明不等式成立.

柯西不等式是將兩數(shù)列中“各項(xiàng)積的和”與“和的積”巧妙地結(jié)合在一起，在排列上規(guī)律明顯，具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、和諧的美感，在解決不等式證明問(wèn)題時(shí)，可以聯(lián)想柯西不等式.柯西-施瓦茨不等式：若a1，a2，……，an和b1，b2，……，bn是任意實(shí)數(shù)，則有 ∑ n k=1 akbk 2≤ ∑ n k=1 a2k · ∑ n k=1 b2k .于是有

（a21+a22+a23）（b21+b22+b23）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2，[JP]當(dāng)且僅當(dāng)

bi=0（i=1，2，3）或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，3）時(shí)，等號(hào)成立.

證明： 由柯棲不等式，得

a "b+c ""2 + "b "a+c ""2 + "c "b+a ""2 ·

（ "b+c ）2 +（ a+c ）2+（ b+a ）2］≥（a+b+c）2 ，

當(dāng)且僅當(dāng)

a b+c = b a+c = c a+b

時(shí)，等號(hào)成立.

所以有

2 "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b "（a+b+c）≥（a+b+c）2.[JP]

故 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立.[JP]

思路四：利用向量證明不等式.

向量作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，不僅可以給學(xué)生帶來(lái)新的認(rèn)識(shí)，還可以為解題提供新的思路.證明不等式時(shí)，經(jīng)常需要通過(guò)一些技巧對(duì)不等式進(jìn)行變形處理，否則會(huì)很難證明.

運(yùn)用向量知識(shí)可以將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，容易證明結(jié)果.

柯西不等式是利用向量證明的，由此為解決該問(wèn)題提供了新的思路與方法.設(shè)向量 m =（ b+c ， a+c ， b+a ）， n =（ a "b+c "， b "a+c "， c "b+a "），

其夾角為φ，由向量夾角公式，可得

m ·n =|m |·[JP2]|n |· cos φ.由于向量夾角的范圍為［0，π］，0≤cos2φ≤1，則有

（m ·n ）2= m "2 n "2cos2φ≤ m "2 n "2，從而證得原不等式.

證明： 令m =（[KF（]b+c[KF）]，[KF（]a+c[KF）]，[KF（]b+a[KF）]），n = [SX（]a[][KF（]b+c[KF）][SX）]，[SX（]b[][KF（]a+c[KF）][SX）]，[SX（]c[][KF（]b+a[KF）][SX）] .

于是，有

（a+b+c）2

=（m ·n ）2

≤ m "2 n "2

=[ZK（]［（b+c）+（a+c）+（a+b）］ "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b "[ZK）]

=[ZK（]2（a+b+c） "a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ".[ZK）][ZK）]

故 a2 b+c + b2 a+c + c2 a+b ≥ a+b+c 2 ，即原不等式成立. [JP]

我們從四種角度出發(fā)，得到了四種不同的解題思路.在解題時(shí)，從多種角度考慮問(wèn)題，可以幫助學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.創(chuàng)造性思維的核心是發(fā)散性思維.發(fā)散性思維方式是指遇到問(wèn)題時(shí)，能從多角度、多層面、多結(jié)構(gòu)去思考、尋找答案，既不受現(xiàn)有知識(shí)的限制，也不受傳統(tǒng)方法的束縛.當(dāng)然，也可以利用數(shù)學(xué)中的函數(shù)、方程、幾何等知識(shí)尋找新的解題思路與方法.在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，首先弄清問(wèn)題是什么，抓住關(guān)鍵信息、圖或者表;其次是多尋找?guī)讉€(gè)解題的突破口，擬定一個(gè)解題計(jì)劃;再次是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決、證明;最后是檢驗(yàn)解題過(guò)程與方法，并反思該方法是否可以解決這一類問(wèn)題.思路一和思路二相對(duì)來(lái)說(shuō)是學(xué)生比較熟悉的，用得比較多的方法;思路三利用柯西-施瓦茨不等式是能最快解決問(wèn)題的方法;思路四利用空間向量解決該問(wèn)題是很靈活的方式，但同時(shí)也有一定的局限性.

要解決一道題目，經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的問(wèn)題，其原因可能有很多，如找不到切入點(diǎn)、知識(shí)掌握不牢固、解決方法不恰當(dāng)、審題不細(xì)致等.因此，教師在課堂教學(xué)中，要激發(fā)學(xué)生主動(dòng)解題的興趣，啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，引導(dǎo)學(xué)生從多角度考慮問(wèn)題.每當(dāng)學(xué)生想出一種解題方法，教師應(yīng)該給予肯定和鼓勵(lì).通過(guò)一題多解可以有效地提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的效率，學(xué)生可以根據(jù)自己所熟悉的知識(shí)選擇適合自己的思路來(lái)解決問(wèn)題.