單模NH₃分子激光器中混沌運動特性分析

摘 要：【目的】考查單模NH3分子激光器系統雙參數變化下的復雜度（C0），研究該系統周期與混沌運動關系，為激光混沌在加密及光纖通信中的應用研究提供理論依據。【方法】以Lorenz-Haken系統為研究對象，建立單模NH3分子激光器系統混沌吸引子相圖，從而對整個系統吸引子有直觀認識。從數值仿真出發，用Matlab軟件來構建激光系統分岔圖、Lyapunov指數、復雜度（C0）等基本動力學行為圖，分析不同參數變化對單模NH3分子激光器系統的影響。【結果】對單模NH3分子激光器系統，從復雜度（C0）來看，系統處于周期狀態時，其復雜度（C0）較小；系統處于混沌狀態時，其復雜度（C0）較大。雙參數變化對混沌系統影響的結果表明，該系統參數是相互制約的，且系統受參數的影響程度較大。【結論】參數a對單模NH3分子激光器系統影響強度大，充分體現單模NH3分子激光器系統混沌特性及該系統對參數的敏感性。

關鍵詞：單模NH3分子激光器系統；Lyapunov指數；復雜度；混沌

中圖分類號：TP273" " " " " " " " " 文獻標志碼：A" " " " " " " " " " " " " 文章編號：1003-5168（2023）12-0004-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2023.12.001

Analysis of Chaotic Behavior in Single Mode NH3 Molecular Laser

KANG Jie1" " LEI Tengfei2" " DING Ziyang1" " LI Lianrong1" " SUN Weiyun1

（1. Zhengzhou Technical College， Zhengzhou 450121， China;

2. Qilu Institute of Technology， Jinan 250200，China）

Abstract：[Purposes] Through examining the complexity （ C0 ） of the a single mode NH3 molecular laser system under dual parameter changes，the relationship between the system period and chaotic motion is studied， which provides a theoretical basis for the application of laser chaos in encryption and optical fiber communication. [Methods] Taking Lorenz-Haken system as the research object， the chaotic attractor phase diagram of single-mode NH3 molecular laser system is established， so as to have an intuitive understanding of the attractor of the whole system. From the aspect of numerical simulation， Matlab software is used to construct the basic dynamic behavior diagrams of laser system such as bifurcation diagram， Lyapunov exponent and complexity （ C0 ） ， and analyze the influence of parameters on single-mode NH3 molecular laser system. [Findings] For the single-mode NH3 molecular laser system， when the system is in the periodic state， its complexity （ C0 ） is small. When the system is in a chaotic state， its complexity （ C0 ） is large. The results of the influence of two parameters on the chaotic system show that the system parameters are mutually restricted， and the system is greatly affected by the parameters. [Conclusions] The parameter a has a great influence on the single-mode NH3 molecular laser system， which fully reflects the chaotic characteristics of the single-mode NH3 molecular laser system and the sensitivity of the system to the parameters.

Keywords： single-mode NH3 molecular laser system; Lyapunov exponent; complexity; chaos

0 引言

混沌是指確定性系統內的隨機性，是大自然中普遍存在的一種現象。1963年，Lorenz［1］在發表的論文中指出混沌現象，并建立第一個混沌模型。從此拉開對混沌系統及混沌動力學研究的序幕［2］。十幾年前，大部分科研是研究如何構建混沌系統的。近年來，發現有許多工程系統中也廣泛存在著混沌現象，如電機系統［3］、電力系統、DC/DC變換器系統［4］及激光器系統［5］。

20世紀80年代，多位學者在CO2激光器、Xe激光器、He-Ne激光器、NH3激光器及半導體激光器等激光器中發現混沌現象。NH3激光器系統作為一種強非線性、多耦合復雜系統，該系統的混沌行為備受關注。穆鵬華等［5］對一類復激光系統采用參數失配方案，使兩個激光混沌系統同步，并對系統的安全性進行分析與測試；李璞等［6］對激光混沌物理隨機數發生器進行研究，指明各種隨機數發生器的優缺點，同時介紹該方向已有的研究成果；趙建利等［7］、丁靈等［8］、樊利等［9］、廖健飛等［10］、王云才等［11］對激光混沌系統分別采用有限時間主從控制、延時反饋控制、并聯及串聯控制方法進行研究，最后均能實現穩定控制。綜上所述，對激光器混沌機理的研究更應重視，激光器混沌系統的同步控制對激光器的混沌機理研究尤為重要。

針對一類單模激光器的數學模型，本研究先構建整個系統吸引子相圖，對其有直觀認識，再采用分岔圖、Lyapunov指譜及復雜度SE等分析法來研究參數變化對單模NH3分子激光器系統的影響。為更深入探究參數對單模激光器系統相互制約的強度，通過數值模擬法（雙參數變化對系統復雜度的影響）對其進行研究，分析結果可知：參數a對系統影響強度大，對激光混沌在加密及光纖通信中的應用研究有著重要參考價值［12］。

1 單模NH3分子激光器混沌系統模型

20世紀70年代，德國物理學家Hermann Haken（赫爾曼·哈肯）對單模NH3分子激光器進行數學推導及簡化，得到Maxwell-Bloch（麥克斯韋-布洛）方程，該方程可用于描述均勻加寬單模激光器的運動變化，一直被相關研究者沿用。當尺度發生變化時，發現Maxwell-Bloch方程與Lorenz（洛倫茲）方程在形式上有著很大程度上的一致性。光學領域典型的Lorenz-Haken（洛倫茲-哈肯）激光系統簡化后的動力學方程［7］見式（1）。

式中：x為激光的電場強度；y為單模激光器諧振腔內增益介質的宏觀計劃強度；z為單模激光器諧振腔內增益介質的離子數反轉密度；a、c分別為x、y、z的抽運功率；b為抽運參數。

通過仿真發現，當a=1.425 3、c=50、b=0.277 8時，Lorenz-Haken（洛倫茲-哈肯）激光器系統進入混沌態。典型混沌吸引子相圖如圖1所示。由圖1可以看出，該系統的3個李雅普諾夫特征指數（Lyapunov）分別為LE1=0.35、LE2=0、LE3=-2.7。該指數分布情況完全符合三維混沌系統（+，0，-）的李雅普諾夫特征指數（Lyapunov）規律，同時表明系統維數為小數，即系統存在分形特性，系統Lyapunov指數如圖2所示。

2 參數對激光器混沌系統影響

利用李雅普諾夫特征指數譜圖（Lyapunov指數譜）、典型分岔及復雜度（C0）來分析參數a、b、c對單模激光器混沌系統的影響。

保持參數b、c不變，改變參數a的大小，單模激光器系統隨變參數a變化的分岔圖和LE譜圖如圖3所示。系統復雜度隨a變化情況如圖4所示。

由圖3可知，該系統處于周期狀態時，此時區間最大Lyapunov指數小于0；該系統處于非周期狀態（即混沌態）時，此時區間最大Lyapunov指數大于0。由此可得分岔圖與LE譜圖具有高度的一致性。通過觀察該系統的復雜度（C0），系統處于周期狀態時，系統的復雜度（C0）較小；系統處于混沌態時，系統的復雜度（C0）較大。

保持參數a和c不變，改變參數b，單模激光器系統隨著參數b變化的LE譜圖與分岔圖如圖5所示。由圖5可知，該系統一旦處于周期態，便會出現一個交匯的匯點，此時區間最大的Lyapunov指數小于0，說明該系統正處于周期狀態，即此區間Lyapunov指數為（+，0，-）時，系統處于混沌態。同樣的，LE譜圖與分岔圖保持著高度一致性。從另外一個角度來看，在對該系統復雜度（C0）進行分析，系統處于周期狀態時，復雜度（C0）較小；系統處于混沌態時，系統的復雜度較大。如圖6所示。

固定參數a和b的值，使參數c的值發生變化。當參數b的值為［20，60］時，單模激光器系統隨參數c的值變化LE譜圖和分岔圖如圖7所示。由圖7可知，該系統處于周期狀態時，此區間最大Lyapunov指數小于0，該系統處于非周期態（即混沌狀態）時，此區間Lyapunov指數值為（+，0，-）。同樣的，LE譜圖與分岔圖保持高度一致性。此外，從單模激光器系統復雜度（C0）的變化情況來看，系統處于周期狀態時，復雜度（C0）較小；系統處于混沌狀態時，復雜度（C0）較大，如圖8所示。

3 雙參數對混沌系統影響

以單模NH3分子激光器為例，建立以最大Lyapunov指數、復雜度（C0）為標準量的數學模型，詳細分析該系統的分岔空間，參數a和b同時變化，系統復雜度變化情況如圖9所示。由圖9可知，單模激光器系統的參數不是單一影響因素，而是相互制約的，前文在研究系統影響因素時，僅考慮一個參數變化的情況。根據系統隨參數a變化的分岔圖及LE譜圖（圖3）與系統隨參數b變化的分岔圖及LE譜圖（圖5），發現這兩個參數的變化對該系統的影響具有一致性，同時還發現參數a變化對該系統的影響較大。

4 結語

利用典型系統的LE指數譜圖、分岔圖及復雜度（C0）等，相對全面地分析單模NH3分子激光器混沌系統的混沌動力學特性，同時借助雙參數變化下的復雜度來進一步研究系統的分岔空間。由仿真結果可知：對單模NH3分子激光器系統，系統處于周期狀態時，其復雜度（C0）較小；系統處于混沌狀態時，其復雜度（C0）較大。雙參數對混沌系統的影響結果表明：該系統的不同參數是相互制約的，且系統受參數a的影響程度較大。由此可知，系統處于混沌運動時的參數范圍，對激光混沌同步控制及光纖通信的研究有著重要參考價值。

參考文獻：

［1］LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow［J］.American Meteorological Society，1963（2）：130-141.

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［8］丁靈，吳加貴，夏光瓊，等.雙光反饋半導體激光混沌系統中外腔延時反饋特征的抑制［J］.物理學報，2011（1）：284-289.

［9］樊利，夏光瓊，吳正茂.基于光電反饋的激光混沌并聯同步系統研究［J］.物理學報，2009（2）：989-994.

［10］廖健飛，夏光瓊，吳加貴，等.基于光電負反饋的激光混沌串聯同步系統研究［J］.物理學報，2007（11）：6301-6306.

［11］王云才，李艷麗，王安幫，等.激光混沌通信中半導體激光器接收機對高頻信號的濾波特性［J］.物理學報，2007（8）：4686-4693.

［12］顏森林，遲澤英，陳文建.激光混沌同步及其在光纖保密通信中的應用［J］.中國科學E輯：信息科學，2004（4）：467-480.