分數(shù)階控制伺服電動機實驗演示平臺設(shè)計

程國揚， 賀名揚

（福州大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，福州 350108）

0 引言

當(dāng)前大學(xué)工科教育改革的一個核心導(dǎo)向是深化科教融合和產(chǎn)教融合［1-3］。在設(shè)置專業(yè)課程的教學(xué)內(nèi)容時，要及時納入學(xué)科領(lǐng)域的前沿技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生把前沿技術(shù)付諸實踐、解決實際問題，加快先進技術(shù)向現(xiàn)實生產(chǎn)力的轉(zhuǎn)化過程，這對促進經(jīng)濟發(fā)展、實現(xiàn)科教興國具有重要的意義［4-6］。

在控制工程領(lǐng)域，最近一個重大進展就是分數(shù)階建模和控制技術(shù)［7-9］。這種技術(shù)可用于提高伺服系統(tǒng)的跟蹤性能［10-11］。分數(shù)階微積分可看成是對整數(shù)階微積分的推廣。由于其概念抽象（不像整數(shù)階微積分具有清晰的物理涵義，如：位置、速度、加速度）和計算的復(fù)雜性，分數(shù)階微積分的發(fā)展一直較為緩慢，且局限在純數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)采用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)對一些復(fù)雜的過程進行建模，能更準(zhǔn)確和細致地描述系統(tǒng)的動態(tài)特性，特別是一些具有記憶特性的過程對象；Oustaloup等［12］提出分數(shù)階魯棒控制的概念與技術(shù)，并應(yīng)用于汽車懸架控制；Podlubny［13］提出分數(shù)階比例-微分-積分（Proportional-integral-derivative，PID）控制器的模型，作為對目前工業(yè)控制中廣泛應(yīng)用的PID 控制技術(shù)的一個推廣。分數(shù)階控制已成為控制領(lǐng)域的一個熱門研究方向。由于其算法實現(xiàn)的復(fù)雜性，在工程應(yīng)用方面相對滯后。

為向自動化專業(yè)本科生和控制類的研究生介紹分數(shù)階控制技術(shù)，設(shè)計了一個基于永磁交流伺服電動機的分數(shù)階控制系統(tǒng)實驗平臺，分別實現(xiàn)了目前主流的幾種控制算法，即分數(shù)階PID、分數(shù)階自抗擾控制（Active Disturbance Rejection Control，ADRC）和分數(shù)階滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）。通過數(shù)字信號處理器（Digital Signal Processor，DSP）的算法編程，對電動機進行速度調(diào)節(jié)或點位伺服控制。通過實驗平臺的運行，學(xué)習(xí)分數(shù)階控制技術(shù)的具體應(yīng)用。鑒于伺服電動機是構(gòu)成工業(yè)自動化系統(tǒng)的核心器件，伺服控制的快速性與準(zhǔn)確性對生產(chǎn)效率和產(chǎn)品精度（質(zhì)量）有直接的影響，在既定的硬件系統(tǒng)之上，引入先進的控制技術(shù)，使伺服性能得到顯著的提升，充分體現(xiàn)了人的主觀能動性和先進理論方法的價值，能給人帶來一種成就感。這種實踐對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和專業(yè)認同感大有益處。

本文將對分數(shù)階控制技術(shù)的伺服電動機實驗示范平臺的具體設(shè)計加以介紹，并通過實驗測試結(jié)果，展示其應(yīng)用方法和控制效果。

1 分數(shù)階控制器的設(shè)計

1.1 分數(shù)階微積分

分數(shù)階微積分算子t0Dαt是對整數(shù)階微積分的擴展［9］

式中：f（t）為自變量t的函數(shù)；t0與t分別為自變量的下界（初始值，t0＝0 時可省略不寫）和當(dāng)前值；實數(shù)α是微分／積分的階次。在復(fù)頻域，分數(shù)階算子可表示為sα。

分數(shù)階微積分的定義（計算法則）有多種形式，在控制領(lǐng)域應(yīng)用較多的分別是Grunwald-Letnikov（G-L）定義、Riemann-Liouville（R-L）定義和Caputo 定義，這3 種定義在適當(dāng)?shù)臈l件下是等價的。本文采用G-L定義：

式中：h為計算的步長；［·］為取最接近的整數(shù)；是二項式系數(shù)

式中，Γ（·）是Gamma 函數(shù)，定義為：Γ（γ）＝。如果計算步長足夠小，式（2）的計算可近似為

式中，wk＝，可按以下方式遞推計算：

在實時控制中，式（4）的計算只能采用有限項求和（截斷），隨著時間的推移，可能帶來嚴(yán)重的誤差。為避免這個問題，可采用Oustaloup提出的整數(shù)階濾波器，在選定的頻域區(qū)間［ωb，ωh］內(nèi)用一個N階線性濾波器來近似擬合分數(shù)階微積分算子t0Dαt的頻率響應(yīng)特性［9］：

1.2 分數(shù)階PID控制

分數(shù)階PID 控制器在控制領(lǐng)域中受到廣泛關(guān)注［13］。其傳遞函數(shù)

由于此控制律PIλDμ比常規(guī)PID多了2 個可調(diào)參數(shù)，即微分階次μ和積分階次λ（0 ＜λ，μ ＜2），因而增強了控制器設(shè)計的靈活性，可獲得更好的控制性能和魯棒性。對一階系統(tǒng)（如電動機速度伺服系統(tǒng)），通常采用分數(shù)階PI控制已足夠。考慮如下的一階系統(tǒng)：

式中，a≥0 和b＞0 是模型參數(shù)。采用如下的分數(shù)階PI控制律：

其對應(yīng)的頻域響應(yīng)

控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）＝C（s）P（s），對應(yīng)的頻域響應(yīng)為G（jω）＝C（jω）P（jω）。控制律設(shè)計要滿足以下準(zhǔn)則：相角裕度為φm；在截止頻率ωc附近相頻曲線平坦（即其導(dǎo)數(shù)為0），以保證控制系統(tǒng)的增益魯棒性。于是得到［8］：

由式（11）可解得：

由式（12）可得：

聯(lián)立式（14）、（15）可確定ki和λ 的值，但因為它們是非線性耦合方程，難以得到解析解，可借助Matlab采用圖解法來得到其數(shù)值解。

最后，由式（13）可解得：

1.3 分數(shù)階自抗擾控制

自抗擾控制（ADRC）在各種實際控制系統(tǒng)中得到成功應(yīng)用［14］。自抗擾控制的核心思想是把系統(tǒng)模型不確定性和外部擾動歸結(jié)為一個等效總擾動，利用擴展?fàn)顟B(tài)觀測器（Extended State Observer，ESO）對系統(tǒng)狀態(tài)和總擾動進行實時估計，并采用狀態(tài)誤差非線性反饋與擾動補償來構(gòu)成控制律。應(yīng)用ADRC 的難點是參數(shù)較多、參數(shù)值選擇較復(fù)雜。

考慮典型位置伺服系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)

為設(shè)計ADRC控制律使系統(tǒng)輸出量y準(zhǔn)確跟蹤給定目標(biāo)r，針對上述模型設(shè)計一個非線性ESO

式中：z1、z2和z3為觀測器的內(nèi)部狀態(tài)量；ε ＝z1-y；δ為正參數(shù)，通常可取δ ＝5Ts，其中Ts為離散采樣周期；β01、β02和β03為觀測器增益（正標(biāo)量）。可根據(jù)選定的觀測器帶寬ωo來整定［15］：

非線性函數(shù)fal（·）定義如下：

式中，sign（·）是標(biāo)準(zhǔn)的符號函數(shù)。常規(guī)的自抗擾控制律如下：

式中：β1、β2、α1，α2為正參數(shù)；e1＝r-z1，e2＝˙r-z2。

式（18）、（20）是ADRC 控制器的核心部分，必要時還可引入一個微分跟蹤器（或濾波器）來安排瞬態(tài)過程。控制律（20）包含了對狀態(tài)跟蹤誤差的非線性PD反饋，其參數(shù)對控制性能影響很大，但參數(shù)值與性能指標(biāo)之間的關(guān)系并不明朗，導(dǎo)致參數(shù)整定很困難。文獻［16］中提出把式（20）中的PD反饋律改為分數(shù)階PD控制律，利用分數(shù)階控制的靈活性來提高控制性能，但文獻中未給出參數(shù)整定方法。借鑒上一節(jié)的思想，推導(dǎo)出分數(shù)階參數(shù)的計算公式。

考慮如下的分數(shù)階PD控制律

其對應(yīng)的頻域響應(yīng)為

由系統(tǒng)（17）和控制律（21）構(gòu)成的開環(huán)系統(tǒng)頻域響應(yīng)為G（jω）＝C（jω）P（jω）。類似于上一節(jié)的設(shè)計思路：選擇相角裕度φm，并保證相頻曲線在截止頻率ωc附近平坦（導(dǎo)數(shù)為0），可得到與式（11）～（13）類似的聯(lián)立方程，從中可解得：

由于難以直接從式（23）和（24）得出kd和μ的解析解，此處仍需采用圖解法來確定其數(shù)值。相應(yīng)地，可確定參數(shù)kp如下：

最后，分數(shù)階ADRC控制律

1.4 分數(shù)階滑模控制

滑模控制是一種常用的魯棒控制技術(shù)，本節(jié)在非奇異終端滑模控制的框架中引入分數(shù)階微積分，以進一步提高控制系統(tǒng)的性能。

針對系統(tǒng)模型（17），考慮系統(tǒng)的模型不確定性和擾動，可把模型改寫如下：

式中：y、v分別為伺服系統(tǒng)的位置輸出量（可量測）和速度；u為控制量（轉(zhuǎn)矩電流）；d為由負載擾動、摩擦力矩和其他不確定因素折合而成的總擾動。

考慮目標(biāo)信號r，定義跟蹤誤差為e＝y(tǒng)-r，則有：以及

定義滑模變量

式中：β ＞0，α∈（1，2）；fs（˙e，α）＝sign（˙e）·｜˙e｜α。求σ對時間的一階導(dǎo)數(shù)，得：

為使σ→0，選取如下的滑模控制律：

式中：β1＞0，β2＞0，這里包含一個分數(shù)階積分算子D-γ，參數(shù)γ∈［0，1］。

在控制律（30）中用到速度和擾動信號，需利用觀測器來估計其值。這里將直接借用1.3 節(jié)的擴展?fàn)顟B(tài)觀測器（18），最終的控制律

2 伺服電動機實驗系統(tǒng)及控制流程

式中：θr為電動機的機械轉(zhuǎn)角，rad；ωr為機械角速度，rad／s；J為電動機的轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；kf為黏性摩擦系數(shù)，Nm·s／rad；TL為負載轉(zhuǎn)矩，Nm；kt為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)，Nm／A；iq為q軸電流（轉(zhuǎn)矩電流），A。

實驗中采用42JSF630AS-1000 交流伺服電動機，其額定電壓和電流為24 V 和4.2A，額定功率為64 W，額定轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速為0.2 Nm和3 000 r／min，極對數(shù)是4，配置了1 000CPR 的增量式光電編碼器。采用TMS320F28335 作為主控芯片以及基于智能功率模塊FSBB30CH060 的驅(qū)動電路，構(gòu)成電動機控制系統(tǒng)，如圖1 所示。

圖1 伺服電動機控制實驗系統(tǒng)

系統(tǒng)采用雙環(huán)控制結(jié)構(gòu)。其中內(nèi)環(huán)對轉(zhuǎn)矩電流iq和勵磁電流id進行閉環(huán)調(diào)節(jié)，外環(huán)則對轉(zhuǎn)角θr或轉(zhuǎn)速ωr進行控制，控制信號是內(nèi)環(huán)電流iq的給定值。當(dāng)角位置θr作為系統(tǒng)的受控輸出量時，電動機的運動模型可轉(zhuǎn)化為式（27）的形式，其中，a＝和b＝為系統(tǒng)參數(shù)。若僅考慮速度調(diào)節(jié)，則可得到式（8）所示的一階模型。為數(shù)值處理方便，這里的角位置以圈（Revolution，簡寫為rev）為單位，速度單位為r／s。通過系統(tǒng)辨識，確定模型參數(shù)值：a＝3，b＝700。

采用Code Composer Studio 軟件對電動機的控制算法進行編程，設(shè)置一個頻率為10 kHz的ePWM中斷程序來執(zhí)行電流內(nèi)環(huán)控制（采用抗飽和PI 控制律）；外環(huán)（位置或轉(zhuǎn)速）采用本文介紹的控制律，其控制周期為Ts＝2 ms，即每20 個內(nèi)環(huán)周期執(zhí)行一次外環(huán)控制，并限定外環(huán)控制信號（轉(zhuǎn)矩電流命令）的飽和限幅值為4 A。在主程序中，循環(huán)刷新數(shù)據(jù)顯示，并根據(jù)按鍵來處理電動機的啟、停和給定變化。控制系統(tǒng)的程序流程如圖2 所示。

圖2 交流伺服電動機控制流程

3 實驗測試

在永磁交流伺服電動機試驗臺上進行實驗測試。采用分數(shù)階PI 控制進行速度調(diào)節(jié)。選擇相角裕度φm＝65°和截止頻率ωc＝100 rad／s，得到分數(shù)階PI控制律的參數(shù)見表1。

表1 控制律參數(shù)值

其中分數(shù)階算子采用Oustaloup濾波器來逼近，對應(yīng)的參數(shù)：ωb＝0.000 1 rad／s；ωh＝1 000 rad／s；N＝10。濾波器采用雙線性變換來離散化（其他控制律中的分數(shù)階算子也采用相同的濾波器參數(shù)）。圖3 給出了目標(biāo)轉(zhuǎn)速為10 r／s的實驗結(jié)果，其速度響應(yīng)較快、超調(diào)約為10%、無穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3 分數(shù)階PI控制的實驗結(jié)果（速度給定＝10 r／s）

利用分數(shù)階ADRC 進行位置控制。選擇相角裕度φm＝65°和截止頻率ωc＝100 rad／s，可得到分數(shù)階ADRC控制律的相應(yīng)參數(shù)，選取觀測器帶寬參數(shù)ωo＝100 rad／s，整個控制律的參數(shù)見表1。分別進行了目標(biāo)位置為1 圈（r＝1 rev）和2 圈（r＝2 rev）的位置控制實驗，其結(jié)果在圖4、5 中顯示，分別給出了位置、速度（估計值）、控制量（轉(zhuǎn)矩電流給定）和等效擾動（折合到輸入通道的擾動值，即z3／b）的波形，其中位置和速度信號由于其數(shù)值范圍不同，分別在同一子圖的左右兩側(cè)縱軸標(biāo)示其刻度。可見，位置控制的穩(wěn)態(tài)性能較好，瞬態(tài)過程有一些超調(diào)，控制律的參數(shù)有待進一步優(yōu)化。

圖4 分數(shù)階ADRC控制的實驗結(jié)果（位置給定＝1 rev）

圖5 分數(shù)階ADRC控制的實驗結(jié)果（位置給定＝2 rev）

測試分數(shù)階滑模控制器，選取的參數(shù)值見表1，它與分數(shù)階ADRC 共用一個狀態(tài)觀測器。分別設(shè)置目標(biāo)為1 圈（r＝1 rev）和2 圈（r＝2 rev），相應(yīng)的位置控制實驗結(jié)果在圖6、7 中顯示。顯然，在這2 種情況下，位置響應(yīng)曲線都具有快速平穩(wěn)的瞬態(tài)性能，而且穩(wěn)態(tài)誤差可忽略。但分數(shù)階滑模控制的參數(shù)較多，參數(shù)調(diào)優(yōu)需要一定的耐心和技巧。

圖6 分數(shù)階滑模控制的實驗結(jié)果（位置給定＝1 rev）

圖7 分數(shù)階滑模控制的實驗結(jié)果（位置給定＝2 rev）

4 結(jié)語

本文介紹了一個適用于自動化本科、控制學(xué)科研究生的交流伺服電動機分數(shù)階控制實驗示范平臺，給出了分數(shù)階PID控制、分數(shù)階自抗擾控制和分數(shù)階滑模控制律的具體設(shè)計。通過基于TMS320F 28 335的實時控制實驗，展示了控制方案的有效性。分數(shù)階控制作為一項新技術(shù)，要用于實際系統(tǒng)，需經(jīng)過技術(shù)理解、問題建模、方案設(shè)計、軟硬件實現(xiàn)和調(diào)試優(yōu)化這幾個主要步驟，設(shè)計這個實驗示范平臺就是為了加快應(yīng)用流程，幫助學(xué)生快速掌握分數(shù)階控制的相關(guān)技術(shù)和伺服控制系統(tǒng)的實時編程和實驗調(diào)試方法，培養(yǎng)學(xué)生的工程實踐技能。下一步，將探索分數(shù)階控制系統(tǒng)的參數(shù)自校正、自整定技術(shù)，使這個實驗平臺更完善、更具實用性。