信號處理綜合實驗教學設計與實踐

王緒虎， 侯玉君， 金 序， 宋傳旺， 王辛杰， 陳建軍

（青島理工大學信息與控制工程學院，山東 青島 266520）

0 引言

2016年，我國成為《華盛頓協議》的正式會員，該協議是工程教育本科專業認證的國際互認協議之一。2018年，教育部推出“保合格，上水平，追卓越”的三級認證體系來振興本科教育。國內高校逐步重視工程教育專業認證工作，將其作為專業建設“追卓越”的重要抓手。工程教育專業認證標準（2022）明確規定，畢業生解決復雜工程問題能力的培養狀況是評估評價一個專業的一項重要內容［1］。學生處理復雜工程問題的能力必須通過系統的理論和實踐教學來實現，并且體現在課程的教學內容和教學評價中。

信號處理實驗是電子信息類專業的一門綜合實踐課程，是電子信息類專業學生學習專業核心課程之后開設的一門綜合實驗。傳感器陣列信號處理的波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計問題［2-4］，是滿足專業認證標準規定的復雜工程問題。信號處理實驗課程組以培養學生處理復雜工程問題能力為目標，針對陣列信號處理中的DOA估計問題，設計了探究式的綜合實驗，給出了綜合實驗的設計方案和教學實踐分析。

為了能夠幫助學生快速地理解基于傳感器陣列的DOA估計問題，本文以DOA 估計技術發展為主線，對波束形成（Beamforming，BF）方法［5］、最小方差無失真響應（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）波束形成方法［6］、多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）方法［7］以及利用凸優化和奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）的L1-SVD方法［8］進行了原理分析，并設計了計算機仿真實驗，分析不同方法的工作性能。針對上述各種DOA估計方法，開展了湖上試驗，采集了實際環境中的數據，設計了實際數據的處理分析實驗。通過湖上試驗數據的處理分析，訓練學生的工程思維，培養學生創新思維和處理復雜工程問題的能力。該綜合實驗案例已在我校信息與控制工程學院電子信息類專業（電子信息工程、通信工程）中實施，取得了較好的效果。

1 實驗基本原理

1.1 傳感器陣列接收信號模型

傳感器陣列模型如圖1 所示。傳感器陣列為均勻直線陣，陣元數量為M，陣元間距d為入射信號半波長。假定有K（K＜M）個波長為λ 的遠場窄帶信號入射到傳感器陣列上，信號的入射角度為θk（k＝1，2，…，K）。

圖1 傳感器均勻直線陣模型

以傳感器陣列左側第1 個陣元為參考，第m個陣元接收到的信號可以表示為

式中：m＝1，2，…，M為陣元的標號；sk（t）是第k個入射信號；k＝1，2，…，K為入射信號的標號；nm（t）是第m個陣元接收的高斯白噪聲；θk是第k個信號的入射角度。

陣列接收數據的矩陣形式可以表示為

式中，各個符號寫成列向量的形式為：

A（θ）表示陣列方向矩陣；S（t）表示信號矩陣；N（t）表示噪聲矩陣；A（θ）的列向量

1.2 波束形成

波束形成的基本思想是對陣列各陣元的接收信號進行加權求功率和［9］。令權向量w ＝［w1，w2，…，wM］T，則波束形成的輸出為

式中：

表示陣列接收數據的協方差矩陣；

當權向量w ＝a（θ）時，即為傳統的波束形成（Conventional Beamforming，CBF）。常規波束形成權值的模為1，可認為是按矩形窗設計權值幅度。權值w的模也可以按三角窗、升余弦窗、切比雪夫窗等形式設計，得到不同類型的波束形成器［9-10］。

1.3 MVDR方法

MVDR方法的基本思想是選取合適的權向量w在期望方向形成主波束，在非期望方向功率最小，最大程度減少基陣對非期望方向上激勵的響應，實質上是構造了一個約束優化問題［11］。該優化問題可描述為

利用拉格朗日乘子法求解這一優化問題，可求得最佳權向量為

式中，R-1表示對陣列接收數據協方差矩陣求逆。陣列接收信號利用上述權值加權處理后，MVDR 波束形成器輸出為

對式（12）進行譜峰搜索，PMVDR（θ）的K個峰值對應角度就是入射信號的波達方向。

1.4 MUSIC方法

MUSIC方法的基本思想是利用信號子空間和噪聲子空間的正交性來估計信號的DOA。對陣列接收信號的協方差矩陣R進行特征值分解可得

式中：Σ 為R的M個特征值組成的對角矩陣；U 為R的特征值對應的特征向量構成的矩陣。

從矩陣U中選取M-K個小特征值對應的特征向量構成噪聲子空間UN，利用UN可以求得空間譜函數

對式（14）進行譜峰搜索，PMUSIC（θ）的峰值對應角度即為入射信號的波達方向。

1.5 L1-SVD方法

L1-SVD方法的思想是將壓縮感知理論與陣列信號相結合，構造過完備字典，然后利用數據矩陣的奇異值分解和L1 范數的凸優化，求解優化函數獲得稀疏信號［12-13］。

將入射信號方位估計范圍［-90°，90°］等間隔地劃分為L個網格，假設每個網格方向θl（l＝1，2，…，L）都存在一個潛在的入射信號，則傳感器陣列的流型矩陣具有L列，每一列都包含一個潛在的入射信號方位信息，因而構造出一個過完備字典

其中，L?K。實際的入射信號在空域的分布是稀疏的，稀疏信號

式中：

單快拍時，通過求解下式表示的優化問題，可實現入射信號的方位估計，即求解出非零元素最少的解

優化問題的目標函數可以表示為

式中，λ表示非負平衡因子，通常很小，噪聲強度不同，λ大小也不同。

快拍數為T時，目標函數可以表示為

快拍數T增大時，陣列接收數據矩陣的維數增大，直接求解式（19）的計算量會很大，從而導致估計結果出現偏差。為提升估計性能，減少運算量，L1-SVD方法首先對接收數據矩陣進行奇異值分解

式中：D ＝［IK0］T，IK表示K階單位矩陣，0 表示K×（T-K）階零矩陣。

因此，稀疏表示模型可以簡化為

式中：SS（t）＝。

目標函數可重寫為

轉為二階錐規劃問題，可表示為：

最后，利用凸優化工具包CVX 中的函數對式（24）直接求解，即可得到信號（t）的稀疏譜，進而估計出目標的方位。

2 綜合實驗設計

2.1 實驗設計思想

為培養學生處理復雜工程問題的能力，綜合實驗的設計既要具有基礎性，又要具有一定的層次性，能夠通過多階的訓練，提升學生的工程思維、創新思維和實踐能力。為了達到基礎性和層次性的要求，陣列信號處理綜合實驗的整體設計如圖2 所示。

圖2 綜合實驗設計圖

（1）橫向維度。實驗內容從信號處理的基本知識點出發，涉及脈沖信號建模、頻譜分析、濾波器設計與應用、希爾伯特變換等內容，通過這些初階內容，讓學生掌握工程知識，提升問題分析的能力，同時選擇并熟練使用現代工具，了解專業的相關標準規范以及程序設計規范等。中階內容為常規波束形成，以及類比窗函數引申出的三角加權波束形成、升余弦加權波束形成、切比雪夫加權波束形成等。高階內容為最小方差無失真響應波束形成、多重信號分類方法和壓縮感知類L1-SVD 方法。通過這些中高階內容，培養學生設計復雜問題的解決方案，比較優化解決方案。在設計過程中，運用項目管理思想，通過充分的溝通研討，最大限度地發揮個人和團隊的效率，同時考慮非技術因素對技術方案的影響，認識到終身學習重要性，并具備自學的能力。

（2）縱向維度。針對實踐任務，首先進行資料收集，通過分組開展理論分析與研討，探索解決復雜問題的理論方案；其次依據理論方案，選擇合適的現代工具進行信號建模、系統仿真，分析評價各種方法的特點；最后針對湖上試驗數據進行處理分析，通過仿真實驗結果與湖上試驗數據處理結果的分析比對，以及復雜工程問題處理方案的優化探索，培養學生理論聯系實際的意識，訓練學生的工程思維，提升學生創新能力和工程實踐能力。

2.2 仿真實驗

以6 個陣元的均勻水聽器直線陣為基礎，探索不同的DOA 估計方法的工作性能。仿真實驗中陣元間距d＝λ／2 ＝0.75 m，信號采樣頻率為36 kHz，快拍數N＝720，信噪比snr ＝10 dB，一個中心頻率為1 kHz的遠場窄帶信號從某方向入射到水聽器陣列。利用波束形成、MVDR、MUSIC和L1-SVD 方法等對入射信號進行估計。主要的實驗任務包括：①陣列接收信號的建模；②信號的頻域分析；③濾波器的設計及信號濾波；④信號希爾伯特變換；⑤波束形成方法估計入射信號DOA；⑥MVDR和MUSIC 方法估計入射信號DOA；⑦L1-SVD方法估計入射信號DOA。

圖3 給出4 種波束形成方法估計的結果。圖中：CBF為常規波束形成方法曲線；TriAng 為三角加權波束形成方法曲線；Cos 表示升余弦加權波束形成方法曲線；Cheb 為切比雪夫加權波束形成方法曲線。其中，CBF、Cheb、TriAng、Cos曲線的主瓣依次增大，且最高旁瓣高度依次降低，其中CBF、TriAng、Cos方法的多個旁瓣高度依次降低，而Cheb方法多個旁瓣具有相同的高度。引導學生類比于窗函數法設計FIR濾波器的基本原理理解不同加權方式的波束形成，幫助學生搭建信號時空處理的知識體系。

圖3 4種波束形成方法空間譜

圖4給出了CBF、MVDR、MUSIC和L1-SVD4 種方法的DOA估計結果。從圖中可看出，CBF方法主瓣較寬，旁瓣水平最高，分辨能力最差；MVDR 方法的空間譜主瓣較窄，旁瓣高度低于CBF 方法的旁瓣；MUSIC方法的譜峰比MVDR方法的譜峰更為較尖銳，具有更好的分辨能力；L1-SVD方法的譜峰最尖銳，旁瓣最低，分辨能力最好。通過4 種方法的比較，幫助學生理解不同方法的方位分辨力以及抑制干擾的能力。

圖4 4種方法的子空間方法空間譜

2.3 湖上試驗數據處理分析

為驗證上述方法在實際環境下的有效性和實用性，利用六陣元光纖水聽器陣在丹江口水庫進行了數據采集試驗。6 個通道的采集數據波形如圖5 所示。對各通道采集數據進行預處理，利用中心頻率f0＝1 kHz，帶寬400 Hz 的濾波器對接收信號濾波。圖6給出了濾波前、濾波后的時域波形。圖7 給出了濾波前、濾波后信號的頻譜圖。通過數據的讀取存儲、格式轉換、信號濾波、頻譜分析等環節，讓學生升華對基礎知識的認知。

圖5 6通道采集數據波形圖

圖6 濾波前、后的時域波形

圖7 信號頻譜

分別利用CBF、MVDR 方法、MUSIC 方法和L1-SVD方法對光纖水聽器陣的接收數據進行處理，估計入射信號的方位。水聽器陣數據直接估計的結果如圖8、9所示。圖8 是4 種不同波束形成方法的估計結果，圖9 是CBF，MVDR，MUSIC和L1-SVD方法的估計結果。從圖8 可以可出，波束形成的4 種處理方法都可以成功估計出目標方位，主瓣較寬，旁瓣較高；從圖9 可見，MVDR方法和MUSIC 方法也可以估計出目標方位，MVDR 方法具有較高的旁瓣，MUSIC 方法旁瓣較低，且基本無波動，L1-SVD 方法估計出兩個目標。培養學生理解理論模型的局限性，以及不同處理方法在實際環境中的穩健性。

圖8 數據濾波前波束形成方法空間譜

圖9 數據濾波前子空間類方法空間譜

利用中心頻率f0＝1 kHz，帶寬400 Hz 的濾波器對光纖水聽器陣各通道接收數據進行濾波，然后利用CBF、MVDR、MUSIC 和L1-SVD 方法估計入射信號的方位。圖10 給出了4 種波束形成的估計結果；圖11給出了CBF、MVDR、MUSIC 和L1-SVD 方法的估計結果。各種方法都成功地估計出1 個入射信號的方位，性能各有差異。通過濾波后不同方法結果的對比，以及濾波前后處理出不同結果的對比，幫助學生理解不同方法的性能及環境適應性。

圖10 數據濾波后波束形成方法空間譜

圖11 數據濾波后子空間類方法空間譜

數據處理的過程，鍛煉學生分析問題、設計復雜工程問題處理方案、使用現代工具以及程序規范等方面能力。對圖8 ～11 數據處理結果的分析，培養學生個人與團隊、溝通、問題分析能力，幫助學生理解理論與工程實際環境的差異性，訓練學生的工程思維，培養學生創新思維和解決復雜工程問題的能力。

3 教學實施

（1）動員與任務發布。課程負責教師組織課程動員會，說明綜合實驗所需基本知識與現代工具，發布綜合實驗任務并講解任務的具體要求。

（2）信息搜集與方案分析。搜集相關資料，分析DOA估計問題的解決方案，結合文獻資料和代碼，學習DOA估計的基本理論，比較選擇不同技術方案。

（3）團隊協作與系統仿真。學生分組組建團隊，討論理論及代碼問題，探討DOA 估計的不同方案，實現方位估計系統的設計，并對系統進行仿真分析。

（4）中期檢查與實驗數據發放。檢查學生系統仿真情況，指導學生完善仿真方案和性能分析方法。介紹湖上試驗系統配置，下發湖上試驗采集數據，布置試驗數據處理的具體要求。

（5）現場指導與方案優化。在實驗室幫助學生解決試驗數據處理過程中的難題，指導學生對試驗數據處理結果進行分析，引導學生探索優化處理方法。

（6）實驗方案及結果現場驗收。每一小組在機房現場演示仿真和試驗數據處理的程序及結果，老師根據指標對實驗過程及結果進行打分。

（7）實驗總結與報告撰寫。對實驗原理、實驗過程、實驗結果以及進一步優化方案進行總結，撰寫實驗報告，準備答辯。

（8）綜合實驗答辯。以小組進行集中答辯，主要闡述對綜合實驗原理的理解、復雜工程問題的處理方案以及處理方案的創新點和不足，小組成員逐一回答老師的問題。

4 教學評價

為了更合理地支撐電子信息類專業的畢業要求，更好地完成課程教學目標，信號處理實驗課程組結合教學開展情況，針對該課程建立了多元化的學習效果評價體系，全面、客觀地考察專業學生處理復雜工程問題的能力狀況。信號處理實驗的考核成績構成如表1所示。

表1 信號處理實驗學習效果評價表

信號處理實驗課程根據支撐的畢業要求，制定了明確的課程目標。實驗每個環節都有具體的教學目標和相應的考核標準，為客觀公正地評價學生的學習效果提供了依據。該實驗在青島理工大學信息與控制工程學院通信工程、電子信息工程兩個本科專業實施了2年，教學效果明顯，學生時空聯合信息處理的知識體系更為完善，解決復雜工程問題能力顯著提升。

5 結語

新工科教育和工程教育專業認證對人才培養目標提出了新要求。信號處理實驗是電子信息類專業的一門綜合實踐課程，課程組積極探索理論與實踐相結合，以學生為中心，以產出為導向的教學模式。本文以水聽器陣列的DOA估計問題為例，設計了信號處理綜合實驗的教學案例。實驗內容既包含基礎性內容，又具有高階的訓練內容，通過多層次的實驗內容訓練學生工程思維，培養學生創新思維，提高學生處理復雜工程問題的能力。水聽器陣DOA 估計的多目標層次化實驗方案已經在青島理工大學電子信息類專業開展2年，取得了較好的效果，今后課程組將繼續探索拓展信號處理實驗課程的教學案例。