大單元背景下簡單隨機抽樣的教學

摘要：本文中以大單元開展教學設計，采用問題導學模式推動課堂，使得數學抽象與邏輯推理素養得以落實.

關鍵詞：簡單隨機抽樣；大單元；問題導學

為推進廣西普通高中數學學科課程基地建設，筆者在教研組的支持下，以建構大單元為愿景，在充分研讀《普通高中教科書＼5數學＼5必修＼5第二冊》（人教版）第九章“統計”內容后，依據課程標準，設計此課例，以落實核心素養、立德樹人為課程目標.

1 單元解析

數據收集是統計的重要一環.本單元引導學生在明確調查目的的基礎上，掌握并且學會合理選擇數據收集的方法.一個大單元應以知識邏輯為主線設計為5～10課時[1].本單元的安排如表1所示.

2 學情分析

在初中階段，學生學習了全面調查和抽樣調查的概念，能對比出各自的優缺點.但是，如何選擇有代表性的樣本？如何保證每個個體被抽中的概率相等？如何選擇合適的抽樣方法？這些都是學生亟需了解的問題.

3 核心素養培育和課時目標

本節課重點培育數學抽象、邏輯推理核心素養.學生需經歷完整的探究活動并且從中抽象出放回與不放回簡單隨機抽樣的概念.本節課發展學生邏輯推理素養的環節有：比較不同抽樣方式——放回與不放回的異同點，在真實情境下選擇恰當的調查方式來收集數據，等等.

本課有如下兩個課時目標：

（1）經歷利用簡單隨機抽樣解決實際問題的過程，概括兩種簡單隨機抽樣的定義，比較放回與不放回簡單隨機抽樣的優缺點，發展數學抽象、邏輯推理核心素養；

（2）會用簡單隨機抽樣解決簡單實際問題，比較抽簽法與隨機數法的優缺點，體會樣本代表性、樣本量對縮小誤差的意義，發展邏輯推理素養.

4 教學重難點

本節課的教學重點：

（1）能自我抽象概括出簡單隨機抽樣的概念；

（2）能分析對比出放回與不放回簡單隨機抽樣的優缺點；

（3）掌握抽簽法和隨機數法的基本步驟.

教學難點：在真實情境中，能運用簡單隨機抽樣進行抽樣.

5 本節課教學支持條件分析

在隨機實驗1中，教師組織學習小組對罐中藍糖個數進行探究，并填寫調查報告，進行展示.

教師準備好紙、筆和不透明的罐子，為學生歸納抽簽法的步驟做好條件支持；而在隨機數法教學中，教師運用Excel生成隨機數.

6 本節課教學設計

6.1 新課引入

數據統計的一般流程是從實際問題出發，經歷收集、整理、描述、分析數據后得出結論，指導現實，做出決策.這也是本章的學習思路.今天我們把目光放到收集數據上，來看下面兩個經典案例.

案例1 全國第七次人口普查于2020年11月1日正式開始，歷時半年調查結束.與2010年第六次普查比，我國少兒人口比重回升，生育政策調整取得了積極成效.同時，人口老齡化程度進一步加深，未來還將持續面臨人口長期均衡發展的壓力.

案例2 中國農業部每年都會進行生鮮乳抽檢，數據顯示2015年至今，國內生鮮乳蛋白質逐年升高（蛋白質含量≥3.3%），產業發展越來越好.

引導學生回顧全面調查與抽樣調查的概念，并思考問題1.

問題1 為什么要采用抽樣調查收集收據呢？

學生概括得出抽樣調查的優點：（1）花費少、效率高；（2）可用于有破壞性的檢查.抽樣調查是基于樣本估計總體，但樣本與總體間有一定的誤差.

設計意圖：通過典型案例——全國第七次人口普查與生鮮乳蛋白抽檢，幫助學生回顧抽樣調查與全面調查的概念，并借助問題1的回答，讓學生弄清楚抽樣調查的特點、現實意義以及其適用范圍.

問題2 如何降低誤差，讓抽取的樣本能夠較準確地反映出總體的情況呢？

檢測生鮮乳蛋白質含量的過程或許能給我們啟發.第一步將罐裝生牛乳搖勻，第二步取樣本30 ml倒入燒杯，第三步是用凱氏定氮法測蛋白含量.為什么要搖勻呢？

設計意圖：對案例2進行延伸，科普我國食品衛生標準中生鮮乳蛋白質含量監測的基本步驟，滲透抽樣“搖勻”的思想，為實驗1做足認知準備.

6.2 概念形成

隨機實驗1 罐中有橙糖和藍糖共50個.除顏色外，大小、質地完全相同.請8～9人組成學習小組，合作進行抽樣調查，填寫好調查報告，估計出罐中藍糖個數并回答下列問題.

問題3

（1）如何抽取樣本？

（2）每次抽取時每個個體被抽取的概率是否相等？如何保證？

（3）如何估算出藍糖的個數？

教師選擇兩個小組進行展示，在展示的過程中，教師適時提問：為什么選擇樣本量大時的頻率來估計藍糖個數？估計的藍糖個數19或者23均不等于實際個數20，是否意味著實驗失敗？

學生更加深刻地理解在抽樣方式正確時，樣本量越大，頻率接近概率的可能性越大，即對于樣本的代表性來說，樣本量大的好于樣本量小的.當樣本量較小時，增加樣本量可提高估計的效果.而當樣本量等于總體個數時，抽樣調查就變成了全面調查.

問題4 你能從上述抽樣過程中概括出簡單隨機抽樣的定義嗎？

學生回顧上述過程，概括簡單隨機抽樣的定義（如表2所示）.

問題5 放回與不放回的簡單隨機抽樣有哪些異同點？

相同點有三個：①總體有限；②逐個抽樣；③個體被抽取的概率相同.這也是簡單隨機抽樣的特點.

不同點很明顯，是放回與不放回.那這種不同會造成什么區別呢？教師呈現出一個極端抽樣結果（如表3所示），讓學生思考為什么會出現這種情況.

學生在分析后，發現原因有兩個.一個原因可能是抽樣前沒有搖勻，第二個原因是在放回地實驗中，同一個糖果可能被抽取多次，它只提供單一顏色信息.為了避免這一情況，可以采取不放回抽樣.不放回簡單隨機抽樣的效率更高，因此人們更多采用不放回簡單隨機抽樣.除非特殊聲明，本章所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣.

設計意圖：教師以學生的認知經驗——可以用頻率來估計概率為基礎，設計隨機實驗1.學生自主選擇隨機抽樣方式——放回與不放回，經歷完整的簡單隨機抽樣過程，從實際問題中感悟隨機抽樣的特點，抽象概括出簡單隨機抽樣的定義，數學抽象素養得以提升.此時教師呈現出一個極端抽樣案例，引導學生領悟簡單隨機抽樣的核心是每一個個體被抽取的概率相同，并自然對比出放回與不放回兩種抽樣方式的優缺點，發展了邏輯推理素養.

6.3 概念深化

引導學生運用所學知識解讀簡單隨機抽樣中的泰坦尼克事件.

在1936年美國總統正式選舉之前，著名雜志《文學文摘》組織民意測驗.調查蘭頓和羅斯福誰會成為下一屆總統.為了解大眾的意愿，調查者通過電話簿及車輛登記簿中的名單來發放調查表（在1936年電話和汽車僅有極少的富裕群體才可以擁有）.在分析回收數據后，表4顯示蘭頓歡迎度更高，因此雜志推測蘭頓會選舉獲勝，然而選舉獲勝的人是羅斯福.要知道這次預測是基于240萬份龐大的答卷作出的，卻預測錯誤.

為什么會預測出錯？

學生：因為抽取的樣本僅代表極少數富人群體的意愿，樣本的代表性差.

問題6 如果讓你調查民意，你會如何抽樣？

學生的熱情被點燃，注意到關鍵：保證每個個體被抽取的概率相同.教師表揚學生，接著敘述完事件.

與此同時，一家不知名的調查機構蓋洛普，在全美內多個社區隨機發放并回收5 000份調查表，據表5所示，預測羅斯福將以56%的得票率獲勝，誤差僅為6%，預測成功，一戰成名.

設計意圖：借助歷史經典的抽樣案例，學生進一步明確樣本必須具有代表性，否則調查結果可能與實際完全相反.教師借助問題6深化概念，點燃學生的學習積極性，激發學生運用所學知識解決實際問題的熱情與自信心，提升應用意識[2].

6.4 應用探索

在問題6的鋪墊下，教師及時開展隨機實驗2.

隨機實驗2 一家家具廠要為南寧三中高一年級制作課桌椅，他們想事先了解全體高一年級學生的平均身高，以便設定課桌椅的標準高度.已知高一年級有1 096名學生，如果要通過簡單隨機抽樣的方法調查高一年級學生的平均身高，如何實現呢？

問題7 實現簡單隨機抽樣的辦法有哪些？

教師引導學生回歸生活，從籃球賽抽簽選擇對手推廣到運用抽簽法解決問題，實現簡單隨機抽樣.

問題8 如何用抽簽法實現簡單隨機抽樣？

教師現場準備好紙與筆，學生在抽簽的過程中，比較完善、交流概括出抽簽法的步驟：（1）編號；（2）制簽；（3）搖勻；（4）不放回逐個抽樣.

設計意圖：學生在操作中總結抽簽法的步驟，并思考其優缺點.優點是原理簡單，步驟清晰；但總體容量較大時，抽簽法費時費力，從而引出隨機數法.

問題9 如何生成隨機數？

教師介紹隨機數的底層邏輯，并提出生成隨機數的三種方法：（1）用隨機實驗生成隨機數；（2）用信息技術生成隨機數；（3）用R統計軟件生成隨機數.現場運用電子表格Excel生成隨機數，抽取一位幸運同學，送出一盒糖果.學生深刻體會到抽簽法與隨機數法各自的特點.

問題10 抽簽法與隨機數法的特點是什么？

抽簽法簡單易行，適用于總體個數不多的情況.當總體個數龐大，隨機數法方便快捷，更加適用.

設計意圖：學生在學習抽簽法與隨機數法的過程中，感悟兩種方式的底層邏輯相同，體會信息技術產生隨機數的魅力，開拓眼界.

6.5 歸納總結

回顧本節課所學，完成下列任務.

任務1 概述簡單隨機抽樣的基本特點.

任務2 請舉例說明一個簡單隨機抽樣的設計與抽取過程.

任務3 既然抽樣調查有許多優點，那么它是否可以取代全面調查？說出你的看法.

設計意圖：教師引導學生用自我語言敘述簡單隨機抽樣的特點，明確重點的掌握情況；用任務2引導學生明確操作步驟與注意事項，也是考察學生解決問題、靈活遷移的能力.當學生掌握新知識與方法后，需要建構知識網絡，體會其意義與作用，形成正確的數學觀念[3].

6.6 課后思考

一個村有40戶人家，為調查該村農戶家庭年收入，抽取5戶人家作樣本.其中，養雞戶年收入80萬，水果種植戶年收入40萬，其余3家年收入分別為12萬，13萬和15萬，由此調查得到5戶人家年均年收入為32萬.村長向鄉政府報告，本村農戶年均收入為32萬.對此，你有何感想？假如換了你，你會怎么做？為什么？

設計意圖：學生在學習簡單隨機抽樣后，需明確其使用范圍與條件——適用于差異較小或無差異的個體抽樣.而真實生活是復雜的，面對年收入差距較大的農戶時，要保證抽取的樣本具有代表性與隨機性，必須尋求改良簡單隨機抽樣的方式——分層隨機抽樣，從而學習新知識，解決問題[4].這體現出數學是解決現實問題的重要力量.

參考文獻：

[1]盧明，蔣雅云.落實學科核心素養：單元學歷案的設計與實踐[J].全球教育展望，2022，51（4）：71-83.

[2]黃河清.高中數學“學科育人”的認識與實踐[J].中國教師，2022（2）：50-54.

[3]盧明.從“教過”到“學會”：教學方案專業化的思考[J].中學教研（數學），2020（9）：1-4.

[4]趙夏豐.核心素養下的數學大單元教學策略[J].教師教育論壇，2020，33（4）：60-61.