對稱冪平方L-函數Fourier系數的高次均值估計

摘要：設f（z）為全模群SL（2，Z）上權為偶數k的Hecke特征形式，L（s，sym²f）為其對應的對稱冪平方L-函數，λ_sym²f（n）為對稱冪平方L-函數L（s，sym²f）的Fourier展開式中第n個正規化Fourier系數.本文借助Newton和Thorne近期關于函數Sym^jf的重要工作以及自守L-函數的亞凸界和均值估計結果，研究了λ_sym²f（n）在四個整數平方和序列上的三次均值估計和四次均值估計，得到了均值估計的漸近公式，改進了之前的結果.

關鍵詞：Hecke特征形式；對稱冪平方L-函數；Fourier系數；四個整數平方和序列

中圖分類號：O156.4 文獻標志碼：A

Mean Value Estimates for Higher Momentsof Fourier Coefficients of Symmetric Square L-functions

WANG Pan

（School of Mathematics and Statistics， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046， China）

Abstract：Let f（z） be a Hecke eigenform of even weight k for the full modular group SL（2，Z），L（s，sym²f） is the symmetric square L-function associated of f. Denote by

λ_sym²f（n） the nth normalized Fourier coefficient of the Fourier expansion of symmetric square L-function L（s，sym²f）. In this paper， we establish asymptotic formulas for the third moment of

λ_sym²f（n） and the fourth moment of λ_sym²f（n） over a sequence of sum of squares of four integers. We improve previous results and our improvement benefit from the recent work of Newton and Thorne in function Sym^jf and subconvex bounds and mean value estimates of the automorphic L-function.

Key words：Hecke eigenform; symmetric square L-function; Fourier coefficient; sequence of sum of squares of four integers

0 引言

1 基本引理

2 主要定理的證明

3 結語

在現代解析數論中，對自守尖形式的Fourier系數的均值估計已經受到許多數學家和學者的關注，成為了一個重要的研究課題.目前，已有大量論文從各個方面對自守尖形式的Fourier系數做了研究，本文研究的是四個整數平方和序列上對稱冪平方L-函數L（s，sym²f）Fourier系數的均值估計.本文對定理結果的改進一方面得益于Newton和Thorne對sym^jf做出的突破性進展，這使得我們可以研究更高階的對稱冪L-函數，從而對Dirichlet級數重新進行分解，另一方面得益于GL（3）上L-函數L（s，sym²f）更好的亞凸界結果.尖形式是數論中一個重要且有趣的課題，值得更多學者研究.

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［責任編輯：趙慧霞］