基于重加權(quán)TL1范數(shù)的非穩(wěn)態(tài)譜反演算法

摘要： 地震數(shù)據(jù)反射系數(shù)反演是聯(lián)結(jié)地下儲層和地震數(shù)據(jù)的橋梁，一直是研究的熱點(diǎn)。目前反射系數(shù)反演大多基于L1 范數(shù)約束的稀疏脈沖反褶積。近年來，奇偶分解算法的出現(xiàn)使得子波間調(diào)諧效應(yīng)減弱，這使得基于L1 范數(shù)約束的譜反演得到進(jìn)一步應(yīng)用。稀疏約束的能力關(guān)系到待求解反射系數(shù)的準(zhǔn)確性，本文針對常用的L1 范數(shù)和Lp 范數(shù)稀疏能力約束度不足的問題，引入TL1 范數(shù)（Transformed L1 Norm）稀疏約束，有利于獲得更準(zhǔn)確的反演反射系數(shù)；同時考慮反射系數(shù)較大的位置擬合能力需要增強(qiáng)，提出重加權(quán)TL1 范數(shù)（Reweighted TransformedL1 Norm，RTL1）進(jìn)一步提高稀疏約束能力。參數(shù)測試結(jié)果證明了重加權(quán)類范數(shù)重建能力強(qiáng)于未重加權(quán)類范數(shù)，RTL1 在稀疏重建上的有效性。模型和實(shí)際數(shù)據(jù)處理結(jié)果證明RTL1 相比于常用的稀疏約束項(xiàng)更有利于提高譜反演的反射系數(shù)精度。

關(guān)鍵詞： 稀疏脈沖反演，奇偶分解，譜反演，重加權(quán)TL1 范數(shù)

中圖分類號：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000-7210. 2024. 06. 013

0 引言

自反射系數(shù)稀疏脈沖約束反演出現(xiàn)以來，一部分研究人員以貝葉斯理論為框架，著重于在目標(biāo)方程中添加先驗(yàn)信息，如井反射系數(shù)先驗(yàn)分布、地震傾角方向先驗(yàn)平滑、噪聲先驗(yàn)分布等，這類算法通過施加額外約束以獲得更符合先驗(yàn)假設(shè)的解[1]；另一部分研究人員以壓縮感知理論為支撐，在原有反射系數(shù)稀疏的假設(shè)下，提高正則化項(xiàng)的稀疏約束能力，可獲得更準(zhǔn)確的解[2]，包括L1 范數(shù)[3]、Lp 擬范數(shù)[4]、L1-2 組合范數(shù)[5]、柯西約束[6]等。

近年來基于奇偶分解的譜反演技術(shù)得到廣泛應(yīng)用，更有利于薄層識別。2008 年，Puryear 等[7]首次提出反射系數(shù)奇偶分解理論，將反射系數(shù)分解為一對奇偶分量，根據(jù)奇偶分量對薄層的分辨能力的不同構(gòu)建譜反演目標(biāo)方程，從而提高薄層識別能力。柴新濤等[8] 結(jié)合基于最小二乘理論的QR 分解（LSQR）算法與模擬退火算法，在稀疏譜與非稀疏譜的兩種不同假設(shè)條件下分別反演反射系數(shù)。孫雷鳴等[9]針對線性計(jì)算方法的弊端，提出將Cauchy 約束和范數(shù)約束相結(jié)合，再進(jìn)行線性譜反演，實(shí)驗(yàn)證明譜反演能有效地反演出小于調(diào)諧厚度的薄層。朱衛(wèi)星等[10]首先對地震資料進(jìn)行短時傅里葉變換，求取譜反演的輸入數(shù)據(jù)，再利用模擬退火算法進(jìn)行反演，拓寬地震頻帶，可清晰刻畫微小目標(biāo)的地質(zhì)體特征。田立新等[11]基于貝葉斯理論，將測井信息轉(zhuǎn)換為地質(zhì)統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)信息并引入譜反演過程，綜合利用多種信息，使反演結(jié)果更穩(wěn)定、可靠。張軍華等[12] 將Moore-Penrose 算法應(yīng)用于譜反演，在非稀疏條件下提高譜反演的分辨率。夏紅敏等[13]利用地震數(shù)據(jù)的二次譜估算地震子波譜用于譜反演，具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和實(shí)用性。

基于壓縮感知的稀疏反演重點(diǎn)在于提高對反射系數(shù)的約束能力，正則化項(xiàng)為L0 范數(shù)的反演方程是NP 難點(diǎn)問題[14]，需要預(yù)先給出反射系數(shù)的稀疏度，使用正交匹配追蹤[15]或者硬閾值收縮[16]等方法求解。但實(shí)際反射系數(shù)的稀疏度無法得知，考慮L1 范數(shù)是L0 范數(shù)的最優(yōu)凸近似，且L1 范數(shù)具有比L0 范數(shù)更好的優(yōu)化求解特性，因此用L1 范數(shù)代替L0 范數(shù)被廣泛應(yīng)用。但是L1 范數(shù)稀疏約束能力較弱，導(dǎo)致擬合項(xiàng)誤差較大。針對該問題，需要不斷尋找新的稀疏約束項(xiàng)近似L0 范數(shù)，如Lp 擬范數(shù)、重加權(quán)類范數(shù)[17]、TL1范數(shù)（Transformed L1 Norm）[18-19]等。

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，引入TL1 范數(shù)作為反射系數(shù)反演的稀疏正則化項(xiàng)，考慮反射系數(shù)較大的位置需要增強(qiáng)其擬合項(xiàng)約束能力，提出應(yīng)用重加權(quán)TL1 范數(shù)（Reweighted Transformed L1 Norm） 進(jìn)一步提高稀疏約束能力，以獲得更接近于地下反射系數(shù)的解。本文首先介紹譜反演算法的基本理論、非穩(wěn)態(tài)理論、TL1 范數(shù)以及引入重加權(quán)的TL1 范數(shù)；其次測試了不同RIP 條件的觀測矩陣[20]對幾種常見范數(shù)重建能力的影響；然后分別測試重加權(quán)參數(shù)和信噪比對重加權(quán)TL1 范數(shù)的重建能力影響程度；最后將RTL1 和譜反演相結(jié)合，進(jìn)一步論證本文所提出的基于重加權(quán)TL1 范數(shù)的譜反演方法在反射系數(shù)反演中的有效性。