基于諧響應分析的汽輪機葉片動應力計算方法研究

摘 要 采用有限元計算軟件中的諧響應模塊分析了某汽輪機直葉片不同諧波激勵下的穩態響應，得出其共振頻率下的動應力，同時分析了其在額定工況下所受應力情況。并且通過分析比較多組葉片共振時的動應力與其葉片靜彎應力，得出動靜比分布規律，為汽輪機直葉片設計提供了思路。

關鍵詞 汽輪機葉片 動應力 諧響應 動靜比

中圖分類號 TQ051.2" "文獻標志碼 A" "文章編號 0254?6094（2024）05?0759?05

基金項目：浙江省科技計劃（批準號：2022C01118）資助的課題。

作者簡介：馬利（1988-），機械工程師，從事汽輪機強度和振動方面的計算分析工作，ml@chinen.cn。

引用本文：馬利，朱雷，吳輝賢，等.基于諧響應分析的汽輪機葉片動應力計算方法研究［J］.化工機械，2024，51（5）：759-763.

葉片是汽輪機的重要零部件之一，當葉片工作時，作用在葉片上的力主要是離心力和氣流流過葉片產生的激振力。葉片在激振力作用下產生受迫振動，以致產生相當大的動應力，使葉片疲勞破壞。而各種葉片事故統計分析表明［1～3］，葉片的損壞，大多是葉片振動產生的動應力過大所導致的。

國內外對葉片動應力的研究往往集中在長扭葉上［4～8］，對直葉片的動應力分析較少。直葉片的強度分析往往采用靜應力的方式，要求葉片的氣流彎應力不大于某個許用值，或者結合材料的耐振用安全倍率來校核，但其所得的靜應力值與葉片實際受力情況相差較大，不能體現葉片真實的動力特性，因此為了保證葉片設計的安全性和可靠性，有必要對汽輪機葉片進行動應力分析，計算和分析葉片真實的動力響應。

筆者應用有限元軟件分析了直葉片諧波激勵下的穩態響應，得到了葉片的振動應力，并通過對比其靜彎應力，得到了動靜比，為汽輪機直葉片設計提供了思路。

1 計算方法

在計算葉片動應力時，可將葉片激振力展開為傅里葉級數：

F=Fsin［k（pt-?）］=（F+iF）eikpt

其中，F為k階激振力幅值，F=S×F，S為激振力因子，p為轉子角速度，t為時間，i為-1的平方根，?為k階激振力相位角。

這樣動葉片所受的氣流激振力就可以化簡為簡諧激振力的形式，由于主要關心的是葉片正常工作時激振力作用下的動應力，即葉片動力學方程的穩態解，因此激振剛開始的瞬態變化便不予考慮，可以采用諧響應的方法進行求解。

筆者采用ANSYS有限元計算軟件中的諧響應模塊來分析葉片動應力，軟件中諧響應分析方法有3種：完全法、縮減法和模態疊加法。在一般的動應力分析中，往往采用模態疊加法，這種方法耗時較短、準確率較高，文中亦采用此種方法。

模態分析過程中，若利用軟件來求解，則需要將分析系統解耦，分成若干個單自由度的振動系統，而對應求解的個數通常按需求來設定，也就是所謂的若干個模態。其中每個模態都包含自己的系統振型和頻率。若能準確進行模態分析，便可以預估一個頻率段內葉片的響應。

模態分析采用可利用簡化的結構力學公式，即：

［M］[X][¨]+［K］X=0

式中 ［K］——葉片的剛度矩陣；

［M］——葉片的質量矩陣。

在不同模態下給葉片施加激振力，可以得到葉片在共振頻率和運行狀態下的振動應力。對于多自由度系統，如果考慮黏性阻尼，則其受迫振動的微分方程為：

［M］{ü}+［C］{[u][·]}+［K］{u}={F（t）}

式中 ［C］——阻尼矩陣；

{F（t）}——載荷向量；

" {u}——位移；

" {[u][·]}——速度；

" {ü}——加速度。

從方程描述可知，葉片上所有節點的運動頻率相同，但其節點運動的相位不同，其節點位移［δ］可以定義為：

{δ}={δeiψ}eiΩ

式中 δ——最大位移值；

" "Ψ——節點位移相位；

" "Ω——作用在葉片上的激振力頻率。

位移的實部{δ}、虛部{δ}分別表示為：

{δ}={δcos ψ}

{δ}={δsin ψ}

2 葉片靜強度分析

汽輪機某直葉片葉高119 mm，葉片網格模型如圖1所示。在僅受離心力作用下，葉片所受最大應力約為873 MPa，在葉根倒角處，為應力集中，葉型底部應力約為45 MPa，具體如圖2所示。

圖3為葉片受到離心力與氣流靜彎作用力時的應力分布，主要分為軸向氣流力與切向氣流力（其值由熱力計算軟件得出），施加載荷時，僅作用于壓力面。由圖3可知，葉片所受最大應力為923 MPa（小于其材料2倍屈服值1 077 MPa），在葉根倒角處，為應力集中，葉型底部應力約為55 MPa。

將葉片僅受離心力作用，僅受氣流靜彎應力作用，以及受到離心力和氣流靜彎力共同作用3種工況進行分析，取葉型底部和葉根底部各3處（位置見圖1）節點受力情況，分別匯總于表1。

從表1中的靜強度分析結果看，葉片僅受離心力時進汽邊型底應力約為46.0 MPa，僅受氣流靜彎應力時進汽邊型底應力約為9.3 MPa，同時受離心力與氣流靜彎應力作用時進汽邊型底應力約為55.3 MPa，從而可知葉片受靜應力作用時，其所受應力（考慮受力方向）可疊加。且從分析結果可知，此葉片的靜強度符合設計要求。

3 葉片動應力分析

應用有限元軟件中的模態疊加諧響應方法對此直葉片進行動應力分析。模態分析結果見表2，前6階振型各不相同。

葉片僅受氣流激振力，且氣流激振力的頻率范圍為0～6 400 Hz時，葉片不同葉高處，節點的動應力響應與動位移響應如圖4、5所示。由圖中結果可知，葉片不同位置處響應值大小不一，但其最大峰值發生頻率基本一致，約在435 Hz，與葉片的一階自振頻率基本相同。這說明激振力頻率若為435 Hz，則葉片會發生共振，產生較大動應力。圖中葉片型底處共振時所受應力幅值最大，約為19 MPa；葉片距型底100 mm處應變量幅值最大，約為0.32 mm。從而可知，共振時葉片所受應力應變最大值發生頻率相同，但其節點位置不同。從圖中亦可知激振力頻率遠離共振頻率時，其應力應變幅值均顯著衰減。

當氣流激振力幅值與靜應力分析中氣流靜彎應力數值相同時，對葉片不同工況再進行分析，并對分析結果進行取值，其所取位置與靜強度計算表1中相同，以便進行對比分析，其中葉片共振頻率為435 Hz，葉片實際額定工作頻率為3 200 Hz，具體動應力分析結果列于表3。

從表3可知，在氣流激振力頻率為435 Hz時，葉片共振時所受應力明顯增加，其氣流激振力響應值遠大于氣流靜彎應力響應值，且其動應力產生的共振響應值不能簡單疊加。例如，葉片進汽邊型底某節點，僅受離心力作用時其所受應力為46.0 MPa，僅受頻率為435 Hz的氣流激振力作用時其響應值為40.30 MPa，而在離心力與頻率為435 Hz的氣流激振力作用時響應值為250.6 MPa，遠大于前兩者的疊加。

從表3可知，葉片出汽邊葉根倒角處（其原靜應力最大值處），在離心力與氣流激振力共同下所受應力達1 217.4 MPa，超過其材料許用值（2倍屈服極限1 077 MPa），不滿足強度設計要求。因此，此葉片不能用于激振頻率為435 Hz的工況。而文中葉片設計額定工況時的激振力頻率實際為3 200 Hz，遠大于其一階共振頻率。在頻率3 200 Hz的氣流激振力作用下，其響應幅值明顯較小，其應力最大響應值為200.3 MPa，遠小于其材料許用值，因此在額定工況下，此葉片滿足設計要求。

葉片在相同振幅不同頻率氣流激振力作用下，其相同位置所受應力情況亦不同。且會出現由于氣流激振力的作用，其受力反而小于僅受離心力作用的情況。例如表中葉片出汽邊葉根倒角處在離心力作用下所受應力為818.2 MPa，在受離心力與頻率為435 Hz氣流激振力作用時其響應值為1 217.4 MPa，大于僅受離心力作用時的應力值；而在受離心力與頻率為3 200 Hz氣流激振力作用時其響應值僅為200.3 MPa，小于僅受離心力作用時的應力值。

4 動靜比

在常規葉片強度設計時，往往通過限制氣流力在葉片截面中產生的靜彎應力來提高葉片的安全性。其中許用氣流靜彎應力是根據葉片事故統計出來的經驗數據，對汽輪機不同級葉片許用氣流彎應力有所不同。但對氣流激振力引起的動應力并未給出明確的設計規范。

對比文中葉片受共振頻率氣流激振力與受氣流靜彎應力時的應力情況，得出其動靜比（表4）。從表中可知葉片不同位置的動靜比，并不相同，但差別不大，在一定的范圍之內（3.3～4.3）。由于單只葉片數據樣本較少，因此對不同葉型、葉高、葉根形式的葉片進行動應力分析，統計其在氣流激振力幅值與氣流靜彎應力數值相同時，葉片受共振頻率氣流激振力與受氣流靜彎應力時的應力情況，得出動靜比。

分析多只葉片（其葉型相似，葉高不同，且均為直葉），每只葉片取葉型處的數據，得到共48組數據，數據成正態分布趨勢，其中動靜比平均值為4.425，標準差為1.03，將其分為29組，組距0.4，可得其正態分布曲線（圖6）。

從圖6可知，葉片的動靜比值集中在4.4倍附近，根據《透平零件結構和強度計算》中給出的氣流靜彎力許用值，可利用動靜比值來評判其葉片動應力值是否適合，例如，部分進汽級葉片氣流靜彎力許用值為20 MPa，那么在分析其葉片動應力時，應保證其葉片葉型處動應力小于88 MPa，以避免其動應力過大，使葉片造成破壞。

5 結論

5.1 應用有限元軟件中的模態疊加諧響應方法對某汽輪機直葉片進行動應力分析。其葉片最大峰值發生頻率約在435 Hz，與葉片的一階自振頻率基本相同。

5.2 氣流激振力幅值與氣流靜彎應力數值相同時，氣流激振力使葉片受迫共振，其所受應力明顯增加，其氣流激振力響應值遠大于氣流靜彎應力響應值。且激振力頻率遠離共振頻率時，其應力應變幅值均顯著衰減。

5.3 葉片不同，自振頻率時其振型不同，因此不同激振力頻率下葉片各位置處受力情況亦不同。在不同頻率的氣流激振力作用下，會出現由于氣流激振力的作用，其受力反而小于僅受離心力作用時的應力的情況

5.4 對不同葉型、葉根、葉高的直葉片進行分析，統計其在受共振頻率下氣流激振力與氣流靜彎應力時的動靜比，根據數據所得動靜比成正態分布趨勢，其動靜比平均值為4.425倍。

參 考 文 獻

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（收稿日期：2023-07-26，修回日期：2024-09-10）

Research on Calculation Method for Dynamic Stress of Steam Turbine Blades Based on Harmonic Response Analysis

MA Li， ZHU Lei， WU Hui?xian， DAI Wei?wei， YANG Shi?hua， QIU Wei?qiang

（Hangzhou Chinen Turbomachinery Co.， Ltd.）

Abstract" "Having the harmonic response module in finite element calculation software adopted to analyze the steady state response of turbine straight blade under different harmonic excitations was implemented to obtain its dynamic stress at resonance frequency， including the stress situation under the rated operating conditions. In addition， through comparing the dynamic stress and their static bending stress of steam turbine straight blades， the distribution law of dynamic to static ratio was obtained to provide an idea for designing turbine straight blades

Key words" " steam turbine blade， dynamic stress， harmonic response， dynamic to static ratio